1数学基础知识补充1ppt课件

1、数学补充一y(x) y 自变量自变量x的变化范围的变化范围函数函数f(x)的定义域的定义域所有所有y的取值的取值函数函数y的值域的值域 幂函数幂函数 y = xn(n为任意实数为任意实数) 三角函数三角函数 y = sinx, cosx, tgx, ctgx等等 指数函数指数函数 y = ex, ax 对数函数对数函数 y = logax, lnx 反三角函数反三角函数 y = arcsin x , arccos x 等等用基本初等函数复合而成的函数用基本初等函数复合而成的函数x = u2 ，u = cos，=t1 微分微分f(x) y xxxyyyxyOx)()(xfxxfyxxfxxfxy

2、)()( y和和 x之间满足什么关系之间满足什么关系?BAyxxA)y()y(yxxx其它函数的增量能否其它函数的增量能否写成类似的形式？写成类似的形式？2Ayx2)A(A2yxxx含有高阶无穷小，其含有高阶无穷小，其它函数类似。它函数类似。xs si in ny yxxxxxsin sin coscos sin yxey) 1(xxeey0 x时自变量增量时自变量增量x, 改记成改记成 dx0 x时相应的函数增量时相应的函数增量y, 记成记成 dy)()(xfdxxfdy ,BAxy ,2Axy ,sin xy Adxdy dxdxxAdy)2( dxxdxxdysincos) 1(coss

3、in Axdx2 dxx cos ,mAxy dxAmxdym 1 AxBdxAx1cosdxdxdx sindxdx tan数学上可以证明数学上可以证明, 对无穷小量对无穷小量dx, 有有AxBdxAx 或1cos dx或dxdx sin 或dxdx tan或说明：符号说明：符号“d的含义的含义微小的增量微小的增量例如：例如：dx、dm、dV微小量微小量例如：例如：dm、dV2 微商导数）微商导数）对对 y = f (x) ，假设，假设 x 无限趋近某一数值无限趋近某一数值x0 ，f (x) 则无限趋近某一确定数值则无限趋近某一确定数值a，则，则a就是函数就是函数f (x)在在x趋近趋近x0

4、时的极限，记作：时的极限，记作：axfxx)(lim01232)( xxxxf8)2()(lim2fxfx0/0) 1 (?,)(lim1fxfx 在有函数值的情况下在有函数值的情况下,极限就是函数值极限就是函数值;在无函在无函 数值的情况下数值的情况下,极限就显得格外重要了，例如：极限就显得格外重要了，例如：OxyyxPQxyxxyxxyxy)()(tan称作函数称作函数y=f(x)对自变量对自变量x的导数，的导数， x0时时,xy 的极限的极限定义为：定义为：xyxxf0lim)( dxdy等于等于f(x)曲线在曲线在x处切线的斜率处切线的斜率)( xfxxfxxfxfx )()()(li

5、m022)(dxyddxdydxd导函数导函数 f (x) 对对 x 的导数叫做的导数叫做 y 对对 x 的二阶导数，记作的二阶导数，记作BAxy2Axy Ay Axy2xycosxysin sinxy dxdxxdxdxxysincos1cossin xcos )( )(xuuuyyxuxuyy链式法则链式法则:xuxuydxdududydxdyya. 导数的基本运算法则导数的基本运算法则 2211yAyAy 21yyy 21yyy 2211 yAyAy2121yyyyy222121yyyyyy),2,1( kxyk1 kkxy01lim1xxxxkyx 220()2limxxxxkyx 2

6、02limxx xxx 2x设设1mkmymx例例由数学归纳法由数学归纳法11mkmyxmx x2121yyyyy )(11 mmmxxxmxm)1( (16) (arctan x)211x。(1) (C)=0，(2) (xn)=nxn-1，(3) (sin x)=cos x，(4) (cos x)=-sin x，(5) (tan x)=sec2x，(6) (cot x)=-csc2x，(7) (sec x)=sec x tan x，(8) (csc x)=-csc x cot x，(9) (ax)=ax ln a ，(10) (ex)=ex，(12) (ln x)x1， (13) (arcs

7、in x)211x， (14) (arccos x)211x， (15) (arctan x)211x， (11) (log a x)axln1(a0, a1)， ，增加而增加随xyxy 0)(极大值或极小值极大值或极小值? ? 则由该点的二阶导数来确定则由该点的二阶导数来确定增加而减小随xyxy 0)(对对应应极极值值点点或或拐拐点点 0)( xyxyPOyxQ0 xMdxydy3 微商导数的应用微商导数的应用0)( 0)(00 xyxy极大值点极大值点0)( 0)(00 xyxy极小值点极小值点OxyyPx0 xQMN拐点拐点0)( 0)(00 xyxy.)()(lim)()(lim).(

