苏教版高中数学选修2第1讲：命题与充要条件(教师版)

1、1 苏教版高中数学命题与充要条件_ _ 理解四种命题及其相互关系，会判断四种命题的真假。理解简单的逻辑联结词“或”“且”“非”的含义，能用“或”“且”“非”表述相关的数学内容。会用“全称量词与存在量词”对命题进行否定。理解充分条件、必要条件、充要条件等概念。能够判断给定的两个命题的充要关系，充分条件与必要条件的判断。1命题能判断真假的语句叫做命题四种命题表述形式原命题：若p，则逆命题：若q，则 p 否命题：若非p，则非 q 逆否命题：若非q，则非 p 2全称量词与全称命题(1) 全称量词：短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，在逻辑中通常叫做全称量词(2) 全称命题：含有全称量词的命题(3)

2、 全称命题的符号表示形如“对m中所有x，p(x) ”的命题，可用符号简记为“xm，p(x) ”2 3存在量词与存在性命题(1) 存在量词：短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词。(2) 存在性命题：含有全称量词的命题(3) 存在性命题的符号表示形如“存在集合m中的元素x，q(x) ”的命题，用符号简记为xm，q(x) 。4基本逻辑联结词常用的基本逻辑联结词有“且”、“或”、“非”5命题pq，pq，非p的真假判断p q p q pq 非 p 真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真6含有一个量词的命题的否定命题命题的否定xm，p(x) x

3、m，非p(x) xm，p(x) xm，非p(x) 7充分条件、必要条件与充要条件(1) “若p，则q”形式的命题为真时，记作pq，称p是q的充分条件，q是p的必要条件(2) 如果既有pq，又有qp，记作pq，则p是q的充要条件，q也是p的充要条件p是q的充要条件又常说成q当且仅当p，或p与q等价8命题的四种形式及真假关系互为逆否的两个命题等价( 同真或同假 ) ；互逆或互否的两个命题不等价3 【特别提醒】等价命题和等价转化(1) 逆命题与否命题互为逆否命题；(2) 互为逆否命题的两个命题同真假；(3) 当判断原命题的真假比较困难时，可以转化为判断它的逆否命题的真假类型一命题的四种形式及其关系例

4、 1：已知命题“若函数f(x) exmx在(0 ， ) 上是增函数，则m1”，则下列结论正确的是 ( ) a否命题“若函数f(x) exmx在 (0 ， ) 上是减函数，则m1”是真命题b逆命题“若m1，则函数f(x) exmx在(0 ， ) 上是增函数”是假命题c逆否命题“若m1，则函数f(x) exmx在(0， ) 上是减函数”是真命题d逆否命题“若m1，则函数f(x) exmx在(0， ) 上不是增函数”是真命题【解析】命题“若函数f(x) exmx在(0 ， ) 上是增函数，则m 1”是真命题，所以其逆否命题“若m1，则函数f(x) exmx在(0， ) 上不是增函数”是真命题【答案】

5、d 练习 1：给出命题“已知a、b、c、 d 是实数 , 若 a=b,c=d, 则 a+c=b+d”, 对其原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言,真命题有（）a.0 个b.2 个c.3 个d.4 个【解析】在四种命题中原命题和逆否命题同真假, 故只需判断原命题和逆命题的真假即可原命题为真所以逆否命题为真逆命题为“已知a、b、c、d 是实数 , 若 a+c=b+d, 则 a=b,c=d ”, 显然错误所以否命题也错误故真命题个数为2【答案】b 练习 2：命题“若x，y都是偶数，则xy也是偶数”的逆否命题是( ) a若xy是偶数，则x与y不都是偶数b若xy是偶数，则x与y都不是偶数c若xy不是偶数

6、，则x与y不都是偶数d若xy不是偶数，则x与y都不是偶数【解析】若命题为“若p 则 q”，命题的逆否命题为“若非q，则非 p”，所以原命题的逆否命题是“若x+y 不是偶数，则x 与 y 不都是偶数”。【答案】c 4 类型二含有逻辑联结词命题真假的判断例 2：设命题p：函数ysin2x的最小正周期为2；命题q：函数y cosx的图象关于直线x2对称则下列判断正确的是( ) ap为真b非q为假cpq为假dpq为真【解析】由于函数y=sin2x 的最小正周期为，故命题 p是假命题；函数y=cosx 的图象关于直线 x=k对称， kz，故 q 是假命题由此结合复合命题的判断规则知：q 为真命题， pq

