实际问题与二次函数拱桥问题

1、活动活动1：美丽的拱桥XY0BCA探究探究1:公园要建造圆形的喷水池，在水池中央公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子垂直于水面处安装一个柱子OA，O点恰在水面点恰在水面中心，中心，OA=1.25米，由柱子顶端米，由柱子顶端A处的喷头向处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下。为使水流较为漂亮，要求设计成水路线落下。为使水流较为漂亮，要求设计成水流在离流在离OA距离为距离为1米处达到距水面最大高度米处达到距水面最大高度2.25米。如果不计其他因素，那么水池的半径米。如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使

2、喷出的水流落不到池外？至少要多少米，才能使喷出的水流落不到池外？ 本题是涉及公园美化的本题是涉及公园美化的应用性问题。应用性问题。0BCA解：如图建立坐标系，设抛物线顶点解：如图建立坐标系，设抛物线顶点 为为B，水流落水与，水流落水与x轴交于轴交于C点。点。 由题意可知由题意可知A（，（，1.25）、）、 顶点顶点B（1，.25） XY设抛物线为设抛物线为y=a(x1)2+2.25 将点将点A坐标代入，得坐标代入，得a= 1y= (x1)2+2.25当当y= 0，即，即(x 1) 2+2.25=0时，时，x= 0.5（舍去），（舍去）， x=2.5水池的半径至少要水池的半径至少要2.5米。米。

3、x= 0.5（舍去）（舍去）变式变式. .要修建一个圆形喷水池要修建一个圆形喷水池, ,在池中在池中心竖直安装一根水管心竖直安装一根水管. .在水管的顶端在水管的顶端安装一个喷水头安装一个喷水头, ,使喷出的抛物线形使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为水柱在与池中心的水平距离为1m1m处处达到最高达到最高, ,高度为高度为3m,3m,水柱落地处离水柱落地处离池中心池中心3m,3m,水管应多长水管应多长? ?123123解解: :如图建立直角坐标系如图建立直角坐标系, , 点点(1,3)(1,3)是是图中这段抛物线的顶点图中这段抛物线的顶点. . 因此可因此可设这段抛物线对应的函数是设这段

4、抛物线对应的函数是这段抛物线经过点这段抛物线经过点(3,0)(3,0) 0=a(30=a(31) 1)2 23 3 解得解得: :因此抛物线的解析式为因此抛物线的解析式为: :y y=a(x=a(x1) 1)2 23 (0 x3)3 (0 x3)当当x=0 x=0时时,y=2.25,y=2.25答答: :水管长应为水管长应为2.25m.2.25m.3 34 4a=a=y y= (x= (x1) 1)2 23 (0 x3)3 (0 x3)3 34 4 如图的抛物线形拱桥如图的抛物线形拱桥,当水面在当水面在 时时,拱桥顶离水面拱桥顶离水面 2 m,水面宽水面宽 4 m,水面下降水面下降 1 m,

5、水面宽度增加多少水面宽度增加多少?l探究探究3：探究探究3 3 图中是抛物线形拱桥，图中是抛物线形拱桥，当水面在当水面在l时，拱顶离水时，拱顶离水面面2m，水面宽，水面宽4m，水，水面下降面下降1m，水面宽度增，水面宽度增加多少？加多少？ 分析：我们知道，二次函数的图象是抛物线，建立适当的分析：我们知道，二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数，为解题坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数，为解题简便，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为简便，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建轴建立直角坐标系立直角坐标系42l 抛物线形拱桥，当水面在抛物

6、线形拱桥，当水面在 时，时，拱顶离水面拱顶离水面2m2m，水面宽度，水面宽度4m4m，水，水面下降面下降1m1m，水面宽度增加多少？，水面宽度增加多少？lxy0(2,-2)(-2,-2)当当 时，时，所以，水面下降所以，水面下降1m，水面的宽，水面的宽度为度为 m.3y6x62462水面的宽度增加了水面的宽度增加了m探究探究3：2axy 解：解：如图建立如下直角坐标系如图建立如下直角坐标系,设这条抛物设这条抛物线解析式为线解析式为21a由抛物线经过点（由抛物线经过点（2，-2），可得），可得221xy所以，这条抛物线的二次函数为：所以，这条抛物线的二次函数为：3y当水面下降当水面下降1m时，水

