高中数学抽象函数专题含答案-教师版（精编版）

1、抽象函数周期性的探究（教师版）抽象函数是指没有给出具体的函数解析式, 只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力. 而在教学中我发现同学们对于抽象函数周期性的判定和运用比较困难, 所以特探究一下抽象函数的周期性问题.利用周期函数的周期求解函数问题是基本的方法. 此类问题的解决应注意到周期函数定义、紧扣函数图象特征，寻找函数的周期，从而解决问题. 以下给出几个命题：命题 1：若a是非零常数， 对于函数 y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一， 则函数 y=f(x)是周期函数 .（1） 函数 y=f(x

2、)满足f(x+a)=f(x)，则 f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.（2） 函数 y=f(x)满足f(x+a)=1f ( x)，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.（3） 函数 y=f(x)满足f(x+a)+f(x)=1，则 f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.命题 2：若 a、 b( ab) 是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数 y=f(x)是周期函数 .(1) 函数 y=f(x)满足 f(x+a)=f(x+b)，则f(x)是周期函数，且|a-b|是它的一个周期.(2) 函数图象关于两条直线x=a，x=b对称，则函数 y=f(x)是周

3、期函数，且2|a-b|是它的一个周期 .(3) 函数图象关于点m(a,0) 和点 n(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期 .(4) 函数图象关于直线x=a，及点 m(b,0) 对称，则函数y=f(x)是周期函数，且4|a-b|是它的一个周期 .命题 3：若a是非零常数， 对于函数 y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一， 则函数 y=f(x)是周期函数 .（1） 若 f(x)是定义在 r上的偶函数，其图象关于直线x=a对称，则 f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.（2） 若 f(x)是定义在 r上的奇函数，其图象关于直线x=a对称，则 f(x)

4、是周期函数，且4a是它的一个周期.我们也可以把命题3看成命题 2的特例 , 命题 3中函数奇偶性、对称性与周期性中已知其中的任两个条件可推出剩余一个. 下面证明命题3（1），其他命题的证明基本类似.设条件 a:定义在 r上的函数 f(x)是一个偶函数.条件b: f(x)关于 x=a对称条件 c: f(x)是周期函数 , 且2a是其一个周期 .结论:已知其中的任两个条件可推出剩余一个.证明:已知 a、b c （ 2001年全国高考第 22题第二问）f(x)是 r上的偶函数 f(-x)=f(x)又 f(x)关于x=a对称 f(-x)=f(x+2a)f(x)=f(x+2a) f(x)是周期函数 ,

5、且2a是它的一个周期已知 a、c b定义在 r上的函数 f(x)是一个偶函数f(-x)=f(x)又 2a是 f(x)一个周期 f(x)=f(x+2a)f(-x)=f(x+2a) f(x)关于 x=a对称已知 c、b af(x)关于 x=a对称 f(-x)=f(x+2a)又 2a是 f(x)一个周期 f(x)=f(x+2a)f(-x)=f(x) f(x)是r上的偶函数由命题 3(2) ，我们还可以得到结论:f(x)是周期为 t的奇函数，则f(t )=02基于上述命题阐述，可以发现，抽象函数具有某些关系. 根据上述命题，我们易得函数周期，从而解决问题，以下探究上述命题在解决抽象函数问题中的运用.1

6、. 求函数值例1： f(x)是r上的奇函数 f(x)= f(x+4)， x0 ， 2 时f(x)=x，求f(2007)的值解：方法一 f(x)= f(x+4) f(x+8) = f(x+4) =f(x)8是f(x)的一个周期f(2007)= f(251× 8-1)=f(-1)= f(1)= 1方法二 f(x)= f(x+4)， f(x)是奇函数f(-x)=f(x+4) f(x)关于 x=2对称又 f(x)是奇函数8是f(x)的一个周期，以下与方法一相同.例2：已知 f(x)是定义在 r上的函数， 且满足 f(x+2)1 f(x)=1+f(x)，f(1)=2，求f(2009)的值解：由

