数学建模案例学习教案

1、会计学1数学数学(shxu)建模案例建模案例第一页，共40页。 北方城镇的窗户北方城镇的窗户(chung hu)(chung hu)玻璃是双层的玻璃是双层的, ,这样做主要是为室内保温目的这样做主要是为室内保温目的, ,试用数学建模的方法给出双层玻璃能减少热量损失的定量分析结果。试用数学建模的方法给出双层玻璃能减少热量损失的定量分析结果。第1页/共39页第二页，共40页。模型准备模型准备: 热量的传播热量的传播(chunb)形式形式,温度温度,与热量传播与热量传播(chunb)的的有关结果有关结果: 厚度为厚度为d的均匀介质的均匀介质,两侧温度差为两侧温度差为T,则单位时间由温度则单位时间由温

2、度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量Q,与与T成成正比正比,与与d成反比成反比,即即:Q=k T/dk为热传导系数为热传导系数.（物理定律）（物理定律）模型假设模型假设:(:(根据上定律做假设根据上定律做假设) )1.1.室内的热量传播只有传导室内的热量传播只有传导(chundo)(chundo)(不考虑对流不考虑对流, ,辐辐射射) )；2.2.室内温度与室外温度保持不变室内温度与室外温度保持不变( (即单位时间通过窗户单即单位时间通过窗户单位面积的热量是常数位面积的热量是常数) )；3.3.玻璃厚度一定玻璃厚度一定, ,玻璃材料均匀玻璃材料均匀

3、( (热传导热传导(chundo)(chundo)系数系数是常数是常数) )第2页/共39页第三页，共40页。符号说明符号说明: :d:d:玻璃厚度玻璃厚度(hud)(hud)T1:T1:室内温度室内温度T2:T2:室外温度室外温度Ta:Ta:靠近内层玻璃温度靠近内层玻璃温度Tb:Tb:靠近外层玻璃的温度靠近外层玻璃的温度L:L:玻璃之间的距离玻璃之间的距离k1:k1:玻璃热传导系数玻璃热传导系数k2:k2:空气热传导系数空气热传导系数T1T2LT aTb第3页/共39页第四页，共40页。模型构成模型构成(guchng):由热量守恒定律由热量守恒定律:过内层玻璃的热量过内层玻璃的热量=过中间空

4、气层的热量过中间空气层的热量=过外层玻璃过外层玻璃的热量的热量dTTkLTTkdTTkQbbaa21211消去消去(xio q)(xio q)不方便测量的不方便测量的T1 ,T2,T1 ,T2,有有dLhkkhssdTTkQ,)2(21211第4页/共39页第五页，共40页。,2211dTTkQ对中间无缝隙对中间无缝隙(fngx)(fngx)的双层玻璃的双层玻璃, ,可以视为厚为可以视为厚为2d2d的单层玻璃的单层玻璃, ,有热传导有热传导: :而而QQsQQ,22说明双层玻璃比单层玻璃保温说明双层玻璃比单层玻璃保温(bown)!(bown)! 为得定量结果为得定量结果, ,考虑的考虑的s s

5、的值的值, ,查资料有查资料有常用玻璃常用玻璃:k1=4:k1=410-3 10-3 8 810-3 (10-3 (焦耳焦耳/ /厘米厘米. .秒秒. .度度) )静止的干燥空气静止的干燥空气:k2:k210 -4 (10 -4 (焦耳焦耳/ /厘米厘米. .秒秒. .度度) )第5页/共39页第六页，共40页。dLhhQQkk,181,1621若取最保守若取最保守(boshu)(boshu)的估计的估计, ,有有 显然显然(xinrn)Q/Q(xinrn)Q/Q可以反映双层玻璃在减少热量可以反映双层玻璃在减少热量损失的功效损失的功效, ,它是它是h h的函数的函数. . 从图形考察它的取值情

6、况从图形考察它的取值情况. .第6页/共39页第七页，共40页。此函数此函数(hnsh)(hnsh)无极小值无极小值, ,从图中可知从图中可知: : 当当h h从从0 0变大时变大时,Q/Q,Q/Q迅速下降迅速下降, ,但但h h超过超过4 4后下降变慢后下降变慢. . h h不易选择过大不易选择过大, ,以免浪费材料以免浪费材料! !模型应用模型应用: : 通常取通常取h h4,4,有有Q/QQ/Q3%,3%,此时双层玻璃此时双层玻璃(b l)(b l)比单层玻璃比单层玻璃(b (b l)l)避免热量损失达避免热量损失达97%97%第7页/共39页第八页，共40页。 将一块积木作为基础(jc

7、h)，在它上面叠放其他积木，问上下积木之间的“向右前伸”可以达到多少？ 第8页/共39页第九页，共40页。这个问题这个问题(wnt)涉计到重心的概念涉计到重心的概念模型模型(mxng)准准备备第9页/共39页第十页，共40页。关于重心关于重心(zhngxn)(zhngxn)的结果的结果有：有： 设设xoyxoy平面上有平面上有n n个质点，个质点，它们的坐标分别为它们的坐标分别为 (x1 ,y1) (x1 ,y1)，(x2 ,y2)(x2 ,y2)，, (xn ,yn), (xn ,yn)，对，对应的质量分别为应的质量分别为m1,m2, mn, m1,m2, mn, 则该质点系的重心则该质点系

