2019-2020学年湖南省高考数学文科冲刺试卷(3)(有答案)

1、. . 湖南省高考数学冲刺卷（文科）（3）一、选择题：本大题共12 个小题，每小题5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1复数 z 满足（ zi ） （2i ）=5则 z=（）a 22i b 2+2i c22i d2+2i 2集合 u=0，1，2，3， 4，a=1，2 ， b=xz|x25x+40 ，则 ?u（ab） =（）a0 ，1，3，4 b 1 ，2，3 c0 ，4 d 0 3阅读如图所示的程序框图，若输出的数据为58，则判断框中应填入的条件为（）ak3 bk4 c k5 dk6 4设 sn是等比数列 an的前 n 项和，若=3，则=（）a2 bc

2、dl 或 2 5有四个关于三角函数的命题：p1：sinx=siny? x+y= 或 x=y；p2：? x r，sin2+cos2=1；p3：x，yr，cos（xy）=cosx cosy；p4：? x 0 ， ， =cosx 其中真命题是（）ap1，p2bp2，p3cp1，p4dp2，p46若实数x，y 满足不等式组，且 z=y2x 的最小值等于2，则实数m的值等于（）a 1 b1 c 2 d2 7如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（）. . a8b16 c32 d648若 （，） ，则 3cos2=sin （） ，则 sin2 的值为（）abcd9如图，有四个平面图形分

3、别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆垂直于x 轴的直线l ：x=t （0 ta）经过原点o向右平行移动， l 在移动过程中扫过平面图形的面积为y（图中阴影部分） ，若函数 y=f（t ）的大致图象如图，那么平面图形的形状不可能是（）abc d10在直角坐标系xoy 中，设 p是曲线 c：xy=1（ x0）上任意一点，l 是曲线 c在点 p处的切线，且l 交坐标轴于a ，b两点，则下列结论正确的是（）a oab 的面积为定值2 b oab 的面积有最小值为3 c oab 的面积有最大值为4 d oab 的面积的取值范围是3 ，4 11已知 f1，f2分别是双曲线=1（a 0，b0）的左，右焦点，

4、点p 在双曲线的右支上，且（o为坐标原点） ，若| ，则该双曲线的离心率为（）a +bc +d. . 12设函数f （x）是定义在r上的偶函数，对任意xr，都有 f （x）=f （x+4） ，且当 x 2，0 时， f（x） =（）x1，若在区间（2，6）内关于x 的方程 f （x） loga（x+2）=0（a1）恰有三个不同的实数根，则a 的取值范围是（）a （，0） b （，2 c，2）d ，2 二、填空题（每题5 分，满分20 分，将答案填在答题纸上）13已知函f （x）=，则 f （f （） ）= 14已知 |=1 ，|=2 ， aob=， =+，则?= 15某种饮料每箱装5 听，其中

5、有3 听合格， 2 听不合格，现质检人员从中随机抽取2 听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是16 如图，在 abc中， sin=， ab=2 ， 点 d在线段 ac上， 且 ad=2dc ， bd=， 则 cosc= 三、解答题（本大题共5 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）17已知数列 an 中， a1=1，an+1=（ nn*）（1）求证： 是等比数列，并求an 的通项公式an；（2）数列 bn 满足 bn=（3n1）?，数列 bn的前 n 项和为 tn，若不等式（ 1）对一切 nn*恒成立，求 的取值范围18某城市随机抽取一个月（30 天）的空气质

6、量指数api 监测数据，统计结果如下：api 0 ，50 （ 50，100 （100，150 （150，200 （200，250 （250，300 （300，350 空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染天数2 4 5 9 4 3 3 （）根据以上数据估计该城市这30 天空气质量指数api 的平均值；（）若该城市某企业因空气污染每天造成的经济损失s（单位：元）与空气质量指数api（记为 w）的关系式为：. . s=若在本月30 天中随机抽取一天，试估计该天经济损失s大于 200 元且不超过600 元的概率19在三棱锥s abc中， sa 底面 abc ，abc=90 ，且sa=

7、ab ，点 m是 sb的中点， an sc且交 sc于点n（1）求证： sc 平面 amn ；（2）当 ab=bc=1 时，求三棱锥m san的体积20已知双曲线c的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率e=，虚轴长为2（）求双曲线c的标准方程；（）若直线l ：y=kx+m与双曲线c相交于 a ，b两点（ a，b均异于左、右顶点） ，且以 ab为直径的圆过双曲线 c的左顶点d，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标21设函数f （x）=（1+x）22ln （1+x） （1）若关于 x 的不等式f（ x） m 0 在0 ，e1 （e 为自然对数的底数）上有实数解，求实数m的取值范围；（2）设

