欧拉方程的求解

1、欧拉方程的求解1. 引言在数学研究领域，我们经常会看到以数学家名字命名的概念、公式、定理等等，让人敬佩跟羡慕. 但是，迄今为止，哪位数学家的名字出现得最多呢？他就是数学史上与阿基米德、牛顿、高斯齐名的“四杰”之一，人称“分析学的化身”的盲人数学家欧拉( Leonhard Euler,1707-1783) .几乎在每一个数学领域都可以看到他的名字， 譬如我们熟悉的 “欧拉线” 、 “欧拉圆” 、 “欧拉公式” 、 “欧拉定理” 、 “欧拉函数” 、 “欧拉积分” 、 “欧拉变换” 、 “欧拉常数” L L 欧拉还是许多数学符号的发明者，例如用 表示圆周率、e表示自然对数的底、f(x)表示函数、

2、表示求和、 i 表示虚数单位L L以欧拉命名的数学名词有很多，本文主要讲解以欧拉命名的方程即“欧拉方程” .在文献 1 中， 关于欧拉方程的求解通常采用的是变量变换的方法变量变换法就是将所求的欧拉方程化为常系数齐次线性微分方程，然后再来求解这个常系数齐次线性微分方程的解， 亦即求其形如 y xK 的解，进而求得欧拉方程的解.但有些欧拉方程在用变量变换法求解时比较困难 . 本文在所学的欧拉方程的求解的基础上，对欧拉方程进行了简单的分类，并针对不同阶的欧拉方程的求解给出了不同的定理. 最后在每类欧拉方程后面给出了典型的例题加以说明 .2. 几类欧拉方程的求解定义 1 形状为n （n）n 1 （n

3、1）x ya1 xy Lan 1xyany0（1）的方程称为欧拉方程.（其中a1 ，a2 ， L ， an 1， an 为常数）二阶齐次欧拉方程的求解（求形如 yxK 的解）二 阶 齐 次 欧 拉 方 程 ： x2ya1xya2y 0.（2）（ 其中 a1, a2 为已知常数）我们注意到，方程（ 2）的左边 y 、 y 和 y 的系数都是幂函数（分别是X2、aix和a2X0）,且其次依次降低一次.所以根据募函数求导的性质， 我们用幂函数y xK 来尝试， 看能否选取适当的常数K ， 使得 yxK满足方程（ 2 ） .对 y xK 求一、二阶导数，并带入方程（2） ，得2KKK（K K）xa1K

4、xa2x0或K2 （a1 1）K a2xK0,消去 xK ，有K2 （a1 1）K a2 0.（ 3）定义 2 以 K 为未知数的一元二次方程（ 3 ） 称为二阶齐次欧拉方程（ 2）的特征方程.由此可见， 只要常数 K 满足特征方程（ 3 ） ， 则幂函数 y xK 就是方程（2 ）的解.于是，对于方程（2）的通解，我们有如下结论:定理1方程（2）的通解为（i） y axs C2XK1lnx,（ K1K2 是方程（3）的相等的实根）（ii） y cxK1 c2XK2,（K1 K2 是方程（3）的不等的实根）（iii） y Cix cos（ In x） C2X sin（ Inx）. （ K1,2

5、i 是方程（3）的一对共辗复根）（其中C1、C2为任意常数）证明（i ）若特征方程（3）有两个相等的实根：K1 K2,则V1 xK1是方程（2）的解，且设y2 u（x） , y1 xK1u（x） （ u（x）为待定函数）也是方程（2）的解（由于也u（x）,即y-y2线性无关），将其带入方程（2）,得y1xK1（ K12 K1）u 2Klxux2u a1xK1 （K1u xu ） a2x K1 u 0,约去 xK1 ，并以 u 、 u 、 u 为准合并同类项，得0.22x u(2K1 a1) xu K1(a1 1)K1 a2u由于K 1是特征方程(3)的二重根，因此K12 (a1 1)K1 a2