8、的重心(zhngxn)(zhngxn)坐标满足关系式坐标满足关系式niiniiiniiniiimymymxmx1111,第10页/共39页第十一页，共40页。第11页/共39页第十二页，共40页。1考虑考虑(kol)两块积木的叠放情况两块积木的叠放情况x对只有两块积木的叠放，注意对只有两块积木的叠放，注意到，此时使叠放后的积木平衡到，此时使叠放后的积木平衡主要主要(zhyo)取决于上面的积取决于上面的积木，而下面的积木只起到支撑木，而下面的积木只起到支撑作用。假设在叠放平衡的前提作用。假设在叠放平衡的前提下，上面的积木超过下面积木下，上面的积木超过下面积木右端的最大前伸距离为右端的最大前伸距离

9、为x。 上面积木在位移最大且不掉下来的中心坐标为上面积木在位移最大且不掉下来的中心坐标为x=1/2(因为积木的因为积木的长度是长度是1)，于是，上面的积木可以向右前伸的最大距离为，于是，上面的积木可以向右前伸的最大距离为1/2。 第12页/共39页第十三页，共40页。2考虑考虑(kol)n块积木的叠放情况块积木的叠放情况 为有利于问题的讨论，我们把前两块搭好的积木看作为有利于问题的讨论，我们把前两块搭好的积木看作一个整体且不再一个整体且不再(b zi)移动它们之间的相对位置，而把增移动它们之间的相对位置，而把增加的积木插入在最底下的积木下方。于是，我们的问题又加的积木插入在最底下的积木下方。于

10、是，我们的问题又归结为两块积木的叠放问题，不过，这次是质量不同的两归结为两块积木的叠放问题，不过，这次是质量不同的两块积木叠放问题。块积木叠放问题。 这个处理可以推广到这个处理可以推广到n+1n+1块积木的叠放问题：即假设块积木的叠放问题：即假设已经叠放好已经叠放好n n（n n1 1）块积木后，再加一块积木的怎样叠放）块积木后，再加一块积木的怎样叠放问题。问题。 第13页/共39页第十四页，共40页。 假设增加的一块积木插入最底层积木后，我们选择这底层积木的最右端为坐标原点建立如图坐标系（见图）。考虑上面假设增加的一块积木插入最底层积木后，我们选择这底层积木的最右端为坐标原点建立如图坐标系（

11、见图）。考虑上面(shng mi(shng min)n)的的n n块积木的重心关系。块积木的重心关系。1. 1. 从最高层开始从最高层开始(kish)(kish)的前的前n-1n-1块积木，记它们的水平重心为块积木，记它们的水平重心为x1,x1,总质量为总质量为n-1;n-1;2. 2. 与最底层积木相连的第与最底层积木相连的第n n块积木块积木, , 记它的水平重心为记它的水平重心为x2,x2,质量为质量为1.1.下面我们就下面我们就n+1n+1（n1n1）块积木）块积木(jm)(jm)的叠放问题来讨论。的叠放问题来讨论。把上面的把上面的n n块积木分成两部分块积木分成两部分第14页/共39

12、页第十五页，共40页。1.把上面的把上面的n块积木看作一个整体，记它的重心水平坐标块积木看作一个整体，记它的重心水平坐标 。n块积木的质量为块积木的质量为n。在平衡的前提下，上面的在平衡的前提下，上面的n块积木的水平重心应该块积木的水平重心应该(ynggi)恰好在最底层积木的右恰好在最底层积木的右端，即有端，即有 ；2.假设第假设第n块积木超过最底层积木右端的最大前伸距离为块积木超过最底层积木右端的最大前伸距离为z,在保证平衡的前提下，在保证平衡的前提下，从最高层开始的前从最高层开始的前n-1块积木的总重心的水平坐标为块积木的总重心的水平坐标为z，即有，即有 x1=z，而第，而第n块积木的块积

13、木的水平重心在距第水平重心在距第n块积木左端的处，于是在图的坐标系下，有第块积木左端的处，于是在图的坐标系下，有第n块积木的水平重块积木的水平重心坐标为心坐标为 。由重心的关系，有。由重心的关系，有0 x x212xz121(1)()(1)120znzxnxxnnnzznz210)21() 1(第15页/共39页第十六页，共40页。设从第设从第n+1n+1块积木块积木(jm)(jm)的右端到第的右端到第1 1块积木块积木(jm)(jm)的右端最远距离为的右端最远距离为dn+1dn+1，则有，则有ndn2141211 说明说明(shumng)随着积木数量的无限增加，最顶层的积木可以前伸到无限远的