8、g（ x）=f （x） x2 1，若关于x 的方程 g（x）=p 至少有一个解，求p 的 最小值请考生在22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 选修 4-1 ：几何证明选讲22 （几何证明选讲选做题）已知ad是 abc的外角 eac的平分线，交bc的延长线于点d，延长 da交abc的外接圆于点f，连接 fb ，fc（1）求证： fb=fc ；（2）若 ab是 abc外接圆的直径， eac=120 ，bc=3，求 ad的长 选修 4-4 ：坐标系与参数方程. . 23已知直线l 的参数方程为（t 为参数）曲线 c的极坐标方程为=2直线 l 与曲线 c交于 a，b两

9、点，与y 轴交于点 p（1）求曲线c的直角坐标方程；（2）求的值 选修 4-5 ：不等式选讲 24设 f （x）=|x 1| |x+3| （1）解不等式f （x） 2；（2）若不等式f （x） kx+1 在 x3， 1 上恒成立，求实数k 的取值范围. . 湖南省高考数学冲刺卷（文科）（3）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12 个小题，每小题5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1复数 z 满足（ zi ） （2i ）=5则 z=（）a 22i b 2+2i c22i d2+2i 【考点】 复数代数形式的混合运算【分析】 复数的乘法转化为除法，化简

10、复数方程，利用复数的分子分母同乘分母的共轭复数，然后整理即可【解答】 解： （zi ） （2i ） =5? zi=? z=+i=+i=+i=2+2i 故选 d2集合 u=0，1，2，3， 4，a=1，2 ， b=xz|x25x+40 ，则 ?u（ab） =（）a0 ，1，3，4 b 1 ，2，3 c0 ，4 d 0 【考点】 交、并、补集的混合运算【分析】 求出集合b中不等式的解集，找出解集中的整数解确定出b，求出 a与 b的并集，找出全集中不属于并集的元素，即可求出所求【解答】 解：集合b中的不等式x25x+4 0，变形得：（x 1） （x 4） 0，解得： 1x 4，b=2，3，a=1，2

11、，ab=1，2，3 ，集合 u=0，1， 2，3，4 ，?（ab） =0， 4故选： c3阅读如图所示的程序框图，若输出的数据为58，则判断框中应填入的条件为（）. . ak3 bk4 c k5 dk6 【考点】 程序框图【分析】 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】 解：当 s=0，k=1 时，不满足输出条件，故进行循环，执行完循环体后，s=1，k=2，当 s=1，k=2 时，不满足输出条件，故进行循环，执行完循环体后，s=6，k=3，当 s=6，k=9 时，不满足输出条件，故进行循环，执行

12、完循环体后，s=21，k=4，当 s=21， k=4 时，不满足输出条件，故进行循环，执行完循环体后，s=58， k=5，当 s=58， k=5 时，满足输出条件，故判断框中应填入的条件为k4，故选： b4设 sn是等比数列 an的前 n 项和，若=3，则=（）a2 bcdl 或 2 【考点】 等比数列的前n 项和【分析】 利用等比数列的前n 项和公式求解【解答】 解： sn是等比数列 an 的前 n 项和， =3 ，=1+q2=3， q2=2，=. . 故选： b5有四个关于三角函数的命题：p1：sinx=siny? x+y= 或 x=y；p2：? x r，sin2+cos2=1；p3：x，

13、yr，cos（xy）=cosx cosy；p4：? x 0 ， ， =cosx 其中真命题是（）ap1，p2bp2，p3cp1，p4dp2，p4【考点】 命题的真假判断与应用【分析】 根据三角函数的定义及周期性，可判断p1；根据同角三角函数基本关系的平方关系，可判断p2；根据两角差的余弦公式，可判断p3；根据二倍解的余弦公式，及根式的运算性质，可判断p4【解答】 解： p1：若 sinx=siny? x+y= +2k 或 x=y+2k， kz，故错误；p2：根据同角三角函数基本关系的平方关系，可得：? x r，sin2+cos2=1，故正确；p3：x，yr，cos（xy）=cosxcosy+s

14、inxsiny，与 cosx cosy 不一定相等，故错误；p4：? x 0 ， ， =|cosx|=cosx，故正确故选： d6若实数x，y 满足不等式组，且 z=y2x 的最小值等于2，则实数m的值等于（）a 1 b1 c 2 d2 【考点】 简单线性规划【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用z=y2x 的最小值等于2，结合数形结合即可得到结论【解答】 解：由 z=y2x，得 y=2x+z，作出不等式对应的可行域，平移直线y=2x+z，由平移可知当直线y=2x+z 经过点 a时，直线 y=2x+z 的截距最小，此时z 取得最小值为2，即 y2x=2，由，解得，即 a（1， 0） ，.

