2017年高中数学联赛一二试及详解高清word版

1、2017年全国高中数学联赛A卷一试一、填空题1 .设f(x)是定义在R上的函数，对任意实数x有f(x 3) f(x 4)1.又当0 x 7时，f(x) log2(9 x),则f( 100)的值为.22 .若实数x, y满足x 2cosy 1 ,贝U x cosy的取值范围是 .22一x y3 .在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为： 1, F为C的上焦点，A为C的右顶点，P是C上位 910于第一象限内的动点，则四边形OAPF的面积的最大值为 .4 .若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1,则称其为“平稳数”.平稳数的个数是5 .正三棱锥P ABC中，AB 1, AP 2,过AB的平面

2、将其体积平分，则棱 PC与平面 所成角的余弦值 为.6 .在平面直角坐标系 xOy中，点集K (x,y)x,y1,0,1 .在K中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为曲的概率为.7 .在 ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点若 A 一, ABC的面积为J3 ,则AM AN的最 3小值为.8 .设两个严格递增的正整数数列an , bn满足：a10 b10 2017 ,对任意正整数n ,有an 2 an 1 an，bn 1 2bn ,则a1 n的所有可能值为 .二、解答题、一.，、，2/ 一一1、一一一匚9 .设k, m为实数，不等式 x kx m 1对所有x a, b成立.证明

3、：b a 2V2 .6X2 X310 .设x1, x2,x3是非负头数，满足x1x2x31,求(x1 3x25x3)(x1一一)的取小值和取大值352_211.设复数Zi,Z2满足Re(Zi) 0, Re(Z2) 0,且Re(zi) Re(z2) 2 (其中Re(z)表示复数z的实部)(1)求Re( Z1Z2)的最小值；(2)求乙 2 z2 2 z1 z2的最小值.2017年全国高中数学联赛A卷二试一.如图，在 ABC中，AB AC , I为 ABC的内心，以A为圆心，AB为半径作圆1 ,以I为圆心，旧为半径作圆2,过点B,I的圆3与1, 2分别交于点P,Q （不同于点B）.设IP与BQ交于点

4、R.证明：BR CR二.设数列an定义为ai1an 1ann, ann,ann, ann,n 1,2,.求满足ar r3 2017的正整数r的个数.若相邻连个小方格的颜色不.将33 33方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值四.设m,n均是大于1的整数，m n, a1，a2, ,an是n个不超过 m的互不相同的正整数，且 a1，a2, ,an互素. 2.证明：对任息头数 x,均存在一个i(1 i n),使得|aiX -|x| ,这里|y|表示实数y到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A卷一试答案1.

5、解：由条件知，/(工+ 14) = = f(jc)»所以工 + 7)A-1001 = /(-100 + Hx?)= <(-2) = - = -7(5 >I 隼2.答案工：- L 0+1 .犍：由于” 1- 26gh, F - L 3故苫曰61I 1由 UQ4 _ 可知，*C 快 I - v- _- y - lr ：.因此当 x = 时，-J"I1 4'a匚侬有最小值1(这时r可以取二)：当V 6时f g&r有最大值方 (这时J可以取齐),由于:(K +- 1三二宜二某建h 6 +口,从而K C05J的取值范国是-L/+1.3.解：易知加3,0),

6、901).设2的坐标是(3m双 M中口见状£ 0. g ,则535“川“$团二；TWhin，' I 二 1，.久uE=(yfioeusf/ I gin#)=0 +/) .2其中丁arrun v'1".当"-小皿后时，四边形U"产而枳的最大值为处1024.答案！ 75.修士考虑平稳数嬴.若b = 04则口 = 1匚丘0/卜有2个平稳数.若h = L则nWH,%dO.L2有2x3 = 6个平稳数.若之W6工2,则明共独一1,比占+13有7x3x3 = 63个平稳数.若8 = 9,则&cw祗9,有2K2 = 4个平稳数.综上可知平稳数的