14、地方。随着积木数量的无限增加，最顶层的积木可以前伸到无限远的地方。本题给出的启示本题给出的启示 当问题涉及到较多对象时，对考虑当问题涉及到较多对象时，对考虑(kol)的进行合理的分类进行解决，往往会使问题的进行合理的分类进行解决，往往会使问题变得清晰。此外，一些看似不可能的事情其实并非不可能。变得清晰。此外，一些看似不可能的事情其实并非不可能。第16页/共39页第十七页，共40页。某学院的最初人数某学院的最初人数(rn sh)(rn sh)见下表见下表, ,此系设此系设2020个学生代表席位个学生代表席位系名系名 甲甲 乙乙 丙丙 总数总数学生数学生数 100 60 40 200 100 60

15、 40 200学生人数学生人数(rn sh)(rn sh)比例比例 100/200 60/200 40/200 100/200 60/200 40/200席位分配席位分配 10 6 4 20 10 6 4 20 按比例分配方法按比例分配方法: :分配人数分配人数= =学生学生(xu sheng)(xu sheng)人数比例人数比例总席位总席位第17页/共39页第十八页，共40页。系名 甲 乙 丙 总数学生数 103 63 34 200学生人数比例 103/200 63/200 34/200按比例分配席位(xwi) 10.3 6.3 3.4 20按惯例席位(xwi)分配 10 6 4 20若出现

16、(chxin)学生转系情况：惯例席位分配方法为惯例席位分配方法为: : 比例比例(bl)(bl)分配出现小数时分配出现小数时, ,先按整数分配席位先按整数分配席位, ,余下席位按小数的大小依次分配之余下席位按小数的大小依次分配之. .第18页/共39页第十九页，共40页。 为改变总席位为偶数出现表决平局现象为改变总席位为偶数出现表决平局现象, ,决定增加一席决定增加一席, ,总席位变为总席位变为2121个学生代表席位个学生代表席位, ,还按惯例还按惯例(gunl)(gunl)分配席位分配席位, ,有有系名 甲 乙 丙 总数学生(xu sheng)数 103 63 34 200学生(xu she

17、ng)人数比例 103/200 63/200 34/200按比例分配席位 10.815 6.615 3.57 21 按惯例席位分配 11 7 3 21 出现增加一席后出现增加一席后, ,丙系却少一席的情况丙系却少一席的情况, ,说明按惯例分配席位的方法有缺陷说明按惯例分配席位的方法有缺陷(quxin),(quxin),试建立更合理的分配席位方法试建立更合理的分配席位方法. .第19页/共39页第二十页，共40页。讨论由两个单位公平分配席位的情况，设讨论由两个单位公平分配席位的情况，设 单位单位 人数人数(rn sh) (rn sh) 席位数席位数 每席代表人数每席代表人数(rn sh)(rn

18、sh)单位单位A p1 n1 p1/n1A p1 n1 p1/n1单位单位B p2 n2 p2/n2B p2 n2 p2/n2模型模型(mxng)构成构成要公平要公平(gng png),应该应该1212ppnn第20页/共39页第二十一页，共40页。但此公式但此公式(gngsh)(gngsh)有不足之处（绝对数的特点），如：有不足之处（绝对数的特点），如：n1 =n2 =10 , p1 =120 , p2=100, p=2n1 =n2 =10 , p1 =120 , p2=100, p=2n1 =n2 =10 , p1 =1020 , p2=1000, p=2n1 =n2 =10 , p1 =

19、1020 , p2=1000, p=2但但若若p1/n1 p2/n2 则单位则单位A 吃亏吃亏(ch ku)(对单位对单位A不公平不公平 )若若p1/n1 p2/n2 则单位则单位B 吃亏吃亏(ch ku)(对单位对单位B不公平不公平 )1212ppnn一般一般(ybn)不成立！不成立！1212pppnn用用来衡量分配不公平程度来衡量分配不公平程度第21页/共39页第二十二页，共40页。采用相对标准定义席位分配采用相对标准定义席位分配(fnpi)的相对不公平标准公式：的相对不公平标准公式：的相对不公平值为对定义若AnpnpnpnnrnpnpA222211212211),(,的相对不公平值为对定

20、义若BnpnpnpnnrnpnpB111122211122),(,对某方的不公平值越小，对某方越有利对某方的不公平值越小，对某方越有利(yul)，因此可以用使不公平值尽量小的分配方案减少分配中的不公平，因此可以用使不公平值尽量小的分配方案减少分配中的不公平.第22页/共39页第二十三页，共40页。确定分配方案：（使用不公平值的大小来确定分配方案）确定分配方案：（使用不公平值的大小来确定分配方案） 假设单位假设单位A A和单位和单位B B的人数分别的人数分别(fnbi)(fnbi)为为p1p1和和p2 p2 ，对应的席位为，对应的席位为n1n1和和 n2 n2 ，再分配一个席位时，再分配一个席位时, ,有有1.1.当该席位分配当该席位分配(fnpi)(fnpi)给单位给单位A A时有对单位时有对单位B B的不公平值为的不公平值为1) 1(11), 1(212111112221nppnnpnpnpnnrB2.2.当该席位分配给单位当该席位分配给单位(dnwi)B (dnwi)B 时有对单位时有对单位(dnwi)A(dnwi)A的不公平值为的不公平值为1) 1(11) 1,(121222221121nppnnpnpnpnnrA第23页/共39页第二十四页，共40页。 若若rB(n1+