2020届河北省保定市高三上学期期末数学(文)试题(解析版)

1、2019-2020 学年度第一学期高三期末调研考试数学试题（文科）一、选择题1.已知1|1,|42xxax yxbx，则abi（）a. (0,1)b. (0,1c. rd. 【答案】 d 【解析】【分析】根据二次根式有意义条件及指数不等式,可解得集合a 与集合 b,再由集合交集运算即可得解.【详解】对于集合|1|1ax yxx x对于集合121|42| 22|1xxxxbxxx x所以|1|1abx xx xii故选 :d【点睛】本题考查了指数不等式的解法与二次根式有意义的条件,交集的简单运算,属于基础题 .2.复数(23 )ii对应的点位于（）a. 第一象限b. 第二象限c. 第三象限d.

2、第四象限【答案】 a 【解析】【分析】将复数根据乘法运算化简即可得在复平面内的坐标,即可判断所在象限.【详解】由复数的乘法运算,化简可得2233232iiiii则在复平面内对应点的坐标为3,2所以对应的点在第一象限故选 :a【点睛】本题考查了复数的乘法运算,复数的几何意义,属于基础题 .3.函数2xyxex的图象在点(0,0)处的切线方程为（）a. 21yxb. 21yxc. 3yxd. 3yx【答案】 c 【解析】【分析】先根据函数求得导函数,再根据切点的横坐标求得切线的斜率,即可由点斜式求得切线方程.【详解】函数2xyxex则2xxyexe所以切线的斜率023ke由点斜式可得3yx故选 :

3、c【点睛】本题考查了导数的几何意义,过曲线上一点切线方程的求法,属于基础题 .4.已知abc外接圆半径为1，圆心为o，若20oaabacuuu ru uu ruuu rr，则abc面积的最大值为（）a. 2b. 32c. 2d. 1【答案】 d 【解析】【分析】根据向量的线性运算,可判断出bc为圆的直径 .结合勾股定理及不等式即可求得面积的最大值.【详解】根据向量的减法运算,化简20oaabacuuu ru uu ruuu rr可得20oaoboaoaocuuu ruuu ru uu ru uu ruuu rr,则0obocuu u ruu u rr即o为bc中点 .又因为o为abc外接圆圆心

4、 ,该外接圆的半径为1.所以2bc由圆的性质可知, 90baco设,aba acb则224ab由不等式性质可知2242abab,则2ab当且仅当2ab时取等号所以112122abcsab=即abc面积的最大值为1故选 :d【点睛】本题考查了向量的线性运算,不等式性质的应用,属于基础题 .5.设点q为10220323xyxyxy，所表示的平面区域内的动点，若在上述区域内满足22xy最小时所对应的点为p，则opuuu r与oquuu r（o为坐标原点）的夹角的取值范围为（）a. 0,4b. 0,3c. 0,2d. 3,24【答案】 a 【解析】【分析】根据不等式组 ,可画出可行域 .根据距离的最小

5、值,可判断出p点位置 .再由几何性质即可求得夹角的取值范围.【详解】根据所给不等式组,画出可行域如下图所示:满足22xy最小时所对应的点为p,即可行域内的p到原点距离的平方最小当op与直线10 xy垂直时 ,交点即为p点.设直线10 xy与x轴交于点b,与y轴交于点a由直线10 xy的斜率与倾斜角可知,45abobaoo由op与直线10 xy垂直,所以当q与a或b重合时 , opuuu r与oquuu r的夹角取得最大值;当q与p重合时 , opuuu r与oquuu r的夹角取得最小值即opuuu r与oquuu r的夹角的取值范围为0,4故选 :a【点睛】本题考查了线性规划的简单应用,距离

6、型最值的求法,平面几何性质的应用,属于基础题 .6.已知递增等差数列na中，122a a，则3a的（）a. 最大值为4b. 最小值为4c. 最小值为4d. 最大值为4或4【答案】 b 【解析】【分析】根据等差数列的通项公式可用1a表示出d.由数列单调递增可得10a.用1a表示出3a,结合基本不等式即可求得最值 .【详解】因为122a a由等差数列通项公式,设公差为d,可得112aad变形可得112daa因为数列na为递增数列 ,所以1120daa即10a而由等差数列通项公式可知312aad11111242aaaaa由10a,140a结合基本不等式可得311114424aaaaa当且仅当12a时