7、条件知 f(x)1，故f ( x2)1f ( x)1f ( x)f ( x4)1f ( x2)11f ( x2)f ( x)类比命题 1可知，函数 f(x)的周期为 8，故 f(2009)= f(251×8+1)=f(1)=22. 求函数解析式例3：已知 f(x)是定义在 r上的偶函数， f(x)=f(4-x)，且当 x2,0时， f(x)= 2x+1，则当 x4,6时求 f(x)的解析式解：当 x0,2时x2,0f( x)=2x+1f(x)是偶函数 f( x)=f(x) f(x)=2x+1当 x4,6时4x0,2 f( 4+x)=2( 4+x)+1=2x 7又函数 f(x)是定义在

8、 r上的偶函数，f(x)= f(4-x)，类比命题 3（ 1）知函数 f(x)的周期为4故f(-4+x)=f(x)当 x4,6时求 f(x)=2x 73. 判断函数的奇偶性例4：已知 f(x)是定义在 r上的函数， 且满足 f(x+999)=1f ( x)，f(999+x)=f(999x) ， 试判断函数 f(x)的奇偶性 .解：由 f(x+999)=1，类比命题 1可知，函数 f(x)的周期为 1998即f(x+1998)=f(x)；f ( x)由f(999+x)=f(999 x) 知f(x)关于 x=999对称，即 f( x)=f(1998+x) 故f(x)=f(x)f(x)是偶函数4.

9、判断函数的单调性例5：已知 f(x)是定义在 r上的偶函数， f(x)=f(4-x)，且当 x2,0时，f(x)是减函数，求证当 x4,6时f(x)为增函数解：设 4x1x26 则2x24x140 f(x)在-2 ， 0 上是减函数f (x24)f (x14)又函数 f(x)是定义在 r上的偶函数，f(x)= f(4-x)，类比命题 3（ 1）知函数 f(x)的周期为4故f(x+4)=f(x) f (x2 )f (x1) f(-x)=f(x)f ( x2 )f (x1)故当 x4,6时f(x)为增函数例6： f(x)满足 f(x) =-f(6-x)， f(x)= f(2-x)，若 f(a) =

10、-f(2000)， a 5 ， 9 且f(x)在5 ，9 上单调 . 求a的值 .解： f(x)=-f(6-x) f(x)关于（ 3，0）对称 f(x)= f(2-x) f(x)关于 x=1对称根据命题 2（ 4）得 8是f(x)的一个周期 f(2000)= f(0)又 f(a) =-f(2000) f(a)=-f(0)又 f(x)=-f(6-x)f(0)=-f(6) f(a)=f(6)a 5 ，9 且f(x)在5 ，9 上单调 a =65. 确定方程根的个数例7：已知 f(x)是定义在 r上的函数， f(x)= f(4 x) ， f(7+x)= f(7x),f(0)=0， 求在区间 1000

11、， 1000 上f(x)=0至少有几个根？解：依题意 f(x)关于 x=2， x=7 对称，类比命题2（2）可知 f(x)的一个周期是10故f(x+10)=f(x) f(10)=f(0)=0又f(4)=f(0)=0即在区间 (0 ， 10 上，方程 f(x)=0至少两个根又f(x)是周期为 10的函数，每个周期上至少有两个根，因此方程 f(x)=0在区间 1000， 1000 上至少有 1+22000 =401个根.10两类易混淆的函数问题：对称性与周期性刘云汉例 1.已知函数y= f （x）（ x r）满足 f （ 5+x） = f （ 5 x），问： y= f （ x）是周期函数吗它的图像

12、是不是轴对称图形例 2.已知函数y= f （x）（ x r）满足 f （ 5+x） = f （ 5 x），问： y= f （ x）是周期函数吗它的图像是不是轴对称图形这两个问题的已知条件形似而质异。有的同学往往把它们混为一谈，从而得出错误的结论。为了准确地回答上述问题，必须掌握以下基本定理。定理 1： 如果函数y= f （ x）（x r）满足 f （ 5+x） = f （ 5 x），那么 y= f （ x）的图像关于直线 xa 对称。证明： 设点 p x0 ， y0是 y= f （ x）的图像上任一点，点p 关于直线x=a 的对称点为q，易知，点q的坐标为2ax0 ， y0。因为点 p x0

