2019届高考数学一轮复习第八章解析几何第7节抛物线练习新人教A版

1、第八章第 7 节抛物线提笔能 课时冲关打造能力各个击礦基础对点练1.（导学号 14577769）（2018 沈阳市监测）抛物线y= 4ax2（a0）的焦点坐标是（）A. （0，a）B. （a,0）C.0，D.忌,02一21一 f 1 解析：C 将y= 4ax（az0）化为标准方程得x=亦丫 2 工 0），所以焦点坐标为0,灵，所以选 C.2.（导学号 14577770）已知抛物线C与双曲线x2y2= 1 有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是（）A. y2=22xB. y2=2xC. y2=4xD. y2=42x解析：D 因为双曲线的焦点为（一 2, 0） , （2, 0）,设抛物线方

2、程为y2=2px（p0），则字述,所以p= 2 2 ,所以抛物线方程为y2=42x.3.（导学号 14577771）（2016 高考全国卷I）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于 A,B两点，交C的准线于D, E两点已知|AB= 4,2, |DE= 25，贝U C的焦点到准线的距离为（）A. 2B. 4C. 6解析：B 由题意，不妨设抛物线方程为= 2px（p0），由|AB= 4 2 , |DE= 2 叮 5,设O为坐标原点，由 IOA=|OD，得16+ 8 =p+ 5,得p= 4,所以选 B.P4D. 84.(导学号 14577772)(2018 汕头市一模)已知抛物线 C：y2= 8x的焦点为

3、F,准线与x轴的交点为K,点A在C上且|AK= J2|AF，则AFK的面积为()A. 4B. 8C. 16解析：B 抛物线 C:y2=8x的焦点为F(2,0)，准线为x=- 2 ,二K( 2,0).设A(xo,yo)，过A点向准线作垂线AB,则B( 2,yo).|AK=|AF, 又AF=AB= X0 ( 2) =x+ 2,由 |BK2=|AK2-|AB2得y2= (X0+ 2)2，即 8X0= (X0+ 2)2,解得A(2，土 4),1 1 AFK的面积为 2|KF|Iy| =4X4= 8.故选 B.25.(导学号 14577773)(2018 上饶市一模)已知抛物线 C:y= 8x的焦点为F

4、,点M2,2)过点F且斜率为k的直线与C交于 A,B两点，若MA-MB=0,贝Uk=()A. 2B221eqD. 2解析：D 由抛物线C：y= 8x得焦点F(2,0).由题意可知：斜率k存在，设直线AB为y=k(x 2),代入抛物线方程，得到k2x2 (4k2+ 8)x+ 4k2= 0, 0.沁8设A(X1,yd,B(X2,y2), X1+X2= 4+产，X1X2= 4,ky1y2= 16.T TT T1616又MA MB=0, MA MB=(X1+ 2,y1 2) (X2+ 2,y2 2)=严一匸 + 4= 0,k= 2.故选 D.2 2x y26.(导学号14577774)已知双曲线 孑一

5、器=1(a0 ,b0)的两条渐近线与抛物线y=2px(p0)的准线分别交于A,B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为 2, AOB勺面积 为心,则该D. 32抛物线的标准方程是 _.pbpb解析：把x=专代入y=-x，解得y=亍，2a2apb所以|AB| =.a因为AOB的面积为 3,所以 2XIx字3，由e=a=i+) = 2.解得a=3，所以号 x 3=寸 3,解得p= 2,所以该抛物线的标准方程是y2= 4x.答案：y2= 4x7._ (导学号 14577775)(2018 南京市、盐城市二模 )在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2= 6x的焦点为F,准线为I,P为抛物线上一点，PAL

6、 I,A为垂足.若直线AF的斜率k= 3，则线段PF的长为 _.解析：抛物线方程为y?= 6x ,.焦点F(1.5,0)，准线方程为x= 1.5.直线AF的斜率为一 3，直线AF的方程为y= ,3(x 1.5),当x= 1.5 时，y= 3 3，可得A点坐标为(一 1.5,33). PALl,A为垂足， P 点纵坐标为 3 3，代入抛物线方程，得P 点坐标为(4.5,33), |PF= IPA= 4.5 ( 1.5) = 6.答案：6& (导学号 14577776)探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点，已知灯口直径是 60 cm,灯深 40 cm，则光源到反射镜顶点

7、的距离是 _ cm.解析：设抛物线方程为y2= 2px(p 0)，点(40,30)在抛物线y2= 2px上,45p45900=2px40.p=.=.42 89.(导学号 14577777)已知抛物线x2= 2py(p 0) ,F为其焦点，过点F的直线l交抛物 线于A B两点，过点B作x轴的垂线，交直线OA于点C,如图所示.因此，光源到反射镜顶点的距离为458cm.答案:458（1） 求点C的轨迹方程;（2）直线m是抛物线的不与x轴重合的切线，切点为P, M与直线m交于点Q求证：以线段PQ为直径的圆过点F.解：（1）由题意可得：直l的斜率存在，设方程为：y=kx+P.设A(xi,yi)，B(X2

