二维形式的柯西不等式一资料

1、精品文档第一课时3.1二维形式的柯西不等式(一)并会证明二维柯西不教学要求：认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义, 等式及向量形式.教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式教学难点：理解几何意义.教学过程：一、复习准备：1. 提问：二元均值不等式有哪几种形式？a b 答案：ab (a 0,b0)及几种变式.22. 练习：已知 a、b、c、d 为实数，求证(a2 b2)(c2 d2) (ac bd)2证法：(比较法)(a2 b2)(c2 d2) (ac bd)2=：=(ad bc)2 0二、讲授新课：1. 教学柯西不等式： 提出定理1：若a、b、c、d为实数，则(a2 b2)(c2

2、 d2) (ac bd )2.t即二维形式的柯西不等式t什么时候取等号？ 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？证法二：(综合法)(a2 b2)(c2 d2) a2c2 a2d2 b2c2 b2d2(ac bd)2 (ad bc)2 (ac bd)2.(要点：展开t配方)irrit, r ,证法三：(向量法)设向量 m(a,b), n(c,d)，则 |m. a2b2, |n | . c2d2 .it rirrirrir riT r ir r m?n ac bd，且 mgi |m|g n |gcos m,n ，贝y |mgn| |mg n|.2 2 2 2 2证法四：(函数法)设 f(x)

3、(a b )x 2(ac bd )x c d ,贝Uf (x) (ax c)2 (bx d)2 > 0 恒成立.2(ac bd)2 4(a2 b2)(c2 d2) < 0,即：. 讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？变式：a2b2 gc2d2|acbd | 或 a2 b2g.c2d2 |ac| |bd |或.a2b2gc2d2acbd.i ili ITIT li 提出定理2：设，是两个向量，则| g | | | |.即柯西不等式的向量形式(由向量法提出 )li (Jt讨论：上面时候等号成立？(是零向量，或者，共线) 练习：已知 a、b、c、d 为实数，求证. a2 b2 . c2

4、 d2(a c)2 (b d)2 .证法：(分析法)平方 t应用柯西不等式t讨论：其几何意义？(构造三角形)2. 教学三角不等式：出示定理3:设乂沙兀必R，则x；y；x?2垃.(为x?)2(y1y?)2.分析其几何意义 t如何利用柯西不等式证明t变式：若X1,y1,x2,y2,xa,y3 R，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？3. 小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式(两点、三点) 三、巩固练习：1. 练习：试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式2.作业：教材P37 4、5题.第二课时3.1二维形式的柯西不等式（二）教学要求：会利用二维柯西不等式及三角不等式

5、解决问题， 体会运用经典不等式的一般方法 发现具体问题与经典不等式之间的关系， 经过适当变形，依据经典不等式得到不等关系 教学重点：利用二维柯西不等式解决问题教学难点：如何变形，套用已知不等式的形式 .教学过程：一、复习准备1. 提问：二维形式的柯西不等式、三角不等式？几何意义？答案：（a2b2）（c2d2）（ac bd）2 ； .Xy?.y7,（y!2. 讨论：如何将二维形式的柯西不等式、三角不等式，拓广到三维、四维？3. 如何利用二维柯西不等式求函数y . x 12 x的最大值？要点：利用变式 |ac bd | . b2g c2d .二、讲授新课：1. 教学最大（小）值： 出示例1：求函数

6、y 3.厂的最大值？分析：如何变形？t构造柯西不等式的形式t板演t变 式： y .3x 1.10 2xty a bx c d e fx,（a,b,c,d,e, f R ）丄13 练习：已知3x 2y 1,求x2 y2的最小值.解答要点：（凑配法）x2 y2 丄（x2 y2）（3222） - （3x 2y）21313讨论：其它方法（数形结合法）2. 教学不等式的证明：1 1出示例2 :若x, y R , x y 2，求证：2 .x y分析：如何变形后利用柯西不等式？（注意对比 t构造）()2y要点：1 ；如 y）（x 十）1（"（3（丁讨论：其它证法（利用基本不等式）3.练习：已知 x

