甘肃、青海、宁夏2019届高三上学期期末联考数学(理)试题(解析版)

1、高三数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12 个小题 , 每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.已知集合，则a. b. c. d. 【答案】 c 【解析】【分析】由题可知，分别求得集合，再根据集合的交集的运算，即可求解，得到答案。【详解】由题可知，集合，则，故选 c。【点睛】本题主要考查了集合的交集运算问题，其中解答中正确求解集合，再根据集合的交集的运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。2.已知，则a. -2 b. 0 c. 1 d. 2 【答案】 b 【解析】【分析】根据复数的运算和复数相等的条件，即可求解得值，进而得

2、到答案。【详解】由题可得，则，故，故选 b。【点睛】本题主要考查了复数的运算和复数相等应用，其中解答中熟记复数的四则运算和复数相等的条件是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。3.函数的一个单调递增区间为a. b. c. d. 【答案】 a 【解析】【分析】根据三角函数的恒等变换，化简，再根三角函数的性质，即可求解。【详解】由题可知. 由，解得，当时，可得，即函数的单调递增区间为，故选 a。【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中根据三角恒等变换的公式正确化简三角函数的解析式，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。4.自

3、古以来“米以食为天”，餐饮业作为我国第三产业中的一个支柱产业，一直在社会发展与人民生活中发挥着重要作用 . 某机构统计了20102016 年餐饮收入的情况，得到下面的条形图，则下面结论中不正确的是a. 2010 2016 年全国餐饮收入逐年增加b. 2016 年全国餐饮收入比2010 年翻了一番以上c. 2010 2016 年全国餐饮收入同比增量最多的是2015 年d. 2010 2016 年全国餐饮收入同比增量超过3000 亿元的年份有3 个【答案】 d 【解析】【分析】由题意，根据给定的条形图中的数据，逐项判定，即可得到答案。【详解】由题意，根据给定的条形图，可知从2010 年2016 年

4、全国餐饮收入是逐年增加的，所以a,b 选项显然正确；其中 20102016 年全国餐饮收入同比增量超过3000 亿元的年份有2015 年和 2016 年，共两年，选项d错误 . 【点睛】本题主要考查了统计图表的实际应用问题，其中解答中正确认识条形图，根据条形图中的数据，进行逐项判定是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题。5.若双曲线的离心率为，则斜率为正的渐近线的斜率为a. b. c. d. 2 【答案】 d 【解析】【分析】由双曲线的离心率为，得，又由的值，进而求解双曲线的渐近线方程，得到答案. 【详解】由题可知，双曲线的离心率为，即，又由，所以双曲线的渐近线方程为

5、，故选 d. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程及其几何性质，合理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 6.设 ， 满足约束条件，则的最大值是a. -4 b. 0 c. 8 d. 12 【答案】 c 【解析】【分析】画出约束条件所表示的可行域，由，即，把直线平移到可行域的a点时，此时目标函数取得最大值，进而求解目标函数的最大值。【详解】画出约束条件所表示的可行域，如图所示，又由，即，把直线平移到可行域的a点时，此时直线在 y 轴上的截距最大，目标函数取得最大值，又由，解得，所以目标函数的最大值为，故选 c。【点

6、睛】本题主要考查了利用线性规划求最大值问题，其中解答中正确画出约束条件所表示的平面区域，结合图象，平移目标函数确定最优解，即可求解目标函数的最大值，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。7.已知为等差数列的前项和，已知，. 若，成等比数列，则a. 15 b. 17 c. 19 d. 21 【答案】 a 【解析】【分析】根据等差数列的通项公式和性质，求得，又由，联立方程组，解得所以，得到数列的通项公式，进而根据，成等比数列，列出方程，即可求解。【详解】由题意，根据等差数列的性质，可知，所以，又，联立方程组所以，所以，又因为，成等比数列，所以，即，解得，故选 a。【点睛】本题主要考查了等差数列的通

7、项公式和性质的应用，以及等比中项公式的应用问题，其中解答中熟记等差数列的通项公式的基本量的运算，以及等比中项公式的应用是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为a. 32 b. 34 c. 36 d. 38 【答案】 d 【解析】【分析】根据题中的三视图可知，该几何体是由一个长、宽均为2，高为 4 的长方体截去一个长、宽均为1，高为 4 的长方体后剩余的部分，利用面积公式即可求解。【详解】根据题中的三视图可知，该几何体是由一个长、宽均为2，高为 4 的长方体截去一个长、宽均为1，高为 4的长方体后剩余的部分，所以该几何体的表面积为，故