7、取得等号所以3a的最小值为4故选 :b【点睛】本题考查了等差数列通项公式与单调性的应用,基本不等式在求最值中的用法,属于中档题 .7.如图为一个抛物线形拱桥，当水面经过抛物线的焦点时，水面的宽度为36m，则此时欲经过桥洞的一艘宽12m的货船，其船体两侧的货物距离水面的最大高度应不超过（）a. 6mb. 6.5mc. 7.5md. 8m【答案】 d 【解析】【分析】根据题意 ,抽象出抛物线的几何模型.根据抛物线的通经性质求得抛物线方程,即可求得当宽为12m时的纵坐标,进而求得水面到顶部的距离.【详解】根据题意,画出抛物线如下图所示:设宽度为36m时与抛物线的交点分别为,a b.当宽度为12m时与

8、抛物线的交点为,c d.当水面经过抛物线的焦点时,宽度为36m由抛物线性质可知236p,则抛物线方程为236xy则18, 9a当宽度为12m时,设6,ca代入抛物线方程可得2636a,解得1a所以直线ab与直线cd的距离为198h即船体两侧的货物距离水面的最大高度应不超过8m故选 :d【点睛】本题考查了抛物线在实际问题中的应用,抛物线几何性质的应用,属于基础题 .8.用若干个体积为1的正方体搭成一个几何体，其正视图、 侧视图都是如图所示的图形，则这个几何体的最小体积为（）a. 5b. 6c. 7d. 8【答案】 a 【解析】【分析】根据题意 ,当体积最小时,结合三视图还原空间几何体,即可求解

9、.【详解】根据题意,当几何体体积最小时,空间几何图如下图所示:所以几何体的最小体积为5故选 :a【点睛】本题考查了三视图还原空间几何体的应用,对空间想象能力要求较高,属于中档题 .9.函数131( )2xf xx的零点所在的区间为（）a. 1(0,)4b. 1 1(,)4 3c. 1 1(,)3 2d. 1(,1)2【答案】 c 【解析】【分析】先判断出函数的单调性,结合零点存在定理即可判断出零点所在区间.【详解】函数131( )2xf xx所以函数在r 上单调递增因为1113331311111033322f1113321211111022222f所以函数零点在1 1,3 2故选 :c【点睛】

10、本题考查了根据零点存在定理判断零点所在区间,注意需判断函数的单调性,说明零点的唯一性,属于基础题 .10. 下列说法不正确的是（）a. “pq为真 ” 是“pq为真 ” 的充分不必要条件；b. 若数据123,nx xxx的平均数为1，则1232,22,2,nxxxx的平均数为2；c. 在区间0,上随机取一个数x，则事件 “6sincos2xx”发生的概率为12d. 设从总体中抽取的样本为1122,nnx yxyxyl若记样本横、纵坐标的平均数分别为1111,nniiiixxyynn，则回归直线? ybxa必过点( , )x y【答案】 c 【解析】【分析】a.“pq为真”可知p，q为真命题，可

11、得“pq为真”，反之不成立，即可判断出正误；b. 根据平均数公式即可判断；c.由题意得x的范围，再利用几何概率计算公式即可判断出正误；d.根据回归直线的性质即可判断 . 【详解】a.“pq为真”可知p，q为真命题，可得“pq为真”反之“pq为真”可知p真或q真，但pq不一定为真， “pq为真 ” 是“pq为真 ” 的充分不必要条件，故a正确；b.由题意知121nxxxnl，则121222222nnxxxxxxnnll，故b正确；c.在区间0,上随机取一个数x，由6sincos2sin42xxx，得sin423x，解得5,12 12x，事件 “6sincos2xx”发生的概率为：5112123，

12、故c不正确；d. 根据回归直线的性质可知，回归直线必过中心点( ,)x y，故d正确 . 故选：c. 【点睛】本题主要考查的是充分不必要条件的判断，平均数的计算，几何概型的概率计算，以及回归方程的应用，是基础题. 11. 若直线ykx 与函数( )xf xe和( )lng xxa的图象都相切，则a（）a. 3b. 2c. 1d. 0【答案】 b 【解析】【分析】通过直线ykx 与函数( )xf xe相切求出k，再根据线ykx 与函数( )lng xxa相切，即可求出a【详解】q直线 ykx 与函数( )xf xe相切，设切点为00,xx e，又xfxe，所以000 xxekxke解得01kex

