偏导数与全微分 高数课件

1、第二节第二节 偏偏 导导 数数偏导数的定义及其计算法偏导数的定义及其计算法偏导数的几何意义偏导数的几何意义高阶偏导数高阶偏导数higher-order partial derivative一、一阶偏导数的定义一、一阶偏导数的定义定义定义),(yxfz 设函数设函数,0yy固定为固定为将将存在存在,处处在点在点),(),(00yxyxfz 的某邻域的某邻域在点在点),(00yx内有定义，内有定义，若极限若极限xyxfyxxfx ),(),(lim00000则称此极限为函数则称此极限为函数记为记为对对x的偏导数的偏导数,00,xxyyzx 00,xxyyfx 00(,).xzxy00(,),xfx

2、y偏偏 导导 数数为为yyxfyyxfy ),(),(lim00000对对y的偏导数的偏导数,记为记为00,xxyyzy 00,xxyyfy 00(,).yzxy00(,),yfxy偏偏 导导 数数那么这个偏导数那么这个偏导数仍是仍是yx、的二元函数的二元函数,它称为函数它称为函数如果函数如果函数对自变量对自变量x的偏导函数的偏导函数 (简称偏导数简称偏导数),记作记作,xz ,xf xz或或).,(yxfx同理同理,可定义函数可定义函数),(yxfz 对自变量对自变量y的的偏导函数偏导函数 (简称偏导数简称偏导数),记作记作,yz ,yf yz或或).,(yxfy偏偏 导导 数数在区域在区域

3、D内任一点内任一点(x, y)处对处对x的偏导数都存在的偏导数都存在,),(yxfz ),(yxfz 求多元函数的偏导数求多元函数的偏导数 例例 求求 在点在点(1,0)处的两个偏导数处的两个偏导数.yyxzsin2 解解,2xyxz ,cos2yxyz , 0)0, 1( xz. 2)0, 1( yz利用一元函数利用一元函数),(yxfx如求如求只需将只需将y的的求导法对求导法对x求导即可求导即可.看作常量看作常量,并不需要新的方法并不需要新的方法,例例 求求 的偏导数的偏导数.)0( xxzy解解,1 yyxxzxxyzyln ).0 , 0(),(0),0 , 0(),(),(22yxy

4、xyxxyyxf当当当当解解例例( , )(0,0)f x y求求在在处的偏导数处的偏导数. )0 , 0(xf00lim0 xx )0 , 0(yf00lim0 yy注注 但此函数在点但此函数在点(0,0)是是不连续不连续的的. xfxfx)0 , 0()0 ,0(lim0 yfyfy)0 , 0()0 , 0(lim0 由以上计算可知由以上计算可知,),(yxf 在点在点)0 , 0( 处处可偏导可偏导, 二元函数二元函数f(x, y)在点在点 (x0, y0)处两个偏导数处两个偏导数 fx(x0, y0), f y(x0, y0)存在是存在是 f (x, y) 在该点连续的在该点连续的(

5、 ).A. 充分条件而非必要条件充分条件而非必要条件B. 必要条件而非充分条件必要条件而非充分条件C. 充分必要条件充分必要条件D. 既非既非充分条件又非必要条件充分条件又非必要条件D偏偏 导导 数数偏偏 导导 数数例例 ).0 , 0(),(0),0 , 0(),(),(223yxyxyxyxyxf当当当当设设解解,)0 , 0(),(时时当当 yx ),(yxfx ),(yxfy有有2223222)(2)(3yxxyxyxyx ,)(232224222yxyxyxyx .)(222223223yxyxyxx ( , )( , ).xyfx yfx y求和,)0 , 0(),(时时当当 yx

6、按按定义定义得得 )0 , 0(xf xx0lim0 )0 , 0(yf yy0lim0 xfxfx)0 , 0()0 ,0(lim0 yfyfy)0 , 0()0 , 0(lim000 ).0 , 0(),(0),0 , 0(),(),(223yxyxyxyxyxf当当当当设设 证证 VRTp;2VRTVp pRTV;pRTV RpVT;RVpT pTTVVp2VRT pR RV . 1 pVRT 1: pTTVVp求证求证,为为常常数数为为温温度度为为体体积积为为压压强强RTVp 偏导数的记号只是一个整体记号偏导数的记号只是一个整体记号,不能像不能像一元函数的导数那样可看成是分子与分母的一