6、0或2K1 (a1 1) 0 ,于是，得2x u ux 0或xu u 0 ,即( xu )0 ,u ( x )c1 ln xc2 .不妨取u（x） lnx,可得方程（2）的另一个特解Ki .y2 x ln x,所以，方程（2）的通解为KiKi y c1xc2x ln x.（其中c1 , C2为任意常数）（ii ）若特征方程（3）有两个不等的实根：8 %,则yi xK1 , y2 xK2是方程（2）的解.K2又正、x（K2Kl）不是常数，即yi, y2是线性无关的. yi x i所以，方程（2）的通解为y CixKi axK2.（其中C1 , C2为任意常数）（iii ）若特征方程（3）有一对共

7、辗复根：Ki,2i （0）,则yi x（ y2 x（ ”是方程（2）的两个解，利用欧拉公式，有y1x(i)xei1nx x (cos( In x) i sin( In x),y2x(i)xei 1nx x (cos( In x) i sin( In x),显然，x cos( In x)1y22和x sin( In x)*一y22i是方程(2)的两个线性无关的实函数解.所以，方程(2)的通解为yGix cos( 1n x)c2x sin( In x).(其中Q , C2为任意常数)例1求方程x2y xy y 0的通解.解该欧拉方程的特征方程为K(K 1) K 1 0即(K 1)2 0,其根为：K

8、i K2 1 ,所以原方程的通解为y (c1 c2 In x)x .(其中c1 , c2为任意常数)例2求方程X2y xy 8y 0的通解.解该欧拉方程的特征方程为2_K ( 1 1)K 8 0,即K2 2K 8 0,其根为：K12, K2 4,所以原方程的通解为C14y -2 c2X .x（其中C1 , C2为任意常数）例3求方程的通解x2y 3xy 5y 0 .解该欧拉方程的特征方程为K(K 1) 3K 5 0,2_其根为:K 2K 5 0,Ki,21 2i ,所以原方程的通解为1 r ，、y一 c1 cos(2ln x) q sin(2ln x).x（其中q , C2为任意常数）二阶非齐

9、次欧拉方程的求解（初等积分法）二阶非齐次欧拉方程：x2y &xy a2y f（x）.(4)（其中a2为已知实常数，f（x）为已知实函数）为了使方程（4）降阶为一阶线性微分方程，不妨设a11 K1 K2 ， a2K1K2 ,（ 5）则方程( 4 )变为x2y(1 K1 K2)xyK1K2a2yf (x) ，x(xy K2y) K1(xyK2y) f(x),（ 6）根据韦达定理，由（5）式可知，K1 ， K2 是一元二次代数方程K 2（a11）K a2 03）具体求解方法：K2为方程（2）的两个特征根，则方程（4）的通解y xK2 xK1 K2 1 x K1 1f (x)dxdx.(7)证

10、明 因为Ki , K2为方程(2)的两个特征根，于是方程（4）等价于方程（6）,令xyK2y p,代入方程（6）并整理，得Kif(x)P x xK2 -y解之，得方程（4）的通解为k2k k2 1 K 1 工y x 2 x 1 2 x 1 f (x)dxdx.由定理2知，只需要通过两个不定积分(当(7)式中的积分可积 时)即可求得方程(4)的通解.为了方便计算，给出如下更直接的结 论.定理3若Ki, K2为方程(2)的两个特征根，则(i )当Ki K2是方程(2)的相等的实特征根时，方程(4)的通解为y xK1ln x x K1 1 f (x)dx In x x K1 1f (x)dx,(ii