8、,y2),动点C（x，y），2X= 2py由i . p,y=kx+可得x2 2pkxp2= 0,可得X1X2=p2.y1X1OA y=x；x=2px,OB x=X2.X1y=敢 可得y= 2p-X2= 2,由丫.X=X2即点C的轨迹方程为y=号证明：设直线m的方程为y=kx+m,r 2由！x= 2py可得x2 2pkx 2pm=0 可得= 4p2k2+ 8pm因为直线m与抛物线相切,y=kx+m2= 0，可得pk+ 2m= 0,可得F(pk,m,又由$y=kx+mi py=2FP- FQ=pk,m-2)FP丄FQp+ 2m2k,(1) 求抛物线C的方程及准线I的方程；(2) 过焦点F的直线(不

9、经过Q点)与抛物线交于A,B两点，与准线I交于点M记QAQB QM勺斜率分别为ki,k2,k3,问是否存在常数 入，使得ki+k2=入k3成立？若存在 入， 求出入的值；若不存在，说明理由.解： 把 Q1,2)代入y2= 2px，得 2p= 4,所以抛物线方程为y2= 4x,准线I的方程为x= 1.由条件可设直线AB的方程为y=k(x 1),kz0.由抛物线准线l:X= 1,可知M 1, 2k)，又Q1,2)，所以k3=辛2k+ 1.把直线AB的方程y=k(x 1)，代入抛物线方程y2= 4x,并整理，可得k2x2 2(k2+ 2)x+k2= 0.2 y12 y2又QI II,2)，故k1=口

10、，k2=百;y1y2因为A, F,B三点共线，所以kAF=kBF=k, 即七=右=k，+II X11 X2设A(X1,yd,B(X2,y2)，则X1+X2=2k2+ 4X1X2= 1.所以k1+k2=2 y12 y22kx1X22k+2X1+X2X1X2X1+X2+ 1即存在常数 入=2,使得 匕+k2= 2k3成立.能力提升练11 .(导学号 14577779)(2018 上海市模拟)已知动点Rx,y)满足5x12+y2=|3X+4y 1|，则点P的轨迹是()A.直线B.抛物线C.双曲线D.椭圆解析：B 动点P(x,y)满足 5 ,x 12+y 22= |3x+ 4y 1| ,可得.x 12

11、+y 22=|3X+：y吐，表示动点P(x,y)到(1,2)与到直线 3X+4y 1 = 0 距离相等，又(1,2)不在直线 3X+ 4y 1 = 0 上，则点P的轨迹是以(1,2)为焦点以 直线3x+ 4y 1 = 0 为准线的抛物线.故选 B.12.(导学号 14577780)(2018 白山市一模)已知抛物线y2= 6x的焦点为F,准线为I, 点P为抛物线上一点，且在第一象限，PAL l，垂足为代|PF= 2，则直线AF的倾斜角为()A.+2k+4=2(k+ 1),B._ 5nD.-6解析：D 如图，设P（xo,y。），因为 |PF= 2=xo+ 1.5，所以xo= 0.5.因为 |PA

12、= |PF= 2,所以/PAF=ZPFA又/PAIAFB所以/AF*1/PF*%，所以AF的倾斜角为5n.故选 D.】113.（导学号 14577781）（2018 长沙市模拟）已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为-,E的右焦点与抛物线C y2= 8x的焦点重合，A,B是C的准线与E的两个交点，贝 U |AB=解析：椭圆E的中心在坐标原点，离心率为1,E的右焦点（c,0）与抛物线 C:y2= 8x的焦点（2,0）重合，可得c= 2,a= 4,b2= 12，椭圆的标准方程为X =2程为x= 2,联立x2y2,皿+匸=1解得y= 3,B- 2, 3)，则 IAB= 3( - 3) = 6.答案：6

13、C是抛物线上三点且FA+FB+FC=0，求ABC面积的最大值.p解：（1）由题意知 2 = 1，即p= 2,抛物线C的方程为：x2= 4y;14.（导学号14577782)(2018 遂宁市二诊 )已知点F(0,1)为抛物线x2= 2py的焦点.（1）求抛物线C的方程;C.3n2 216+12= 1.抛物线的准线方-A 2,3),点A B、所以 |BF=IB# , *,x，不妨设直线AB与y轴交于点D（0 ,yD）,S ABCmax=2.222X2XiXiVD-44 y4X1X2= 即yD=-X2xi0 xi4又且FM FB+FC= 0,2 2 2XiX2X3从而Xi+X2= X3,Xi+X2= i2 X32 2 2 2 2 2XIX2=(Xi+X2) (Xi+X2) = 2X3 i2，即XiX2=X3 6.?9XiX2 22292222ABC=；i+(Xi+X2 2X1X2)=(4 +X3 6) (i2 X3 2X3+ i2)44 J64922227222=64(X3 2) (24 3X3)= 64(X3 2) (8 X3).2272272令t=X20,y= 64(t 2) (8 t) ,y，=前2(t 2)(8 t) (t 2)则11= 2,12= 6.Xi+X2+X330,i.& ABC=3SA ABF=3X2|i