7、, y, a,bR，且abnt1，则xy的最小值.xy要点：x ya(-b )(xy).t其它证法xy若 x, y,z R，且x yz 1，求 x2y2 z2的最小值1 1练习：已知a、b R，求证：（a b）（） 4.a b式）（要点：利用三维柯西不等变式：若x, y,z R，且x y z 1，求' x , y - z的最大值.3. 小结：比较柯西不等式的形式，将目标式进行变形，注意凑配、构造等技巧 三、巩固练习:1. 练习：教材P37 8、9题2作业：教材P37 1、6、7题第三课时3.2一般形式的柯西不等式教学要求：认识一般形式的柯西不等式，会用函数思想方法证明一般形式的柯西不等

8、式，并应用其解决一些不等式的问题 .教学重点：会证明一般形式的柯西不等式，并能应用教学难点：理解证明中的函数思想.教学过程：一、复习准备：1. 练习：2. 提问：二维形式的柯西不等式？如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维？答案：(a2b2)(c2d2) (ac bd)2 ；(a2b2c2)(d2e2f2)(ad be cf)2二、讲授新课：1. 教学一般形式的柯西不等式：ir ir ir_u ur u ur 提问：由平面向量的柯西不等式| g | |，如果得到空间向量的柯西不等式及代数形式？ 猜想：n维向量的坐标？ n维向量的柯西不等式及代数形式？要点：令f( x)f a；2a22 2an )

9、x2佝3a2b2anbJx(bib2bn2),则f(x)(a/d)2(a2x2 2b2)+ f anX bn)0.又耳22a2an2 0,从而结合二次函数的图像可知，2(a1b1a2b2anbn)2 2 2 2 24(a1a2L a. )g (db22 Lbn2) < 0即有要证明的结论成立结论：设印盘丄,an,b1,b2丄,bn R，则出示例2:若a >b >c，求证:要点：(a(a b)a c1 1(b c)()(1a b b c1)2讨论：什么时候取等号？(当且仅当Lan时取等号,假设b 0)b1b2bn联想：设 B a1b1a2b2anbn ，A2印2a2Lan2Cb

10、2 b22 L bn2，则有B2 AC 0,可联想到一些什么？2 2 2 2 2 .佝 a2 L an )(b1b?Lbn2) (a a2b2anbn)2讨论：如何构造二次函数证明n维形式的柯西不等式？(注意分类)变式：a12 a22 L an22.教学柯西不等式的应用：1(a1a2nan)2.(讨论如何证明)出示例1:已知3x 2yz 1，求 x2y2 z2的最小值.分析：如何变形后构造柯西不等式？t板演t变式：练习：若x, y, z R，且1 1 1 1 ,求x -的最小值.x y z23(注意：分析什么时候等号成立 .)精品文档3. 小结：柯西不等式的一般形式及应用；等号成立的条件；根据

11、结构特点构造证明三、巩固练习：1.练习：教材P414题2 .作业：教材F415、6题第四课时 3.3排序不等式体会运教学要求：了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题,用经典不等式的一般方法.教学重点：应用排序不等式证明不等式教学难点：排序不等式的证明思路.教学过程：一、复习准备：1. 提问： 前面所学习的一些经典不等式？（柯西不等式、三角不等式）2. 举例：说说两类经典不等式的应用实例.二、讲授新课：1.教学排序不等式： 看书：P42P44. 提出排序不等式（即排序原理）：设有两个有序实数组：aia2an； bit）2bn.Cl,C2,Cn是b,b2，bn的任一排列，则有a1b1 a2b2 +an0 （同序和）aic a2C2 + +anCn (乱序和)aibna2bn 1 + + an bl (反序和)当且仅当a1 a2 =an或b1b2 =bn时，反序和等于同序和（要点：理解其思想，记住其形式）2. 教学排序不等式的应用： 出示例1：设a1,a2, ,an是n个互不相同的正整数，求证:a221a1 n分析：如何构造有序排列? 证明过程：如何运用套用排序不等式?bn，则 31,b22, ,bnn.又1丄22112，由排序不等式，3n得a鱼可 2a3%b2b3 b 32n2b12232bn2 n小结：分析目标，构造有序排列.练习：已知a,b, c为正数