11、 )当KiK2是方程(2)的互不相等的实特征根时，方程(4)的通解为1K K 1 _K K 1 _yx 1 x 1 f (x)dx x 2 x 2 f(x)dx,K1 K2(iii )当K1,2 i是方程(2)的共辗复特征根时，方程(4)的通 解为111y x sin( In x) x cos( In x) f (x)dx cos( In x) x sin( In x) f (x)dx证明(ii )当K1 K2是方程(2)的互不相等的的实特征根时,将方程(1)的通解(7)进行分部积分，得K2K1 K2 1K1 1y x x x f(x)dxdx1xK2 x K1 1 f(x)dxdxK1 K2

12、Ki K21 xK2xK1 K2 x xK1 K2x K1 1 f (x)dxxK1 K2d x K1 1 f (x)dx(8)1K1x 1 xK1 K2Ki1 f (x)dx xK2 x K2 1 f (x)dx(iii )当K12i是方程(2)的共辗复特征根时，K1再由欧拉公式有K1ii lnxxxx ex cos( lnx)isin(lnx),K2ii ln xxxx ex cos( In x)i sin(In x),将其代入(8)式，整理可得方程(4)的通解为y -x sin(,、11 . /In x) x cos( In x) f (x)dx cos( In x) x sin(In

13、x) f (x)dx(i )的证明和(ii )类似.例1求方程x2y 3xy 4y x2In x x2的通解.解该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为K2 4K 4 0,特征根为Ki K2 2,所以由定理3,原方程的通解为y x2ln x x3(x2lnx x2)dxIn x x3(x2lnx x2)dx2.121312、x ln x (ln x) In x c1 (In x) - (In x) 5232222. 1312 .Gx In x c2xx 一(ln x) (In x)62(其中C1 , C2为任意常数)例2求方程x2y 2xy 2yx3ex的通解.解 该欧拉方程所对应的齐次方程的特

14、征方程为K2 3K 2 0,特征根为K12 , K2 1 ,所以由定理3,原方程的通解为yx2 x 3x3exdx x x2x3exdxx2(ex g) x(xex ex c2)2xjxc?x xe（其中0 , C2为任意常数）例3求方程x2yxy 2y x的通解.cos（ln x）解 该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为k2 2k 2 0 ,特征根为Ki,21 i,所以由定理3,原方程的通解为y xsin(lnx)2Xx cos(ln x)cos(lnx)dx cos(lnx) x 2sin(ln x)xdx cos(lnx)11 sin(ln x)xsin(ln x) dx cos(ln

15、x)dxxx cos(ln x)xsin(ln x)(ln x g) cos(lnx)ln(cos(ln x) g)xGsin(lnx) c2cos(lnx) xsin(ln x)ln x cos(lnx)ln(cos(ln x)（其中Q , c2为任意常数）在定理3中，若令f（x） 0,则得到二阶齐次欧拉方程（2）的通解.推论 方程（2）的通解为（i） yCiXK1C2XK1lnx,（ K1K2是方程（2）的相等的实特征根）（ii） yGXK1C2XK2,（KiK2是方程（2）的不等的实特征根）（iii） yc1X cos（ ln X） c2X sin（ ln X） . （ K1,2i 是方

16、程（ 2 ）的共轭复特征根）（其中c1 ， c2 为任意常数）三阶非齐次欧拉方程的求解（常数变易法）三阶非齐次欧拉方程：X3ya1X2ya2Xya3yf （X） .（ 9）（其中a1 ， a2 ， a3 为常数）（ 9）对应的齐次方程为X3ya1X2ya2Xya3y 0 .特征方程为 K3 (a1 3)K2 (2 a1 a2)K a3 0 . 11）定理4设Ki是方程（11）的根，a是方程K2 （3K2 a1 1）K 3K2（K2 1） 2a1K1 a20的根，则（9 ）的通解为yxK1xK2x（2K23K1a1 1）x（K22K1a12） f（x）dxdxdx . 12） 12）证明 根据条