7、元函数的导数那样可看成是分子与分母的微分的商微分的商. 例例其中其中程程已知理想气体的状态方已知理想气体的状态方,RTpV 0 xyTxT0y),(yxfz yxzO),(0yxfz 0M),(0yxfz 二、偏导数的几何意义二、偏导数的几何意义偏偏 导导 数数 曲线曲线在点在点(2,4,5)处的处的切线切线与与x轴正向所成的倾角是多少轴正向所成的倾角是多少?解解,21),(xyxfx tan1)4 , 2( xf4 在点在点(2,4,5)处的处的切线切线与与y轴正向所成的倾角是多少轴正向所成的倾角是多少?,2422 xyxz偏偏 导导 数数 曲线曲线2244xyzy xz),(yxfyy )

8、,(yxfxy ),(yxfyx 函函数数),(yxfz 的的二二阶阶偏偏导导数数为为混合偏导混合偏导定义定义x 22xz ),(yxfxx 22yz yzy yxz 2 xzy xyz 2 yzx 三、高阶偏导数三、高阶偏导数高阶偏导数高阶偏导数. .二阶及二阶以上的偏导数统称为二阶及二阶以上的偏导数统称为例例xyyxz 23求求的四个二阶偏导数的四个二阶偏导数.解解 xz,322yyx ,23xyx 22xz,62xy 22yz,23x xyz2. 162 yx yxz2; 162 yx yz偏偏 导导 数数例例 ).0 , 0(),(0),0 , 0(),(),(223yxyxyxyxy

9、xf当当当当设设解解,)0 , 0(),(时时当当 yx ),(yxfx ),(yxfy有有2223222)(2)(3yxxyxyxyx ,)(232224222yxyxyxyx .)(222223223yxyxyxx ).0 , 0()0 , 0(yxxyff和和求求,)0 , 0(),(时时当当 yx按按定义定义得得 )0 , 0(xf xx0lim0 )0 , 0(yf yy0lim0 xfxfx)0 , 0()0 ,0(lim0 yfyfy)0 , 0()0 , 0(lim0 )0 , 0(xf yfyfxxy)0 , 0()0 , 0(lim02224222)(23),(yxyxyx

10、yxyxfx , 0 )0 , 0(yf xfxfyyx)0 , 0()0 ,0(lim0. 122223223)(2),(yxyxyxxyxfy x00 ).0 , 0(),(0),0 , 0(),(),(223yxyxyxyxyxf当当当当设设).0 , 0()0 , 0(xyxyff和和求求y多元函数的高阶混合偏导数如果连多元函数的高阶混合偏导数如果连一般地一般地,续就与续就与求导次序无关求导次序无关.如果函数如果函数的两个二阶混合偏的两个二阶混合偏),(yxfyx与与),(yxfxy在区域在区域D内内定理定理连续，连续， 那么在那么在导数导数该区域内该区域内但就通常所遇到的函数但就通常

11、所遇到的函数,在前一题中两个混合二阶偏导数相等在前一题中两个混合二阶偏导数相等,此种情此种情后一题中两者不相等后一题中两者不相等,这说明混合偏导数与求偏这说明混合偏导数与求偏导数的次序有关导数的次序有关.但在但在况不会发生况不会发生,这是因为有下述的定理这是因为有下述的定理:).,(yxfyx ),(yxfxy),(yxfz 全微分的定义全微分的定义可微的条件可微的条件total differentiation第三节第三节 全全 微微 分分的的全全增增量量在在点点如如果果函函数数),(),(yxyxfz ),( oyBxAz ,有有关关、仅仅与与、其其中中yxBA,)()(22yx yBxA

12、, yx 、处处),(yx处的处的全微分全微分. .可表示为可表示为),(yxfz 可微分可微分, ,在点在点),(yx则称函数则称函数称为函数称为函数记作记作,dz即即.dyBxAz 函数若在某平面区域函数若在某平面区域D内处处可微时内处处可微时, 则称则称可微函数可微函数. .这函数在这函数在D内的内的而不依赖于而不依赖于),(),(yxfyyxxfz 在点在点),(yxfz 一、全微分的定义一、全微分的定义 事实上事实上,)( oyBxAz 显然显然,由全微分的定义有由全微分的定义有可得可得 z0lim 0 多元函数可微必连续多元函数可微必连续不连续不连续的函数的函数如果函数如果函数),