13、， y0在 y= f （ x）的图像上，所以f( x0 )y0于 是 f2ax0faax0faax0fx0y0所以点 q2 ax0 ， y0也在 y= f （ x）的图像上。由 p 点的任意性知，y= f （ x）的图像关于直线x=a 对称。定理 2： 如果函数y= f （ x）（x r）满足 f （ a+x） = f （ b x），那么 y= f （ x）的图像关于直线 xab 的对称。2证明：（略）（证明同定理1）定理 3： 如果函数y= f （ x）（ xr）满足 f （ x+a）= f （ xa），那么 y= f （ x）是以2a为周期的周期函数。证明： 令 xax' ，则 x

14、x'a， xax'2a代入已知条件fxafxa得： fx'2afx'根据周期函数的定义知，y= f （ x）是以 2a 为周期的周期函数。定理 4：如果函数y= f （ x）（ x r）满足 fxafxb，那么 y= f（ x）是以 ab为周期的周期函数。证明：（略）（证法同定理3）由以上的定理可知，在已知条件faxfbx或 fxafxb中，等式两端的两自变量部分相加得常数，如axbxab ，说明 f其对称轴为xab 。2( x) 的图像具有对称性，等式两端的两自变量部分相减得常数，如xaxbab ，说明f （ x）是周期函数，其周期t=a+b。容易证明：定理1

15、、2、3、4 的逆命题也是成立的。牢牢掌握以上规律，则例1、例 2 迎刃而解。例 1 中， 5x5x10 ，因此 f （ x）的图像关于直线x=5 对称。由这个已知条件我们不能判定f （x）是周期函数。例 2 中，x5x510 ，因此 f （ x）是周期函数，其周期t=10。由这个已知条件我们不能判定它是轴对称图形。2例 3.若函数 f （ x） =x +bx+c 对于任意实数t 均有 f （ 3+t ） = f （ 1 t ），那么（）a.f （ 2）< f （ 1） < f （ 4）b.f （ 1） < f （ 2） < f （ 4）2（ 2） < f （4）

16、 < f （1）d.f （ 4） < f （ 2） < f （ 1） 解析：在f （ 3+t ） = f （ 1t ）中（ 3+t ） +f （1 t ） =4所以抛物线f （ x） =x +bx+c 的对称轴为x=2作示意图如图1，可见，应选a。图 1例 4.设 f （ x）是定义在r 上的奇函数，且f （ x2） = f （ x），给出下列四个结论： f （ 2） =0； f （ x）是以 4 为周期的函数； f （ x）的图像关于直线x=2 对称； f （ x+2）=f （x）其中所有正确命题的序号是 。解析 1：（ 1）因为 y= f （ x）（ xr）是奇函数，所以

17、f （ x） = f （x） 令 x=0，得 f （ 0）= f （ 0）f (0)f ( 0)0， 2 f(0)0所以 f （ 0） =0又已知 f （x 2） = f （ x） 令 x=2，得 f （ 0） = f （ 2） 所以 f （ 2） = f （0） =0故成立。（ 2）因为 f （ x 2） = f （ x），所以f ( x)fx2fx22fx4由 x（ x 4） =4（两自变量相减得常数） 所以 f （ x）是以 4 为周期的周期函数。故成立。（ 3）由 f （ x+2） = f （ x）得：（ x+2） +（ x） =2（两自变量相加得常数） 所以 f （ x）的图像关于直

18、线x=1 对称。而不是关于直线x=2 对称。故是错误的。（ 4）由（ 2）知， f （ x）应满足f （ x+2） = f （ x 2） 而 f （ x 2） = f （x）所以 f （ x+2） = f （ x） = f （ x）故成立。综上所述，应填。解析 2： 根据题设条件，构造出函数f( x) 的图像如图2。图 2由图可见，正确，而不正确。例 5.函数 ylog 2 ax1a0的图像关于直线x=2 对称，则a= 。解析： 因为函数ylog 2 ax1a0 的图像关于直线x=2 对称所以有 log 2 a 2x1 log 2 a 2x1 （定理 1 的逆定理）a 2x1a 2x12aax12 aax1a0 （与题设矛盾，舍去）或a12所以 a1 。2例 6.设 f （ x）是 r 上的奇函数，又f （ x）的图像关于直线x=a 对称。问函数y= f