8、)()(lim);0)();0)(lim)(lim):),()(),(xFxfxFxfxFxfcxFbxFxfaaUxFxfaxaxaxaxax 那那么么或或内内可可导导且且满满足足在在设设 定理定理1 1定义：这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极定义：这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达限来确定未定式的值的方法称为洛必达(LHospital)(LHospital)法则。法则。2 2洛必达法则洛必达法则232( )1xxf xx例：例：21132lim( )lim1xxxxf xx21(32)lim(1)xxxx161lim1xx5例：求例：求01

9、limxxex0(1)limxxex0lim1xxe1假设假设 F (x) = f(x), 那么那么 F(x) + c = f(x), F(x) + c 就叫做就叫做 f(x) 的原函数的原函数,有无穷多个；有无穷多个；函数函数 f(x) 的所有原函数，就叫的所有原函数，就叫 f(x) 的不定积分，的不定积分，记为：记为：1、原函数、原函数2、不定积分、不定积分f (x) 被积函数被积函数x 积分变量积分变量积分符号积分符号C 积分常数积分常数( )( )f x dxF xC 3. 不定积分的性质不定积分的性质 (先导后积等于自身加上任意常数先导后积等于自身加上任意常数)(先积后导等于自身先积

10、后导等于自身) 例题例题Cxdxx332Cxxdxsincos (1)( )( )f x dxf x (2)( )( )fx dxf xc df xdxdx( ) df x( ) （其实，不定积分（其实，不定积分就是导数的反运算）就是导数的反运算）4. 不定积分的运算法则不定积分的运算法则1） 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和，即函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和，即2） 求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子 可以提到积分号外面来，即可以提到积分号外面来，即f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dxkf(x)dxkf(x)dx (

11、k 是常数，k 0)3假设假设duugdxxf)()(且且CuFduug)(CxuFdxxf)()(那么那么1 曲边梯形的面积曲边梯形的面积Oxyxabx+dx)(xfOxyxabx+dx)(xf把曲边梯形的底把曲边梯形的底a,b分成分成n个小区间个小区间, , ,112110nniixxxxxxxx第第 i 个小曲边梯形的面积记为个小曲边梯形的面积记为,1iixx), 3 , 2 , 1( 1nixxxiii小区间小区间的长度记为的长度记为iiixfA)()(1iiixx把把n个小矩形总面积个小矩形总面积21)()(xfxfAiiiniixf1)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积iniixxfA

12、i10)(lim2 函数函数f(x)在区间在区间a,b上的定积分上的定积分 niix)x(f1 baniinx)x(flimdx)x(f1定积分的几何意义为曲边梯形面积定积分的几何意义为曲边梯形面积 设函数设函数 y = f(x) 在区间在区间 a,b上连续，上连续，把把 a,b分成宽为分成宽为x的的 n个小区间，个小区间，当当 n 时，时，的极限的极限叫函数叫函数 y = f(x) 在区间在区间 a,b 上的定积分，上的定积分，记作：记作：yxabxi xi+xy=f (x) baniinx)x(flimdx)x(f1a,ba,b积分区间积分区间积分号；积分号；被积函数；被积函数；被积表达式

13、；被积表达式；积分变量；积分变量； 积分的下限与上限。积分的下限与上限。)(xfdxxf)(xba,badxxf)(在不同的实际问题中，积分在不同的实际问题中，积分可以有完全不同的实际意义，但在几何图形上，可以有完全不同的实际意义，但在几何图形上，它都表示由曲线它都表示由曲线 y=f(x)y=f(x)、 x x轴及直线轴及直线x=ax=a，x=bx=b所围成的曲边梯形面积的代数和。所围成的曲边梯形面积的代数和。abbadxxfdxxf)()(babadxxfkdxxkf)()(bababavdxudxdxvu)(bccabadxxfdxxfdxxf)()()(1、对调积分上下限，、对调积分上下

14、限， 定积分改变符号定积分改变符号2、被积函数中的常数因子、被积函数中的常数因子 可以提到积分符号外面可以提到积分符号外面3、两个函数的和或差在、两个函数的和或差在a,b上上 的定积分等于这两个函数分的定积分等于这两个函数分 别在别在a,b上定积分的和或差上定积分的和或差4、如果把区间、如果把区间a,b分成分成 a,c和和c,b那么那么设设F(x)F(x)为函数为函数f(x)f(x)在区间在区间a,ba,b上的一个原函数上的一个原函数, ,即即 F (x)=f(x), F (x)=f(x), 那么那么 )a(F)b(F| )x(F|dx)x(fdx)x(fbababa 通过不定积分计算定积分！通过不定积分计算定积分！102dxx例10331|x31例例 知：物体速度知：物体速度atvv0其中其中v0v0，a a是常数是常数求：求：0-t 0-t 时间内的路程时间内的路程tdtatvs00)(tttdtadtv000ttattv0200212021attv四、定积分中值定理：四、定积分中值定理： 如果函数如果函数f(x)在闭区间在闭区间a, b上连续，上连续， 则在积分区间则在积分区间a, b上上至少存在一个点至少存在一个点x ， 使下式成立：使下式成