7、个数是2十6+63 + 4 = 75.8.答案* - Id解:设X与/U的中点分别为陌M.则易证平而廿就是平而门.由中线 长公式知一一（,"所以KM =力/ 一又易知直域尸U在平面n上的射影是直线MK .而CH=I, KC = -,所以8r R4 2U)、人4二/vl j£2 KM fC枚棱尸c与平面口所或免的余弦值为HL106.5. 4答案:-.解:易知K中有q个点，放在K中Rfi机取出三个点的 方式数为C； =14种.将K中的点按右图标记为其中有8 对点之间的距底为妻.由对称性，考虑取其,出两点的情 况，则剩下的一个点有7种取法，这样有7K8 = 56个三点 细（不计号

8、组中三点的次序1对每个4（? = 1，21，印，犬 中恰有4w4t两点与之距更为后（这里下标按模g理蜂人因而恰有 V4,4t，4tH=1、2,盼这&个三点组被计了两次.从而满足条件的三点蛆个 数为畀-& = 48,进而所求概率为竺=±8477.答案：3 20.解】由条件可知：外,附，向均为正整数且匕<”、.由于其17、% =>力=51M，故九41.2.3.反复运用包的递推关系知u 口 +门+ 4一 1%匚 I 2ti - >u 立 1一-8。_ +5” （ Im >.r7n1!、3% + 迎=21/ 一】34 - 34H21叩因此2肛三心=&#

9、163; = 5123三2（m（xi34）,W13Z2I-M-8 I h 故有/一/MM Bx2A -26/»（iihx1?Jl另一方面，注意到4<,有55/<344+ 21% 512% 故q I ）Y言小517当方一 I时，分别化为/一？&frmM 34）, 口 <一r无解. 枭当42时，分别化为% = 521。04+修<与二 得到唯一的正整数% 一 1降此时叫一一工。.当八一R时*工,分别化为 7S<niod?4）. u, ：得到唯一的正整数55%一 10,比时力 + 4 - 1工综上所述，勺+也的所有可能值为1工20.9.证明:于是令区-次

10、，工乳%目,则1,1.,.4力" 由十一2K知.笑生可惬什.力-24手卜4,故力一"2VL用分 10.鳏：由柯西不等M5+3覆+ 5巧W： +6哼）之（石百=（苟 + % 4- x3 r = I»当天=I, W = 0.与=0时不等式等号成立，故欲求的最小值为L因为（*+3±+ 5七）|工.5+孑）=*-3£+5/心巧一手+ /）<（工.+3甚 *5jcJ+5工10分5 4 k 201< 201当钎X=g1时不等式等号成立,鼓欲求的最大值为上20分11.解之 （1）对* = 1,2*设勺=4W R）.由条件知/=Re（勺）>。

11、, W一式二 Re（zf） = 2 .因此=艮以石+/i）（三+ y：i）=天/-为外=加+2城+ / 一见/ > 帆” | + 2）一抄R 2 .又当马=%=J5时，Re（再为）= 2.这表明,的最小值为2.5分（2）时Jt = L2,将4对应到平面直角坐标系立方中的点以（%必），记是 片关于"才的对称点，则外理均位于双曲线C:-# = 2的右支上.设耳E分别是匚的左、右焦点，易知6（-2。%管Q,o）.根据双曲线的定义，有怛勾二 |PFj+2把,年典二|次|+2比进而得,+2|十月+ 2卜区一司=归+ 2| +历+2 -卜一司=团|+|明-|叫=4丐+ |曲|+|明-旧用“

12、日15分等号成立当且仅当居位于线段月月上（例如，当%=畛=。+力时，月恰是户g 的中点工“综上可知，B + 2|+。2 -鼻一目的最小值为40.20分92017年全国高中数学联赛A卷二试答案证明：孟接旭，/Ci IQ. PB,吟由于点0在脚匚上.故由二/0,所以上由。二Z7(W.乂 A. L P. 0四点共酬.所以dQB =上，PB ,节注£IBQ = £IPB. 放 ZRP - Z&R 从而市上依4 .2Mr. IIIB IP,IR 18注意到且为2U班的内心.他俯=/一所以干是3/匚/3 3/rc, ttZ/«C = Z/Cf.2又点尸件圆厂l的孤此上