7、面的纵坐标为时，水面的纵坐标为 抛物线形拱桥，当水面在抛物线形拱桥，当水面在 时，时，拱顶离水面拱顶离水面2m2m，水面宽度，水面宽度4m4m，水，水面下降面下降1m1m，水面宽度增加多少？，水面宽度增加多少？lxy0(4, 0)(0,0)462水面的宽度增加了水面的宽度增加了m(2,2)2(2)2ya x解：解：如图建立如下直角坐标系，如图建立如下直角坐标系，设这条抛物线解析式为设这条抛物线解析式为21a由抛物线经过点（由抛物线经过点（0，0），可得），可得21(2)22yx 所以，这条抛物线的二次函数为：所以，这条抛物线的二次函数为：当当 时，时，所以，水面下降所以，水面下降1m，水面的，

8、水面的宽度为宽度为 m.1 y6262x 1y 当水面下降当水面下降1m时，水面的纵坐标为时，水面的纵坐标为X yxy00 注意注意: 在解决实际问题时在解决实际问题时,我们应建立简单方便的平面直角坐标我们应建立简单方便的平面直角坐标系系. 用抛物线的知识解决生活中的一些实用抛物线的知识解决生活中的一些实际问题的一般步骤：际问题的一般步骤：建立直角坐标系建立直角坐标系二次函数二次函数 问题求解问题求解 找出实际问题的答案找出实际问题的答案注意变量的取值范围注意变量的取值范围练习：1252yxABAB30hA 5B 6C 8D 9河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线型，建立如图所示的坐标系,其函数的

9、解析式为， 当水位线在位置时，水面宽米,这时水面离桥顶的高度 是（）、米、米； 、米； 、米如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m，宽是2m，抛物线可以用 表示.（1）一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？（2）如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡车是否可以通过？2144yx （1）卡车可以通过.提示：当x=1时，y =3.75,3.7524.（2）卡车可以通过.提示：当x=2时，y =3,324.13131313O练习： ： 某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物,大门底部宽AB=4m,顶部C离地面的高度为4.4m,现有载满货物的汽车欲通过大门,货物顶部距地面2.7m,装

10、货宽度为2.4m.这辆汽车能否顺利通过大门?若能,请你通过计算加以说明;若不能,请简要说明理由.练习解：如图，以AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系.AB=4A(-2,0) B(2,0)OC=4.4C(0,4.4)设抛物线所表示的二次函数为4 . 4axy2 抛物线过A(-2,0)04 . 4a4 1 . 1a 抛物线所表示的二次函数为4 . 4x1 . 1y2 7 . 2816. 24 . 42 . 11 . 1y2 . 1x2 时，时，当当汽车能顺利经过大门.投篮问题投篮问题一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离地一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离

11、地面高面高 米，与篮圈中心的水平距离为米，与篮圈中心的水平距离为8 8米，当球出米，当球出手后水平距离为手后水平距离为4 4米时到达最大高度米时到达最大高度4 4米，设篮球米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3 3米。米。209 问此球能否投中？问此球能否投中？3米米2098米米4米米4米米0048（4，4）920 xy442xay(0 x8)9200，抛物线经过点4409202a91 a44912xy(0 x8)9208yx时，当篮圈中心距离地面篮圈中心距离地面3米米此球不能投中此球不能投中如图，建立平面如图，建立平面 直角坐标系，直角坐标系，点

12、（点（4，4）是图中这段抛物）是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数为：物线对应的函数为：3活动四：试一试活动四：试一试如图所示，有一座抛物线型拱桥，在正常水位如图所示，有一座抛物线型拱桥，在正常水位ABAB时，水面宽时，水面宽2020米，水位上升米，水位上升3 3米，就达到警戒米，就达到警戒线线CD,CD,这时水面宽为这时水面宽为1010米。米。（1 1）求抛物线型拱桥的解析式。）求抛物线型拱桥的解析式。（2 2）若洪水到来时，水位以每小时）若洪水到来时，水位以每小时0.20.2米的速米的速度上升，从警戒线开始，度上升，从警戒线开始，在持续多少小时才能达在持续多少小时才能达到拱桥顶？到拱桥顶？（3 3）若正常水位时，有一艘）若正常水位时，有一艘宽宽8 8米，高米，高2.52.5米的小船米的小船能否安全通过这座桥？能否安全通过这座桥？A AB B20m20mCD 解：（1）设所求抛物线的解析式为：y=ax2设D（5，b），则B（10，b3）， 把D、B的坐标分别代入y=ax2得： ，解得 ， y=1/25 x2； （2）b=1，拱桥顶O到CD的距离为1， =5小时所以再持续5小时到达拱桥顶 实际问题抽象转化数学问题数学问