17、件y cxKl （c为任意常数）是方程（10）的解.设y c（x）xKl是方程（9）的解（其中c（x）是待定的未知数），将其代入方程（9 ） ，整理得1213)c (x)(3K1a1)x 1c (x)3K1(K1 1)2a1K1 a2x 2c(x)K13(a13)K12 (2a1 a2)K1a3x 3c(x) x(K1 3)f(x) 因为K1是（11）的根，则K13 (a1 3)K12 (2 a1 a2)K1 a3 0 ,于是（ 13 ）式化为c (x)(3K1a1)x 1c (x)3K1(K11)2a1K1a2x 2c(x)x(K13) f (x)( 14)这是以c(x)为未知函数的二阶欧拉

18、方程.设%为(14)对应的齐次方程的特征方程K2 (3K1 a1 1)K 3K1(K1 1) 2a1K1 a2 0,( 15)的根，则c(x) xK2 x (2K2 3K1 a1) x(K2 K1 2)f (x)dxdx.从而 c(x)xK2 x (2K2 3K1 a1) x(K2 2K1 a1 2)f(x)dxdxdx.故方程( 1 )的通解为yxK1xK2x(2K23K1a11)x(K22K1a12)f(x)dxdxdx.定理5设8是方程(11)的根，%是方程(15)的根，则(i )当2是方程(11)的单实根，%是方程(15)的单实根，则(9)的通解为xK1y (3K1 2 K2 a)（i

19、i ）当Ki是方程K2(K1 K2 2)1 (3K1 K2 a1)(2 K1 K2 a1)x 2 x 1 f (x)dx x 1 2 1 x 1 f(x)dxdx 1（11）的单实根，%是方程（15）的单虚根，则（9）的通解为xy x 一sin( In x) x cos( In x) f (x)dx cos( In x) x sin( In x)f (x)dxdx(其中 1 3K1 a1 ,1 . 3K12-6K12丁(-4a2一(a11)2 )22（iii ）当K1是方程（11）的单实根，K2是方程（15）的重实根，则（9）的通解为y xK1 xK2Inx x (K1 K2 2) f(x)d

20、x In x x (K1 K2 2) f (x)dx dx,(iv )当K1是方程(11)的三重实根，方程(15)变为K2 2K 1 0, 有K21 ,则(9)的通解为y xK1 x 1ln x x (K1 1) f (x)dx In x x (K1 1) f (x)dxdx .c(x)(3K1 2K2 a1) 1K2(Kx xK2 2)f(x)dx1 (3K1 K2 xa1)(2KxK2a1' 3 f (x)dx证明（i ）因为是方程（15）的单实根，得（14）的通解为则（9）的通解为K1 xy (3K1 2K2 a1) 1K2(K1 Kx 2 x2 ) f (x)dx x1(3EK

21、2 百)x(2K1 K2a13 f (x)dxdx(ii )因为&是方程(14)的单虚根，此时方程(15)有一对共辗虚根(1 a 3K1)葭 3Kl2 6Kl 2a1Kl 4a2 (a1 1)2K2.2；一2",得(14)的通解为c(x) sin( ln x) x( K1 2) cos( lnx)f(x)dx cos( In x) x( K1 2)sin( lnx)f(x)dx则(9)的通解为xy x sin( ln x) x cos( ln x) f (x)dx cos( ln x) x sin( In x) f (x)dxdx(其中 1 3K1 a1 ,1J3K12 6K

22、l 2a1Kl 4a2 (a1 1)2 )22(iii )因为&是方程(15)的重实根，得(9)的通解为yxK1 xK2ln x x (K1 K2 2) f(x)dx ln x x (K1 K2 2) f (x)dx dx.(iv)当Ki是方程(10)的三重实根(43 3Ki),方程(15)变为K22 2K2 1 0,有 K21,将 a1 3 3Ki, &1 代入(12)式得y xK1 x 1x 1 x (K1 1)f (x)dxdxdx,对上式分部积分得（9）的通解为y xK1 x 1ln x x (K1 1) f(x)dx ln x x (K1 1)f (x) dx dx.