13、，即直线 ykx 为yex，.又直线yex与( )lng xxa相切，设切点为11,lnxxa，1gxx，11ex，则11xe，切点为11,lnaee，将切点代入yex得，1ln1ae，解得2a. 故选：b. 【点睛】本题主要考查的是导数的几何意义，考查学生的逻辑思维能力、运算能力，是中档题. 12. 如图，在棱长为1 的正方体1111abcda b c d中，p、q是面对角线11ac上两个不同的动点. ,pqbpdq；,pqbpdq与1bc所成的角均为60；若1|2pq，则四面体bdpq的体积为定值 .则上述三个命题中假命题的个数为（）a. 0b. 1c. 2d. 3【答案】 a 【解析】【

14、分析】令p与1a重合，q与1c重合， 即可判断和，根据平面obd将四面体bdpq可分成两个底面均为平面obd，高之和为pq的棱锥，可判断.【详解】当p与1a重合，q与1c重合时，易知bpdq, 故正确；当p与1a重合，q与1c重合时，由题意可知111,b cab cdvv均是等边三角形，111,b cdab c均为60，且111,bcdab c为异面直线bp与1b c，dq与1b c所成角的平面角，故正确；设平面1111dcba两条对角线交点为o，则易得pq平面obd，平面obd将四面体bdpq可分成两个底面均为平面obd，高之和为pq的棱锥，故四面体bdpq的体积一定是定值，故正确. 故假命

15、题有0 个. 故选：a. 【点睛】本题主要考查的是立体几何的综合应用，异面直线所成角的问题，四面体的体积求法，考查学生的空间想象能力，是中档题. 二、填空题13. 设抛掷一枚骰子得到的点数为m，则方程21 0 xmx无实数根的概率为_ 【答案】16【解析】【分析】根据方程210 xmx无实数根得出m的值，即可得出概率. 【详解】q方程210 xmx无实数根 , 0，即240m，解得22m，又1,2,3,4,5,6mq，1m，抛掷一枚骰子得到的点数为m，则方程210 xmx无实数根的概率为16. 故答案为：16. 【点睛】本题主要考查的是一元二次方程有实根的条件，古典概型的概率公式的应用，是基础

16、题. 14. 如图，某地一天从614时的温度变化曲线近似满足函数()yasinxb0,0,0()a，则该函数的表达式为_ 【答案】()8310204ysinx，6x， 14【解析】【分析】通过函数的图象，求出a，b，求出函数的周期，推出，利用函数经过(10,20)求出，得到函数的解析式【详解】解：由题意以及函数的图象可知，10a，20b，2(146)16t，所以28t，由函数经过(10,20)所以 2010sin(10)208，又0，所以34，所以函数的解析式：310sin()2084yx，6x， 14 故答案为：310sin()2084yx，6x， 14【点睛】通过函数的图象求出函数的解析式

17、，是三角函数常考题型，注意图象经过的特殊点，注意函数解析式的范围容易出错遗漏，属于基础题15. 已知圆2222210 xxymym， 当圆的面积最小时， 直线1yx被圆截得的弦长为_【答案】2【解析】【分析】化圆的一般方程为标准方程，求出圆面积最小时的圆心和半径，再根据半弦和圆心到直线的距离以及半径之间满足勾股定理即可求得弦长. 【详解】q圆2222210 xxymym即222111xymm，故当当圆的面积最小时，1m，此时圆方程22111xy，圆心为1,1半径为1r，圆心到直线1yx的距离为1 1 1222，直线1yx被圆截得的弦长为222 122. 故答案为：2. 【点睛】本题考查圆的面积

18、、直线与圆的位置关系.由圆的方程求出面积最小时的圆，以及弦长的求法，利用半弦和圆心到直线的距离以及半径之间满足勾股定理，是基础题. 16. 已知数列na中，11a，其前n项和为ns，且满足213(2)nnssnn，则2na_ 【答案】64n【解析】【分析】根据213(2)nnssnn，及11a算出2a，同时构造等比数列，求出2n时的na，即可得到2na. 【详解】q213(2)nnssnn，12112,1ssa，可得12212aa，210a，2131nnssn，得163nnaan，变形为：1313nnanan，即13113nnanan，又216213aa，则当2n时数列3nan是以4为首项，1