13、.故，8斤=1851乙1.因此Z= W耐 H* Z/ffC= 21RP + ZKP=上 RPC?bo*-fo(r+ |zj -j ik(t 一：乙4 jt&BR ICR.*io分解:由数列的定义可如=1.小=2. W设对某个整数F之丁行我们证明 对=1上,r - 1*有&,>. = 2r+ f *t > r+ 2/-L ar<( =r -f < r + 21.L对Fin纳证明.当 f = I 忖* 由 1 ar = r > r , 由定义* ur =(ir + r = r+ r = 2r >r +1 .： = a,tJ -(r + l>

14、 = 2r-tr + l) = r-1 <r + 2,结i/成立台"设对某个14F(r-l.成立,则由定义or+iH =0 +(r + 2l) = r-/ + r+2f = 2r+f > r + 2t+l»口 1r.，心=可J一(r + 27 + 1) = 2r+ f -(r+ 21 + l) = F-F - < r + 2/ + 2 即结论对r4l也成立.由政学归纳法如，对所有f=L2"-l成立.特别当/二 F-I时.有0jl! =1 r 从而d31 =。-工 +<3r -2> = Jr -1,若将所有满足=的正展数r从小到大记为小

15、人.则由上面的结论可知r = l,r： = 2 .20 分1 山此可知,二 l ,； h 一】,“/ H从m?玷仃X I+ 1由于=3期，二二公在12产”中满足% =F的数r4Udfa共有201g个.为不公飞30分由可初.对每个走mLN“2017,+1一工一2中恰行 T满足彳州匚人i4.由于/" + 1=+1与均为奇数.而在之I.+L.产”中.奇数 均满足4人偶数均满足与其中的得数比奇效少I个.因此满足外，工3押门 的正整数l的个数为|(37 -2018-1)= 3ai 2019 .40 分15解：记分隔边的条数为£首先.将方格纸按如图分成二个区域.分别染成一10分种颜色.

16、粗线匕均为分隔边*此时共有56条分隔边.即4=56.下面证明£356.将方格纸的行从上至下依次记为4,应,.4尸 列从左至右 依次记内瓦.冬,小行4中方格出现的撅色数记为用送）列绛中方格出现的爆 色个数记为加81.三种颜色分别记为G g.对一种颜色勺,设打）是含有勺 色方格的行数与列数之和.记JL若4行含有弓色方格.加4勺）小 否则.类似地定M况6r,勺L于是一（加4耳）=）力（仪4，弓）+凤&勺） #1Hl jvl=£E（5（A.c）+ 用邑*/）=£ 慨）. I IfT由于染色的方格有，33工=363个.设含有口色方格的行有&个，列有b个.则口

17、色的方格一定在这门行和力列的交叉方格中,因此江之363,从而"（c/ =。+方A 2fab 2 2-363 > 38 .故， 1.2.3.*"*20分由于在行4中有M41种颜色的方格，因此至少有e4J-i条分隔边 同理在列 当中.至少有打（约）一1条分隔边.于是F之内-D+±5-1） ff=li=lJ3= （n（4）+ n（fif»-66r=l3=，内（r. ） - 66.>-i30分下而分两种情形讨论.情形1二仃一行或一列全部方格同色.不妨设有一行全为q色,从而方格纸的 33列中均含有片色的方格.由尸。色方格有363个，故至少有”行中;VT

18、T.色方 格.于是由.及即得上川G)+WJ)+打 SJ-66 之 44 + 39 + 39-66 = 56.40分情形2:没有一行也没有一列的全部方格同色.则对任意1 3433,均有 以4)22. MS)A2.从而由知L 之 Z(，«.4J + fi(2 )-66之 33x4-66=66 >56.综上所述.分隔边条板的最小值等于56.50分证明，苜先证明以卜两个结论.结论I:存在整数*满足q/必+ % =1 t并且IqK/w.I«i4门 .由于(4%*q) = 1 由裴蜀定理,存在整效&,勺，,q ,满足+c4 + -*G4 hI *下而证明,通过调整,存定一组6gc满足，且绝对值均不超过明 记 $(64 -£)=262£4% £)= Z 1。倬0,句 <一«如果，>0 .那么存在& > m > 1 *于是qq > 1» 乂因为4.生，,口*均为正 数.故由可知存在父。.令匚：=£一口/ j cf + ur /*?，/)*则。"i + c/tf, + + C