23、例 1 求三阶欧拉方程x3 y3x2y6xy 6y x 的通解 .解 原方程对应的齐次方程为x3y3x2y 6xy 6y 0 ,其特征方程为K3 6K2 11K 6 0，解得其特征根为 1 ， 2 ， 3 ，取K1 1 ，将 K1 1 ， a13 ， a2 6 ，代入方程(15) ，得2K22 K20,解得K2 1或0，利用定理 5（ i ）的通解公式有（其中 C） , C2,C3为任意常数)2c2xc3x.例2求二阶欧拉方程x3y 4x2y 13xy 13y x的通解.解原方程对应的齐次方程为3. 2x y 4x y 13xy 13y 0,其特征方程为(K 1)(K2 6K 13) 0,从而

24、解得特征单实根为Ki 1 ,将K1 1, ai4, a2 13代入方程(15),得到K22 2K25 0 ,解得K22 1 2i .令K2 1 2i ,则利用定理5 (ii )的通解公式有.X33y X sin(2ln x) x cos(2ln x)dx cos(2ln x) x sin(2ln x)dxdx1 .1rx In x c2 sin(2ln x) c1 cos(2ln x) c3x816(其中q, C2, q为任意常数)n阶齐次欧拉方程的求解(求形如y xK的解)令y xK是方程(1)的解，将其求导(需要求出y、y L y(n1)、y)代入方程(1),并消去xK,得K(K 1)L

25、(K n 1) a1K(K 1)L (K n 2) La(n 1)K an 0.(16)定义3以K为未知数的一元n次方程(16)称为n阶齐次欧拉方程 (1)的特征方程.由此可见，如果选取k是特征方程(16)的根，那么募函数y xk就是方程(1)的解.于是，对于方程(1)的通解，我们有如下结论:定理6方程（1）的通解为y Ciyi c2y2 L gyni gyn（其中q, C2L gi, Cn为任意常数），且通解中的每一项都有特征方程（16）的一个根所对应，其对应情况如下表：方程（16）的根方程（i）通解中的对应项单实根：K给出一项：cxK一对单共辗复根：Ki,2i给出两项：Gx cos( ln

26、 x) c2x sin( In x)k重实根：K给出 k项：xKCi c21nx LCK(lnx)K一对k重兵辗复根：Ki,2i给出2k项：一、kr，、x g c2 ln x Lck(1n x) cos( ln x)x di d2 In x Ldk (ln x)ksin( In x)例 1 求方程 x4y(4) 8x3y(3)15x2y5xy0 的通解.0,解该欧拉方程的特征方程为K(K 1)(K 2)( K 3) 8K(K 1)(K 2) 15K(K 1) 5K整理，得K(K2 2K 2) 0,其根为K1 K2 0 , K3,41 i ,所以原方程的通解为y Ci c2 1nx c3cos(

27、lnx) c4sin(lnx).xx(其中C1 , C2, C3, C4为任意常数)例 2 求方程 x4y(4) 6x3y(3) 7x2yxy y 0 的通解.解该欧拉方程的特征方程为K(K 1)(K 2)(K 3) 6K(K 1)(K 2) 7K(K 1) K 1 0 ,整理，得K4 1 0，其根为K1,2 i ， K3,4 i (即一对二重共轭复根) ，所以原方程的通解为y c1 cos(ln x) c2sin(ln x) c3 ln x cos(ln x) c4 ln x sin(ln x) .(其中c1 ， c2 ， c3 ， c4 为任意常数)3. 结束语从前面的讨论过程来看，和教材中的变量变换法相比，本文中的解决办法更直接、更简单. 但需要说明的是，本文中的定理和例题都是在 x 0 范围内对齐次欧拉方程求解的， 如果要在 x 0 范围内对其求解，则文中的所有lnx都将变为ln( x),所得的结果和x 0范围内的结果相似.4. 致谢