19、为公比的等比数列，2341nnan即2341nnan，22nq，222324164nnann. 故答案为：64n. 【点睛】本题主要考查的是数列通项的求法，构造数列求通项方法的应用，考查学生的分析问题解决问题的能力以及计算能力，是中档题. 三、解答题17. 已知abc的三个内角a，b，c所对的边分别为, ,a b c，设(sin,1cos)mbbu r，(2,0)nr.（1）若23b，求mu r与nr的夹角；（2）若| 1,3mbr，求abc周长的最大值 .【答案】（ 1）3（2）3 3【解析】分析】（1）将23b代入可求得mu r.根据平面向量数量积的坐标运算求得m nu r r,由数量积的

20、定义即可求得cos,进而得夹角.（2）根据| 1mr及向量模的坐标表示,可求得b.再由余弦定理可得22()4acb.结合基本不等式即可求得ac的最大值 ,即可求得周长的最大值;或由正弦定理,用角表示出ac,结合辅助角公式及角的取值范围,即可求得ac的取值范围 ,进而求得周长的最大值.【详解】（ 1）23b,所以3 3,22mu r,因为(2,0)nr,32032m nu r r,又2233|322mu r,| 2nr,31cos2| | 2 3m nmnu r ru rr,3,（2）因为| 1mu r,即22|sin(1 cos )22cos1mbbbr,所以3b,方法 1.由余弦定理 ,得2

21、222cosbacacb.2222()()3()324acacacacac,【即2()34ac,即2 3ac,（当且仅当ac时取等号）所以abc周长的最大值为3 3.方法 2.由正弦定理可知,2sinsinsinacbacb,2sin,2sinaa cc,23ac,所以22sin2sin3sin3 cos2 3 sin36acaaaaa,又203a,5666a,1sin,162a,(3,2 3ac,所以当3a时 ,ac取最大值2 3.所以abc周长的最大值为3 3.【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义,正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用,三角形周长的表示方法,基本不等式与正弦函数的图像与性

22、质应用,属于基础题 .18. 已知数列,nnab满足1,2nnnnaabb为等比数列，且12a，24a，310a.（1）求nb；（2）求na.【答案】（ 1）122nnb； （ 2）122nnan【解析】【分析】（1）根据题意可求得数列2nb的首项和公比，利用等比数列通项公式可得数列2nb的通项公式，即可得到nb；（2）由nb利用累加法得到2n时的na，验证1n时成立，即可得到na. 【详解】解： （1）由1,nnnaab且1232,4,10aaa得：1212baa，2326baa所以124b，228b又因为数列2nb为等比数列，所以可知其首项为4，公比为2. 故1124 22nnnb，所以1

23、22nnb.（2）由1nnnaab，122 n2)nnnaa（.11222nnnaa，则22322nnnaa，l，22122aa，累加得232(222 )2(1)nnanl，23(2222 )22nnanl12(21)22222 1nnnn.又12a满足上式122 .nnan【点睛】本题主要考查是等比数列通项公式的应用，基本量的计算，以及利用累加法求通项，利用累加法时最后要注意验证1n时是否成立，考查学生的计算能力，是中档题. 19. 如图，几何体abcdfe中，abc，dfe均为边长为2 的正三角形，且平面/ /abc平面dfe，四边形bced为正方形 .（1）若平面bced平面abc，求几

24、何体abcdfe的体积；（2）证明：平面/ /ade平面bcf.【答案】（ 1）8 33； （2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意证出fg平面bced，故所求的几何体的体积等于三棱锥fbced的体积的2 倍，运算求得结果； （2）先证明ao和fg平行且相等，可得四边形aofg为平行四边形，可得agofp，再证debc，利用平面和平面平行的判定定理，证得平面ade平面bcf. 【详解】（ 1）取bc的中点o，ed的中点g，连接,ao of fg ag.因为aobc，且平面bced平面abc，所以ao平面bced，同理fg平面bced，又因为3aofg，所以18 343233abcdfev

25、.（2）证明：设平面agf i平面abcap，apbcpi因为平面abc平面dfe，所以apfgp，因为fged，edbc，所以apbc，即p与o重合，所以fgao所以四边形aofg为平行四边形，所以agofp，ag平面ade,of平面ade, of p平面ade, 又debc同理可得bc平面ade，ofbco, ,of bc平面bcf，所以平面ade平面bcf；【点睛】本题主要考查平面和平面平行的判定定理的应用，用分割法求柱体、锥体的体积，考查学生的空间想象能力，以及逻辑推理能力，属于中档题. 20.设椭圆2222:1(0)xycabab的一个焦点为( 2, 0)，四条直线xa，yb所围成的