15、. 点 a也在直线x+y+m=0上，则 m= 1，故选： a 7如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（）a8b16 c32 d64【考点】 由三视图求面积、体积【分析】 由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，其外接球，与以俯视图为底面，以 4 为高的直三棱柱的外接球相同，进而可得该几何体外接球的表面积【解答】 解：由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，其外接球，与以俯视图为底面，以4 为高的直三棱柱的外接球相同，如图所示：由底面底边长为4，高为 2，故底面为等腰直角三角形，. . 可得底面外接圆的半径为：r=2，由棱柱高为4，可

16、得球心距为2，故外接球半径为：r=2，故外接球的表面积s=4 r2=32，故选： c 8若 （，），则 3cos2=sin （） ，则 sin2 的值为（）abcd【考点】 三角函数的化简求值；同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数【分析】 直接利用两角和与差的三角函数以及二倍角的余弦函数化简函数的表达式，利用平方关系式求出结果即可【解答】 解：3cos2=sin （） ，可得 3cos2=（cossin ），3（cos2 sin2） =（cossin ），（，） ，sin cos 0，上式化为： sin +cos=，两边平方可得1+sin2 =sin2 =故选

17、： d9如图，有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆垂直于x 轴的直线l ：x=t （0 ta）经过原点o向右平行移动， l 在移动过程中扫过平面图形的面积为y（图中阴影部分） ，若函数 y=f（t ）的大致图象如图，那么平面图形的形状不可能是（）. . abc d【考点】 函数的图象【分析】 直接利用图形的形状，结合图象，判断不满足的图形即可【解答】 解：由函数的图象可知，几何体具有对称性，选项 a、b 、 d，l 在移动过程中扫过平面图形的面积为y，在中线位置前，都是先慢后快，然后相反选项 c，后面是直线增加，不满足题意；故选： c、10在直角坐标系xoy 中，设 p是曲线

18、c：xy=1（ x0）上任意一点，l 是曲线 c在点 p处的切线，且l 交坐标轴于a ，b两点，则下列结论正确的是（）a oab 的面积为定值2 b oab 的面积有最小值为3 c oab 的面积有最大值为4 d oab 的面积的取值范围是3 ，4 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】 设 p（a，） ，求出曲线c在点 p处的切线方程，再计算面积，即可得出结论【解答】 解：由题意， y=（x0） ，则 y=设 p（a，） ，则曲线c在点 p处的切线方程为y=（xa） ，x=0 可得 y=；y=0 可得 x=2a， oab的面积为=2，即定值2，故选： a11已知 f1，f2分别是双

19、曲线=1（a0，b0）的左，右焦点，点p 在双曲线的右支上，且（o为坐标原点） ，若| ，则该双曲线的离心率为（）a +bc +d【考点】 双曲线的简单性质. . 【分析】 利用，可得，设=x，则=，利用勾股定理，求出 x=c，由双曲线的定义可得x x=2a，代入即可得出结论【解答】 解：（o为坐标原点） ，设=x，则=，x2+2x2=4c2，x=c，由双曲线的定义可得xx=2a，（1）?c=2a，e=+故选： a12设函数f （x）是定义在r上的偶函数，对任意xr，都有 f （x）=f （x+4） ，且当 x 2，0 时， f（x） =（）x1，若在区间（2，6）内关于 x 的方程 f （x

20、） loga（x+2）=0（a1）恰有三个不同的实数根，则a 的取值范围是（）a （，0） b （，2 c，2）d ，2 【考点】 根的存在性及根的个数判断【分析】 由 f （x）=f （x+4） ，推出函数的周期是4，根据函数f （ x）是偶函数，得到函数f （ x）在一个周期内的图象，利用方程和函数之间的关系，转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合确定满足的条件即可得到结论【解答】 解：由 f （x）=f （x+4） ，得函数f （ x）的周期为4，当 x 2，0 时， f （ x）=（）x1，若 x0 ，2 ，则 x 2，0 ，则 f （ x） =（）x1=2x1，f （ x）是偶函

