二项式定理的练习及答案资料

1、精品文档二项式定理的练习及答案精品文档基础知识训练(一)选择题1 (X6)展开式中常数项是(A.第 4 项 B. 24C4 C. C4D.22. (x 1)11展开式中x的偶次项系数之和是()A.-2048B.-1023C.-1024D.10243. (1-.2)7展开式中有理项的项数是()A.4B.5C.6D.74右C仃与Cn同时有最大值，则m等于()A.4 或 5B.5 或 6C.3 或 4D.55设(2x-3) 4=a0a1x a2x2a3x3a4x4，贝y ao+a1+a2+a3的值为()A.1B.16C.-15D.156. (x3丄)11展开式中的中间两项为()xA. C151x12

2、,C151x12b.C；1X9, C151X10c.C；1X13Q51X9DC5#, Ch13(二)填空题7在(2x y)7展开式中，x5y2的系数是3C03C12 23 Cn3nC9. (V5 亠)10314.求(1+x)+(1+x)+(1+x) 展开式中x的系数.°的展开式中的有理项是展开式的第 项+10. (2x-1) 5展开式中各项系数绝对值之和是 .23 1011. (1 3x 3x x )展开式中系数最大的项是 12. 0.991 5精确到0.01的近似值是(三)解答题13. 求 (1+x+x 2)(1-x)10 展开式中 x4 的系数.15.已知(1-2x) 5展开式中

3、第2项大于第1项而不小于第3,求x的取值范围.n为何值时,16若f(x) (1 x)m (1 x)n(m n N)展开式中，x的系数为21，问mx2的系数最小？17.自然数n为偶数时，求证:1 212CnCn2C3C：2Cn 1 Cn2n18.求8011被9除的余数*3,求展开式19.已知(、.x 二)n的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14;x的常数项20.在(x2+3x+2)5的展开式中，求x的系数+21 求(2x+1) 12展开式中系数最大的项*参考解答：36 _ r1. 通项 Tr 1c6x6r()rc6x 2 2r，由 6 -r 0 r 4，常数项是 T5 C：24，<

4、;x2选(B)2. 设f(x)=(x-1)11,偶次项系数之和是 也 丄 (2)11 /21024，选(C).2r3. 通项Tr 1C；. 2)rC；22，当r=0 , 2, 4, 6时，均为有理项，故有理项的项数为4个，选(A1714.要使C；7最大，因为17为奇数，则n或n2使CT最大，则m=8=4，若n=9,要使C：最大，则m2综上知，m=4或m=5故选(A)17 12n 8 或 n=9,若 n=8，要m 4 或 m=5,224n5.C6.C7.;8.4;9.3,9,15,21310. (2x-1) 5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1) 5展开式系数之和，故令x=1，则所求和

5、为35*11. (1+3x+3x 2+x °=(1+x) ",此题中的系数就是二项式系数，系数最大的项是T16=C；0x15.0.9612.0.991 5=(1-0.009) 5=C5C；0.0092 1013. (1 x x )(1 x)-9(1 x )(1 x),要得到含x4的项,必须第一个因式中的(1-x) 9展开式中的项c9( x)4作积，第一个因式中的一X-与(1-x) 9展开式中的项C；( x)作精品文档3X积，故X4的系数是c； C4135.2 1014. (1 x) (1 X)(1 X)(1x)1(1 x)10 =(x 1)11 (X 1)，原式中1(1 x

6、)=X'八实为这分子中的x4，则所求系数为c71+15由C5( 2x)1C5( 2x)C° c；( 2X)21x01x 0411 x 一41016由条件得m+n=21, x2的项为C：x2故当n=10或11时上式有最小值，也就是2 22221 2399CnX，则 Cm Cn (n )因 n N,242 i im=11和n=10,或 m=10和n=11时，x的系数最小17原式=(C1 2Cn Cnn 1 n13Cn Cn ) (C n Cnn 1nCn )2n 1n 123.218. 8011 (811)11C1018111Cn8110C；08181k 1(k Z), k 乙

7、9k-1 Z,. 8111 被 9 除余19依题意 C： :C214:3 3C414C： 3n(n-1)( n-2)( n-3)/4!=4 n(n-1)/2!n=10+设第r+1项为常数项，又Tr 1C；0Cx)10r(剳X10 5r2)七血丁令 10 5r 0 r 2,2T2 1c20( 2)2180.此所求常数项为18020. (x2 3x 2)5 (x1)5(x2)5在(x+1) 5展开式中，常数项为1，含x的项为C5 5x ,在(2+x) 5展开式中，常数项为25=32,精品文档240x，此展开式中x的系数为240含x的项为C；24x 80x21 .设Tr+1的系数最大，则Tr+1的系

8、数不小于Tr与Tr+2的系数，即有睥212 rr 113 rCrC12 2 C122C121%212 rC；211211r2C；2C；2111 ,3 r4, r 433展开式中含 x的项为1 (80x)5x(32)精品文档展开式中系数最大项为第5项，T5=16C：2x4 7920x4三.拓展性例题分析n _ 1例1在二项式X 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有2如理项.分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决.解：二项式的展开式的通项公式为：r < nr 1Tr1 CnC X)24 X/ 2n 3rcn”前三项的r 0,1,2.得

9、系数为：t11Cn2由已知：2t21 211/八n,t3 Cn n(n 1),2 48112n(n 1),8精品文档 n 816 3r4通项公式为0,1,28,Tr 1为有理项，故16 3r是4的倍数，2 r 0,4,8.依次得到有理项为 T| X ,t5 c8 x x,t9 c8 X X.282256说明：本题通过抓特定项满足的条件， 利用通项公式求出了 r的取值，得到了有理项.类 似地，C、2 3 3)100的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r的取值，得到共有17页系数和为3n .A例2(1 )求(1 x)3(1 X)10展开式中X5的系数；(2)求(X - 2)6展开式中的常X