7、 为假命题， pq 为是假命题考查四个选项，c选项正确，【答案】c 练习【 2015 高考新课标1，理】：设命题p：2,2nnn n，则p为( ) a.2,2nn n nb.2,2nn n nc.2,2nn n nd.2,=2nnn n【解析】全称命题的否定与特称命题的否定是高考考查的重点，对特称命题的否定，将存在换成任意，后边变为其否定形式，注意全称命题与特称命题否定的书写，是常规题，很好考查了学生对双基的掌握程度.p:2,2nnn n，故选 c. 【答案】c 练习 2：已知命题p1：函数y2x2x在 r上为增函数；p2：函数y2x2x在 r上为减函数，则在命题q1：p1p2，q2：p1p2

8、，q3：( 非p1) p2和q4：p1( 非p2) 中，真命题是( ) aq1，q3bq2，q3 cq1，q4dq2，q4【解析】选 c.p1为真命题，p2为假命题，非p1为假命题，非p2为真命题故选c. 【答案】c 例 3：判断下列命题的真假(1)xr，x2x112；(2)， ，cos( )coscos；(3)x，yn，xyn；(4)x0，y0z，2x0y03. 【解析】(1) 真命题，x2x1(x12)2343412. (2) 真命题，如 4，2符合题意5 (3) 假命题，如x1，y5，但xy 4n. (4) 真命题，如x00，y03 符合题意【答案】真命题，真命题，假命题，真命题。练习

9、3：写出下列命题的否定形式，并判断其真假(1)p：xr，x2x140；(2)s：至少存在一个实数x，使x3 10. 【解析】(1) 非p：xr，x2x140，是假命题，因为xr，x2x14x1220 恒成立(2) 非s：xr，x310，是假命题，因为当x 1 时，x310. 【答案】非p：xr，x2x140，是假命题。非s：xr，x31 0，是假命题。类型三充要条件的判断例 4：设集合mx|x2，px|xa，故a 30；但当a30时，有 sinb32，6 b60或b120，因此正确【答案】练习 2【2015 高考湖北，理】：设12,na aar ，3n. 若p：12,na aa 成等比数列；q

10、：22222221212312231()()()nnnnaaaaaaa aa aaa，则（）ap是q的充分条件，但不是q的必要条件bp是q的必要条件，但不是q的充分条件cp是q的充分必要条件dp既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【解析】充分性： 若命题成立， 不妨设数列的公比为，则根据柯西不等式，当1nnaa q，时，命题成立，因此充分性成立；必要性：当0na时，命题成立，而12,na aa不为等比数列，即命题不成立，故必要性不成立。综上，是的充分条件，但不是的必要条件。故本题正确答案为a 【答案】a 类型三求参数的取值范围例 5：已知p：x28x200，q：x22x 1m20(m0)若非

11、p是非q的充分不必要条件，求实数m的取值范围【解析】方法 1： 由x28x200 得 2x10， 由x22x1m20 得 1mx1m(m0) 非p：ax|x10 或x1m或x0，1m10，1m 2.解得 00) ，p：ax| 2x10 ，q：bx|1 mx 1m非p是非q的充分不必要条件，q也是p的充分不必要条件，ba. m0，1m10，1m 2.解得 0m3. 【答案】 0m3 练习 1：已知命题p：函数 log0 5(x2+2x+a) 的值域为r，命题 q：函数 y=-(5-2a)x是减函数若p 或 q为真命题， p 且 q 为假命题，则实数a 的取值范围是 ( ) aa1 ba2 c1a

12、0， 且c 1， 设p： 函数ycx在 r上递减；q： 函数f(x) x22cx1 在12，上为增函数，若“p且q”为假，“p或q”为真，则实数c的取值范围为_【解析】若 p 为真， 函数 y=cx在 r 上单调递减， 0 c1， 若 q 为真， 函数 f （x） =x2-2cx+1在（ 1/2，+）上为 增函数 f（x）对称轴 为 x=c ， 0 c1/2（1）p 为真， q 为假， 实数 c 的取值范围是1/2c1 （2）p 假 q 真，无解。 实数 c 的取值范围是1/2c1【答案】1/2c8,p=x|x2+(a-8)x-8a0 ，若 m p=x|5 x8求 a 取值范围。【解析】解 m