21、数，f （ x）=（）x1=2x 1=f （ x） ，即 f （x） =2x1，x 0 ，2 ，由 f （x） loga（x+2）=0得 f （x）=loga（x+2） ，. . 作出函数f（x）的图象如图：当a1 时，在区间（2， 6）要使方程f （x） loga（x+2）=0恰有 3 个不同的实数根，则等价为函数f （ x）与 g（x）=loga（x+2）有 3 个不同的交点，则满足，即，即，解得a2，故 a 的取值范围是（，2 ，故选： b二、填空题（每题5 分，满分20 分，将答案填在答题纸上）13已知函f （x）=，则 f （f （） ）= 【考点】 分段函数的应用；函数的值；对数的

22、运算性质【分析】 利用分段函数直接进行求值即可【解答】 解：由分段函数可知f（）=，f （f （） ）=f （ 2）=故答案为：14已知 |=1 ，|=2 ， aob=， =+，则?= 【考点】 平面向量数量积的运算【分析】 根据平面向量的数量积运算，进行计算即可【解答】 解：因为 |=1 ，|=2 ， aob=，且=+，. . 所以?=?（+）=+?=12+12 cos=故答案为：15某种饮料每箱装5 听，其中有3 听合格， 2 听不合格，现质检人员从中随机抽取2 听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是0.7 【考点】 古典概型及其概率计算公式【分析】 至少有一听不合格的对立事件是

23、两听都合格，由此利用对立事件的概率公式能求出检测出至少有一听不合格饮料的概率【解答】 解：至少有一听不合格的对立事件是两听都合格，检测出至少有一听不合格饮料的概率：p=1=0.7 故答案为： 0.7 16如图，在 abc中， sin=，ab=2，点 d在线段 ac上，且 ad=2dc ，bd=，则 cosc= 【考点】 余弦定理；正弦定理【分析】 利用二倍角的余弦函数公式即可求出cosabc的值，设 bc=a ， ac=3b ， 由 ad=2dc 得到 ad=2b ， dc=b ，在三角形abc中，利用余弦定理得到关于a 与 b 的关系式，在三角形abd和三角形dbc中，利用余弦定理分别表示出

24、cos adb和 cosbdc ，由于两角互补，得到cosadb等于 cos bdc ，两个关系式互为相反数，得到a与 b 的另一个关系式，求出a ，b 即可得到结论【解答】 解：因为sin=，所以 cosabc=1 2sin2=12（）2=1 2=，在 abc中，设 bc=a ，ac=3b ，由余弦定理可得：. . 在 abd和 dbc中，由余弦定理可得：，因为 cosadb= cosbdc ，所以有=，所以 3b2a2=6 由可得a=3， b=1，即 bc=3 ，ac=3 则 cosc=，故答案为：三、解答题（本大题共5 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）17已

25、知数列 an 中， a1=1，an+1=（nn*）（1）求证： 是等比数列，并求an的通项公式an；（2）数列 bn 满足 bn=（3n1）?，数列 bn的前 n 项和为 tn，若不等式（ 1）对一切 nn*恒成立，求 的取值范围【考点】 数列与不等式的综合；等比关系的确定【分析】（1）由数列 an中， a1=1， an+1=（nn*） ，可得=1+变形为，利用等比数列的通项公式即可得出（2）由（ 1）可知： bn，利用“错位相减法”即可得出tn，利用不等式（1），通过对 n 分为偶数与奇数讨论即可【解答】 解： （1）由数列 an中， a1=1，an+1=（nn*） ，可得=1+，. . 是

26、首项为，公比为3 的等比数列，化为（2）由（ 1）可知： =，tn=+，两式相减得=（ 1）n?+=4若 n 为偶数，则， 3若 n 为奇数，则， 2，解得 2综上可得 2 318某城市随机抽取一个月（30 天）的空气质量指数api 监测数据，统计结果如下：api 0 ，50 （ 50，100 （100，150 （150，200 （200，250 （250，300 （300，350 空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染天数2 4 5 9 4 3 3 （）根据以上数据估计该城市这30 天空气质量指数api 的平均值；（）若该城市某企业因空气污染每天造成的经济损失s（单位：元）与

27、空气质量指数api（记为 w）的关系式为：s=若在本月30 天中随机抽取一天，试估计该天经济损失s大于 200 元且不超过600 元的概率【考点】 古典概型及其概率计算公式；分段函数的应用【分析】（）根据平均数的计算公式即可估计该城市这30 天空气质量指数api 的平均值；. . （）根据分段函数的表达式，求出满足经济损失s大于 200 元且不超过600 元对应的天数，根据古典概型的概率公式即可得到结论【解答】 解： （）根据以上数据估计该城市这30 天空气质量指数api 的平均值为 25 2+75 4+1255+1759+2254+2753+3253=；（）由分段函数的表达式可知，若经济损失