26、区域面积为4 3.（1）求c的方程；（2）设过(0,3)d的直线l与c交于不同的两点,a b，若以弦ab为直径的圆恰好经过原点o，求直线l的方程 .【答案】（ 1）2213xy； （2）113yx【解析】【分析】（1）由题意知c、面积以及222acb列出方程组，即可求出c的方程；（2）根据题意设出直线方程，与椭圆联立，利用韦达定理，且oaob根据向量数量积列出关系式，求出斜率，即可得直线l的方程 . 【详解】（ 1）依题意得22222222,3,3,2.ca babababc，解得223,1ab，椭圆c的方程为2213xy（2）易知直线l的斜率存在，并设直线方程为3ykx，将其代入2213xy

27、，化简得22(13)18240kxkx，设11,a x y、22,b xy，22(18 )96(13)0kk283k，且1212221824,1313kxxx xkk，依题意可知oaob，0oa obuuu r uuu r，即12120 x xy y1212(3)(3)0 x xkxkx21212(1)3 ()90kx xk xx将1212221824,1313kxxx xkk代入上式得222224(1)54901313kkkk化简得2333k，所以11k故所求的直线方程为113yx.【点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性

28、质及数形结合的思想，考查综合分析与运算能力.综合性强，是中档题. 21. 根据有关资料预测，某市下月1 14日的空气质量指数趋势如下图所示.，根据已知折线图，解答下面的问题：（1）求污染指数的众数及前五天污染指数的平均值；（保留整数）（2）为了更好发挥空气质量监测服务人民的目的，监测部门在发布空气质量指数的同时，也给出了出行建议，比如空气污染指数大于150 时需要戴口罩，超过200 时建议减少外出活动等等.如果某人事先没有注意到空气质量预报，而在112 号这 12 天中随机选定一天，欲在接下来的两天中（不含选定当天）进行外出活动 .求其外出活动的两天期间.恰好都遭遇重度及以上污染天气的概率；至

29、少有一天能避开重度及以上污染天气的概率.附：空气质量等级参考表：aqi(0,50(50,100(100,150(150,200(200,250(250,500等级优良轻度污染中度污染重度污染严重污染【答案】（ 1）众数为157，平均值为194； （2）14；34【解析】【分析】（1）根据折线图可知知道众数，利用平均数计算公式可以算出平均值；（2）根据折线图，12天中只有1 日、 11日、 12 日 3 天满足题意，根据古典概型概率公式即可得；法一从事件的对立面入手结合即可得；法二分两种情况（i）连续两天都避开重度及以上污染；（ii ）恰有一天有重度及以上污染，求出概率，在求和即可. 【详解】（

30、 1）众数为157，共出现3次 .前五天污染指数平均值为214+275+243+157+80969=19455，（2）在 2 月 1 日12 日这 12 天中，只有在1日、 11 日、 12 日 3 天时，其接下来的两天才会遭遇重度及以上污染天气，故：所求的概率为31124p法 1：由知， “ 此人外出期间其接下来的两天期间都避不开重度及以上污染” ，对应的到达日期为：1日、 11日、 12 日.所以所求的概率为131=44p法 2：根据题意，事件“ 此人接下来的两天至少有1 天能避开空气重度及以上污染” ，包括两种情况：（i）连续两天都避开重度及以上污染；由折线图易知，在3 日、 4 日、 7 日、 8 日、 9 日时，其接下来的两天都能避开重度及以上污染天气此时，所求的概率为512p，（ii ）恰有一天有重度及以上污染由折线图易知，在2 日、 5 日、 6 日、 10 日时，其接下来的两天恰有一天能避开重度及以上污染天气此时，所求的概率为41=123p故所求的概率为1533124p.【点睛】本题主要考查的是众数，平均数的计算，以及古典概型的概率计算，同时考查学生对折线图的理解和应用，考查学生的分析问题解决问题的能力，是基础题. 22. 已知函数( )f x 满足 :定义为r；2( )2()9xxf xfxee.（1）求( )f x 的解析式；（2）若12, 1,1x x；均