辅助圆解题精讲（精编版）

1、第二十五讲辅助圆在处理平面几何中的许多问题时，常需要借助于圆的性质，问题才得以解决而我们需要的圆并不存在(有时题设中没有涉及圆；有时虽然题设涉及圆，但是此圆并不是我们需要用的圆 )，这就需要我们利用已知条件，借助图形把需要的实际存在的圆找出来，添补辅助圆的常见方法1利用圆的定义添补辅助圆；2作三角形的外接圆；3运用四点共圆的判定方法：(1) 若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆(2) 同底同侧张等角的三角形，各顶点共圆(3) 若四边形abcd 的对角线相交于p，且 pa· pc=pb · pd，则它的四个顶点共圆(4) 若四边形abcd 的一组对边ab 、dc 的

2、延长线相交于p，且 pa· pb pc· pd，则它的四个顶点共圆【例题求解】一·利用圆的定义添加辅助圆【例 1】如图，若pa=pb ， apb=2 acb ， ac 与 pb 交于点p，且 pb=4 ， pd=3 ，则 ad · dc 等于()a 6b 7c 12d 16思路点拨作出以 p 点为圆心、pa 长为半径的圆，为相交弦定理的应用创设了条件 注：到一个定点等距离的几个点在同一个圆上，这是利用圆的定义添辅助圆的最基本方法变式练习：如图，已知oa=ob=oc ，且 aob= k boc ，则 acb 是 bac 的()a 12k 倍b是 k 倍c

3、2kd 1k二·作三角形的外接圆【例 2】如图，在 abc 中， ab=ac ，任意延长ca 到 p，再延长ab 到，求证：abc的外心 o 与 a， p， q 四点共圆思路点拨先作出 abc 的外心o，连 po、oq，将问题转化为证明角相等 变式练习：5. 如图，在等腰梯形abcd中， ab cd ， ab=998 ，cd=1001 ， ad=1999 ，点 p 在线段ad 上，满足条件的 bpc=90 °的点 p 的个数为 ()a 0b 1c 21d 不小于3 的整数( 全国初中数学联赛题)三·四点共圆1·若有一个四边形对角互补，则四边形的四个顶点四

4、点共圆。【例 3】如图；已知h 是 abc 三条高的交点，连结df ， de ， ef ，求证： h 是 def 的内心变式练习：如图，直线ab 和 ac 与 o 分别相切于b、c， p 为圆上一点，的距离分别为4cm、 6cm，那么 p 到 bc 的距离为(全国初中数学联赛题思路点拨连 df ， ef，寻找pd、pe、pf 之间的关系，证明pdf、f 与 p、e、c、f 分别共圆，突破角是解题的关键注：圆具有丰富的性质：(1) 圆的对称性；(2) 等圆或同圆中不同名称量的转化；(3) 与圆相关的角；(4)圆中比例线段适当发现并添出辅助圆，就为圆的丰富性质的运用创造了条件，由于图形的复杂性，有

5、时在图中并不需画出圆，可谓“图中无圆，心中有圆” 2·同底同侧有相等顶角的三角形，则各顶点四点共圆（若能证明其两顶角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。）【例 4】如图，在abc 中，高be、cf 相交于 h ，且 bhc=135 °， g 为 abc 内的一点，且gb=gc ， bgc 3 a，连结hg ，求证： hg 平分 bhf 思路点拨经计算可得a=45 °， abe ， bfh 皆为等腰直角三角形，只需证ghb= ghf=22.5 °由 bgc=3 a=135 ° = ghc ，得 b、g、h、 c 四点共圆，运

6、用圆中角转化灵活的特点证明 注：许多直线形问题借助辅助圆，常能降低问题的难度，使问题获得简解、巧解或新解变式练习：已知等腰三角形abc ， ab=ac， ad 垂直 bc 于 d ， de是 de 中点， 求证： af 垂直于be 。3 把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等， 即可肯定这四点共圆；【例 5】如图， p 是 o 外一点， pa 和 pb 是 o 的切线， a ， b 为切点， p o 与 ab 交于点 m ，过 m 任作 o 的弦 cd 求证： cpo= dpo 4 把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两

7、个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆【例 6】如图， p 是 o 外一点， pa 切 o 于 a， pbc 是 o 的割线， ad po 于 d求证：pbpc pdcd思路点拨因所证比例线段不是对应边，故不能通过判定pbd 与 pcd 相似证明 pa 2 =pd · po=pb · pc， b、c、o、d 共圆，这样连 ob，就得多对相似三角形，以此达到证明的目的注：四点共圆既是一类问题，又是平面几何中一个重要的证明方法，它和证明三角形全等和相似三角形有着同等重要的地位，这是因为，某四点共圆，不但与这四点相联系的条件集中或转

8、移，而且可直接运用圆的性质为解题服务5 五点共圆（ 7456 ）【例 7】如图，已知在凸四边形abcde 中， bae=3， bc=cd=de ，且 证： bac= cad= dak ，1802求课外训练a 组( 全国初中数学联赛题)1. 如图，正方形abcd 的中心为o，面积为1989cm 2， p 为正方形内一点，且opb=45 °， pa： pb=5 ：14，则 pb 的长为2. 如图，在abc 中， ab=ac=2 ， bc 边上有100 个不同的点pl、p2，p100，记 miap 2bpipi ci（ i=1 ， 2，100），则 m1m2m100 =3. 设 abc 三

9、边上的高分别为ad 、be、cf，且其垂心h 不与任一顶点重合，则由点a、b、c、d 、e、f、h 中某四点可以确定的圆共有()a 3 个b 4 个c 5 个d 6 个(2000 年太原市竞赛题)6如图，=2，则 cosc 等于 () 1c2333d 48如图，已知abc 中， ah 是高， at 是角平分线，且td ab ， te ac求证： (1) ahd= ahe ； (2) bhchbdce( 陕西省竞赛题)1 在凸四边形abcd的 bc 边上取两点e,f， e 比 f 离 b 更近，如果bae=cdf eaf= fde 证明：fac= edbac'2 如图在abc 中， ab

10、=ac ， d 是 bc 边上任意一点c1 是 c 点关于直线ad 的对称点，c1 b 与 ad 交与p 试问当 d 在 bc （除 bc 中点外）上运动时，ad · ap 的值有何变化？请加以证明。13 等边abc 中， d ， e 分别是bc,ca 边上的点，且bd=ce=直 ad 。cd. 连接 be ， cd 交于 p，证明： cp 垂24 如图 ,ns 是 ? o 的直径，弦ab 垂直 ns 于 m ， p 为弧 anb 上异于 n 的一点， ps 交 ab 与 r， pm 的延长线交 ? o 与 q，求证： rs>mqc 组1. 如图，已知点p 是 o 外一点， p

11、s、pt 是 o 的两条切线，过点p 作 o 的割线 pab ，交 o a 、b两点，与st 交于点 c求证：1pc1 ( 11 )2 papb(国家理科实验班招生试题)2. 已知 be,cf 是锐角abc 的两条高，求证：abe 的平分线，acf 的平分线与线段ef 的中垂线相交于一点。3 已知三角形abc 中，abc<acb ， bd,ce 是角平分线，求证：ce<bd4 abc 中， m 为 ac 的中点， bhac 于 h ， ap,cq 垂直于b 的平分线，垂足为p,q 求证： m,h,p,q四点共圆。参考答案例 1 b练习 1 d例 2练习 2 c例 3练习 3例 4练习 4例 5例 7课外练习a 组 ： 6.d3例 6b 组：124