28、s大于 200 元且不超过600 元，则得 2004w400600，即 6004w1000，解得 150w250，此时对应的天数为9+4=13，则对应的概率p=19在三棱锥s abc中， sa 底面 abc ，abc=90 ，且sa=ab ，点 m是 sb的中点， an sc且交 sc于点n（1）求证： sc 平面 amn ；（2）当 ab=bc=1 时，求三棱锥m san的体积【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（1）依题意， 可证得 cb平面 sab ，从而可证cb am ；由 sa=ab ，点 m是 sb的中点可证得am sb ，而 cb sb=b ，

29、从而am 平面 scb ? am sc，进一步可证sc 平面 amn ，利用面面垂直的判断定理即可证得结论（2）利用（ 1）的结果，通过数据关系，求出am ，mn ，sn ，然后求出棱锥的体积【解答】 解： （1）证明： sa平面 abc ，sa cb abc直角三角形，cb ab ，且 sa ab=a ，cb 平面 sab ，cb am sa=ab ，m为 sb的中点，am sb ，且 cb sb=b ，am 平面 scb ，am sc . . 又 sc an ，且 an am=a ，sc 平面 amn （2）由（ 1）可知 amn= snm= sna=90 ，sa=ab=bc=1 ，am=

30、sm=mb= ，sc=，mn=sn=sc 平面 amn ，三棱锥m san的体积： =20已知双曲线c的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率e=，虚轴长为2（）求双曲线c的标准方程；（）若直线l ：y=kx+m与双曲线c相交于 a ，b两点（ a，b均异于左、右顶点） ，且以 ab为直径的圆过双曲线 c的左顶点d，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（）由已知得：，2b=2，易得双曲线标准方程；（）设 a（x1，y1） ，b（x2，y2） ，联立，得（ 14k2）x28mkx4（m2+1）=0，以 ab为直径的圆过双曲线c的左顶点d（ 2，0）

31、， kadkbd=1，即，代入即可求解【解答】 解： （）由题设双曲线的标准方程为，由已知得：，2b=2，又 a2+b2=c2，解得 a=2， b=1，双曲线的标准方程为（）设a （x1，y1） ，b（ x2，y2） ，联立，得（ 14k2）x28mkx4（ m2+1）=0，. . 有，以 ab为直径的圆过双曲线c的左顶点d （ 2，0） ，kadkbd=1，即，y1y2+x1x2+2（x1+x2）+4=0，3m216mk+20k2=0解得 m=2k或 m=当 m=2k时， l 的方程为y=k（ x+2） ，直线过定点（2，0） ，过双曲线的左顶点，与已知矛盾；当 m=时， l 的方程为y=k

32、（x+） ，直线过定点（，0） ，经检验符合已知条件故直线 l 过定点，定点坐标为（，0） 21设函数f （x）=（1+x）22ln （1+x） （1）若关于 x 的不等式f（ x） m 0 在0 ，e1 （e 为自然对数的底数）上有实数解，求实数m的取值范围；（2）设 g（ x）=f （x） x2 1，若关于x 的方程 g（x）=p 至少有一个解，求p 的 最小值【考点】 利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求导，根据函数单调性求得函数f （x）的最大值，由f （x）maxm ，即可求得m的取值范围；（2）求得 g（x）的导函数g（ x） ，求得函数的单调性与最值，从而求得p 的最小值【解

33、答】 解： （1），且当 x0 时，在0 ， e1 上有 f （x） 0，f （x）=（1+x）22ln （1+x）在 0 ，e1 上单调递增，得，. . 因为关于x 的不等式f （x） m 0 在0 ，e 1 （e 为自然对数的底数）上有实数解，f （ x）maxm ，即 m e22，所以实数m的取值范围是（，e22 （2） g（x）=f （x） x21=2x2ln （ 1+x） ，在（ 1，0）上 g （x） 0，在（ 0，+） ，g （x） 0，g（ x）min=g（ 0）=0，x 的方程 g（x）=p至少有一个解，p 0，p 最小值为0请考生在22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 选修 4-1 ：几何证明选讲22 （几何证明选讲选做题）已知ad是 abc的外角 eac的平分线，交bc的延长线于点d，延长 da交abc的外接圆于点f，连接 fb ，fc（1）求证： fb=fc ；（2）若 ab是 abc外接圆的直径，eac =120， bc=3，求 ad的长【考点】 圆內接多边形的性质与判定；圆周角定理【分析】（1）证明 fb=fc ，即证 fbc= fcb ，利用 ad平分 eac ，四边形 afbc内接于圆，可证得；（2）先计算得 acd=90 ， dac=60 ， d=30 ，在rtacb中，求