10、数项.分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，(1)可以视为两个二项展开式相乘；(2)可以经过代数式变形转化为二项式.解：(1 ) (1 X)3(1 X)10展开式中的X5可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：310555用(1 X)展开式中的常数项乘以(1 X)展开式中的 X项，可以得到 C10X ;用3C：°x5 ；用(1 x)3中的x2乘以(1 x)10展开式中的32x3可得到3x3335C10X3C10X ;用(1x)3中的x3项乘以(1 x)10展开式中的x2项可得到C 3223x C10X25C10X，合并同类项得x5项为:(CoC103C1

11、0C12o)x563x5 .(2)2)5121、x12展开式的通项公式 Tr1C；2(、2)12C2X6 r，可得展开式3io44(1 x)展开式中的一次项乘以(1 x)展开式中的X4项可得到(3x)(Ci°x )的常数项为C；2924 .说明：问题(2)中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决这时我们还可以通过 合并项转化为二项式展开的问题来解决.例3求(1 x X2)6展开式中x5的系数.分析：(1 x x2)6不是二项式，我们可以通过 1 x x2(1 x) x2或1 (x x2)把它看成二项式展开.解：方法一：(1X X2)6(16x) X(1X6)6(1X)544X2 15

12、(1 x)4x4其中含X5的项为C5x56C3X515C14x5 6x5.含X5项的系数为6.方法二：(1 X26X )1(X6x )1 6(x X2)15(x22X )20(x x2 )315(xX2)46(x25 /2、6X )(X X )其中含X5的项为520( 3)x15(5554)x 6x 6x .二X5项的系数为6.方法3 :本题还可通过把(1X2 6x )看成6个1 xX2相乘，每个因式各取一项相乘可得到乘积的一项，555X5项可由下列几种可能得到.5个因式中取X, 个取1得到C6X .3个因式中取23132X, 个取 X2，两个取1得到C6 C3X ( X ) 1个因式中取X,

13、两个取 X2，三个取1得到c6 c5x ( X2)2 合并同类项为53112555(C6 C6C3 C6C5)x6x , X5 项的系数为 6(2)求证:(1)Cn 2C2ncnc°c1C n C n2二项式系数的性质实际上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的性质来证 解决这两个小题的关键是通过组合数公式 从而使用二项式系数性质3Cn宀1 ° -分析：明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值. 将等式左边各项变化的等数固定下来，1 2Cn Cncn解：(1)kCn kk!nd nCn1左边nCn 1nCn 1n(Cn1Cn1ncn1带)n 2n1右边.(2)-1 1 C

14、nn!n!k1k1 k!( nk)! (k1)!( nk)!1(n 1)!1k 1cn 1 n 1(k 1)!(nk)! n1左边1 C1n 11 c：1cn11n 1n 1n1 (cn 1C；1cn 1)11(21)右边n 11说明：本题的两个小题都是通过变换转化成二项式系数之和，再用二项式系数的性质求解.此外，有些组合数的式子可以直接作为某个二项式的展开式，但这需要逆用二项式定理才能完成，所以需仔细观察，我们可以看下面的例子：例 5 :求 29C1028C9o 27C1o 2C2o 10 的结果.仔细观察可以发现该组合数的式与(1 2)10的展开式接近，但要注意:(12)10coC1o 2

15、co22Co 29C10 210从而可以得到:2 22 10 2 C1029C：o 210Cw2(10 2C028co29C10)210 2C1028c029C：0泸 1).例6利用二项式定理证明:32n2 8n9是64的倍数.分析：64是8的平方，问题相当于证明32n 2 8n 9是82的倍数，为了使问题向二项式定理贴近，变形-2n 239n1n 1k2(8 1)，将其展开后各项含有8 ,与8的倍数联系起来.解： 32n 28n 99n18n9(81)n18n 98n1Cn8nCn1 82 Cn8n1Cn 18nCn 182 8(n1) 1 8 n 98n 1C；18nn 1Cn 182(8

16、n1Cn 18nn 1Cn 1)64是64的倍数.说明：利用本题的方法和技巧不仅可以用来证明整除问题，而且可以用此方程求一些 复杂的指数式除以一个数的余数.53 展开2x 2x2分析1:用二项式定理展开式.解法C；(2x)5 * *32x2C5(2x)432x2C；(2x)232x2C；(2x)232x23C；(2x)32x232x25232x120x1801354058X7243分析2:对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开.解法2:5352%袞守I0,3、51,3、42,3、32帀C5(4x )C5(4X )(3) C5 (4x )(3)32 x3323431455 _C5 (4x )(

17、3) C5 (4x )(3)C5 ( 3)9635760 x 4320x1620x 2437)|it12耐(1024x3840 x32 x32x5120x2180x1354x405243T10 -8x 32x说明：记准、记熟二项式(ab)n的展开式，是解答好与二项式定理有关问题的前提条件对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便.例8若将(xy10z)展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为()A 11B 33C. 55D 66分析:(x yz)10看作二项式(x y) z展开.解：我们把x y z看成(x y) z，按二项式展开，共有11 “项”，即101010k10 k k(x y z) (x y) zC10(x y) z k 0这时，由于“和”中各项 z的指数各不相同，因此再将各个二项式(X y)10 k展开,k10 k k不同的乘积C10(x y) z ( k 0,1 ,10)展开后，都不会出现同类项.下面，再分别考虑每一个乘积C10(x y)10k zk ( k 0,1,10)其中每一个乘积展开后的项数由(x y)10 k决定，而且各项中x和y的指数都不相同，也不会出现同类项.故原式展开后的总项数为 11 10 9166,