13、 ：当 x3 时 x+1+x-38, 得 x5。当 -18, 无解。当x -1 时，-x-1+3-x8,得 x5 或 x-3,m p=x|5 x8 ，则记 f(x)=x2+(a-8)x-8a=0两根 x13 时 x+1+x-38, 得 x5。当 -18, 无解。当x -1 时，-x-1+3-x8,得 x5 or x-3,mp=x|5 x8 ，则记 f(x)=x2+(a-8)x-8a=0两根 x1x2, 则 p=x|x1xx2 需： x2=8,-3 x5 由 f(x2)=f(8)=64+8(a-8)-8a=0知 8 为其根：f(-3)=9-3(a-8)-8a=33-11a0, ：a3f(5)=2

14、5+5(a-8)-8a=-3a-150, ：a-5 综合： -5 a3 练习 1：已知p：x24x50，q：|x3|0) 若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围【解析】设ax|x24x50 x| 1x5，bx| a3xa3 ，因为p是q的8 充分不必要条件，从而有ab.故a35，解得a4。【答案】设ax|x24x50 x| 1x5，bx| a3xa3 ，因为p是q的充分不必要条件，从而有ab.故a35，解得a4。1. 已知命题p:函数 f(x)12x13logx在区间0，13内存在零点，命题q:存在负数x 使得12x1,3x给出下列四个命题：p 或 q； p 且 q； p 的否定； q 的否

15、定其中真命题的个数是 () a 1 b2 c3 d4 【解析】命题p 为假命题，命题q 也为假命题利用真值表判断【答案】 b 2. 命题“若4，则 tan 1”的逆否命题是( ) a若 4，则 tan 1b若 4，则 tan 1c若 tan 1，则 4d若 tan 1，则 4【答案】c 3. 【2015 高考天津，理】设xr，则“21x”是“220 xx”的 ( ) a.充分而不必要条件b.必要而不充分条件c.充要条件d.既不充分也不必要条件【答案】a 4下列命题中为真命题的是( ) a命题“若xy，则x|y| ”的逆命题b命题“若x1，则x21”的否命题c命题“若x1，则x2x20”的否命题

16、d命题“若x20，则x1”的逆否命题【答案】a 5 已知p(x) ：x22xm0， 如果p(1) 是假命题，p(2) 是真命题，则实数m的取值范围为_9 【答案】3,8) 6. 已知p：|x3| 2，q：(xm1)(xm1)0，若非p是非q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围【答案】由题意得p：2x32，1x5.非p：x5. q：m1xm1，非q：xm1. 又非p是非q的充分而不必要条件，m11，m15或m11m15，解得 2m4 或 2m4，2m4._ _ 基础巩固（ 1）1. 【2015 高考新课标1，理】设命题p：2,2nn n n，则p为( ) a.2,2nn n nb.2,2nnn

17、 nc.2,2nn n nd.2,=2nnn n【答案】c 2. 【2015 高考新课标1，理】命题“*, ( )n nf nn且( )f nn的否定形式是（）a.*, ( )nn f nn且( )f nnb.*, ( )nn f nn或( )f nnc.*00, ()nnf nn且00( )f nnd.*00, ()nnf nn或00()f nn【答案】d. 3. 判断命题“若a 0，则x2xa0 有实根”的逆否命题的真假【答案】逆否命题：若x2xa0 无实根，则a0. 10 判断如下：x2xa0 无实根， 14a0，a140，“若x2xa0 无实根，则abc2，则ab；若 sin sin ，则 ；“实数a0”是“直线x2ay1 和直线 2x2ay1 平行”的充要条件；若f(x) log2x，则f(|x|) 是偶函数其中正确命题的序号是_【答案】5. 设nn，一元二次方程x24xn0 有整数根的充要条件是n_. 【答案】3 或 4 能力提升（ 2）6. 若“x2,5或xx|x4 ”是假命题，则x的取值范围是 _