13、(),(yxyxfz在点在点 可微分可微分,则函数在该点连续则函数在该点连续. )(lim0 oyBxA 一定是一定是不可微不可微的的.1. 可微分的必要条件可微分的必要条件.dyyzxxzz 定理定理1 1( (可微必要条件可微必要条件) )如果函数如果函数在点在点),(yxfz 的的则该函数在点则该函数在点),(yx可微分可微分,),(yx,必存在必存在且函数且函数),(yxfz ),(yx在点在点的全微分为的全微分为yzxz 、偏导数偏导数二、可微二、可微的条件的条件证证)( oyBxAz 总成立总成立,),()0,(yxfyxxf |),(|xoxA Axyxfyxxfx ),(),(

14、lim0 xz同理可得同理可得.yzB 时，时，当当0 y上式仍成立上式仍成立, 此时此时|,|x PyyxxP ),(的某个邻域内的某个邻域内如果函数如果函数),(),(yxPyxfz在点在点 可微分可微分,.dyyzxxzz 解解,2xyyexxz ,xyxeyz (1,2)(1,2)dddzzzxyxy例例 计算函数计算函数xyexz 2在点在点)2 , 1(的全微分的全微分.所以所以.d)d1(222yexe 答案答案.的全微分的全微分求求zyxu ud全全 微微 分分yyxyzzd xyxyzzd1 zyxyxzdln 多元函数的各偏导数存在多元函数的各偏导数存在 全微分存在全微分存

15、在如，如，.000),(222222 yxyxyxxyyxf一元函数在某点的导数存在一元函数在某点的导数存在 微分存在微分存在两个偏导数都存在函数也两个偏导数都存在函数也不一定不一定可微可微.(由偏导数定义可求得由偏导数定义可求得)0)0 , 0()0 , 0( yxff,)0 , 0(处有处有在点在点全全 微微 分分)0 , 0()0 , 0(yfxfzyx ,)()(22yxyx 则则22)()(yxyx 22)()(xxxx ,21 )0 , 0()0 , 0(yfxfzyx 处有处有在点在点)0 , 0(说明它不能随着说明它不能随着0 而趋于而趋于0,0时时当当 因此因此,.)0 ,

16、0(处不可微处不可微函数在点函数在点如果考虑点如果考虑点),(yxP 沿直线沿直线xy 趋近于趋近于),0 , 0(),( o .000),(222222 yxyxyxxyyxf),(),(yxfyyxxfz ),(),(yyxfyyxxf 2. 可微分的充分条件可微分的充分条件 证证),(),(yxfyyxf 在该点的某一邻域内必存在在该点的某一邻域内必存在的意思的意思.定理定理2 2的的如果函数如果函数),(yxfz ,),(连续连续在在、yxyzxz .可微分可微分(今后常这样理解今后常这样理解).用拉氏定理用拉氏定理(微分充分条件微分充分条件)假定偏导数在点假定偏导数在点P(x,y)连

17、续连续, 就含有就含有偏导数偏导数),(yx则该函数在点则该函数在点全全 微微 分分偏导数偏导数),(),(yyxfyyxxf xyyxxfx ),(1 )10(1 xxyxfx 1),( 11),(),(.),(),( yxfyyxxfyxyxfxxx令令连续连续在点在点由由)0, 0(01 yx 其其中中全全 微微 分分xxyxfx 1),( yyyxfy 2),( z yx21 , 00 故函数故函数),(yxfz 在点在点),(yx处可微处可微.同理同理),(),(yxfyyxf ,),(2yyyxfy 全全 微微 分分xyxfx ),(x 1 yyxfy ),(y 2 21 , 0,

18、02 时时当当 y),(),(yyxfxyxfzyx yx21 在原点在原点(0,0)可微可微.yzxz ,并非必要条件并非必要条件.如如 0, 00,1sin)(),(22222222yxyxyxyxyxf函数函数注注两个偏导数两个偏导数在点在点连续连续可微的充分可微的充分),(yx仅是函数仅是函数在点在点),(yx),(yxfz 条件条件, 但是但是,偏导数在原点偏导数在原点(0,0)不连续不连续.全全 微微 分分考虑二元函数考虑二元函数 f (x, y)的下面的下面4条性质条性质: 选择题选择题 f (x, y)在点在点(x0 , y0)处连续处连续, f (x, y)在点在点(x0 , y0)处的两个偏导数连续处的两个偏导数连续, f (x, y)在点在点(x0 , y0)处可微处可微,f (x, y)在点在点(x0 , y0)处的两个偏导数存在处的两个偏导数存在.若用若用“”QP 表示可由性质表示可由性质P推出性质推出性质Q,则有则有(A) . (B) . (C) . (D) . )0 , 0(),(0)0 , 0(),(),(222yxyxyxyxyxf设函数设函数).()0 , 0(点点在在,)(极极限限不不存存在在A,)(不不