8、选 d。【点睛】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，及空间几何体的标间的计算，其中根据给定的几何体的三视图，还原得到空间几何体的结构特征，在利用面积公式准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题。9.下面的程序框图是为了求出满足的最小偶数， 那么在“”和“”两个空白框中，可以分别填入a. 和 是奇数 b. 和 是奇数c. 和 是偶数 d. 和 是偶数【答案】 c 【解析】【分析】根据给定的程序框图，得到程序框图的计算功能和输出结果，即可得到答案。【详解】由题意，程序框图中的计算，可知执行框中应填入，又要求出满足的最小偶数，故判断框中应填入是偶数，故选c。【点睛】本

9、题主要考查了程序框图的计算功能的应用问题，其中解答中根据改定的程序框图，得到该程序计算的功能和输出结果的形式，进行合理判断是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题。10.已知函数，则满足的 的取值范围是a. b. c. d. 【答案】 b 【解析】【分析】由题意，根据函数的解析式，分类讨论，分别求得不等式的解集，即可得到答案. 【详解】由题意，根据函数的解析式可知，当时，解得，当时，所以当时，恒成立；当时，因为，所以=恒成立 , 综上：故选： b 【点睛】 本题主要考查了分段函数的应用问题，根据分段函数的解析式，合理分类讨论是解答的关键，属于基础题。11.在直角坐标系中，抛

10、物线与圆相交于两点，且两点间的距离为，则抛物线的焦点到其准线的距离为a. b. c. d. 【答案】 a 【解析】【分析】由题设抛物线与圆c的个交点为分别为，根据和圆的性质， 求得点坐标为，代入抛物线方程，解得，即抛物线m的焦点到其准线的距离。【详解】由题意，设抛物线与圆的其中一个交点为，设另一个交点为，因为，所以，则，可得点坐标为，代入抛物线方程，得，解得，即抛物线m的焦点到其准线的距离为，故选 a。【点睛】本题主要考查了圆的性质以及抛物线的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中根据圆的性质求得焦点的坐标，再代入抛物线的方程求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。12.如

11、图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱平面，点在线段上，且，则当的面积最小时，线段的长度为a. b. c. 2 d. 【答案】 b 【解析】【分析】由题意，设，则，根据线面垂直的判定定理，证得，从而求得，在中，利用勾股定理，化简得，求得，利用基本不等式，即可求解。【详解】由题意，设，则. 因为平面，平面，所以，又，所以平面，则. 易知，在中，即，化简得. 在中，所以，当且仅当时，取等号，此时. 【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，及利用基本不等式求最值问题，其中解答中根据线面垂直的判定定理和勾股定理，化简求得三角形的面积的表达式，在利用基本不等式求解最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答

12、问题的能力，试题有一定的综合性，属于中档试题。二、填空题（每题5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.设等比数列的前 项和为，若，则_【答案】【解析】【分析】由题意，设等比数列的公比为，根据已知条件，列出方程组，求得的值，利用求和公式，即可求解。【详解】由题意，设等比数列的公比为，因为，即，解得，所以. 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，及前n 项和公式的应用，其中解答中根据等比数列的通项公式，正确求解首项和公比是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。14.在中，点在上，则_【答案】 12 【解析】【分析】根据平面向量的运算法则和平面向量的数量积的计算公式，即

13、可求解，得到答案。【详解】由题意，根据向量的运算法则，可得，所以. 【点睛】本题主要考查了平面向量的运算法则，以及平面向量的数量积的运算，其中解答中正确利用向量的运算法则，以及熟记平面向量的数量积的运算公式是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。15.把， ，四本不同的书分给三位同学，每人至少分到一本，每本书都必须有人分到， 不能同时分给同一个人，则不同的分配方式共有_种（用数字作答） 【答案】 30 【解析】【分析】由题意，首先将四本书分成3 组，其中1 组有两本，剩余2 组各一本，有种分组方法，再将这 3 组对应三个同学，有种方法，则有种情况；再计算两本书分给同一个人的分法

14、数目，若两本书分给同一个人，则剩余的书分给其他两人，有种情况，即可求解答案。【详解】由题意，把四本书分给三位同学，每位同学至少分到一本书的分法数目，首先将四本书分成3 组，其中1 组有两本，剩余2 组各一本，有种分组方法，再将这 3 组对应三个同学，有种方法，则有种情况；再计算两本书分给同一个人的分法数目，若两本书分给同一个人，则剩余的书分给其他两人，有种情况 . 综上可得，两本书不能分给同一个人的不同分法有种. 【点睛】本题主要考查了排列、组合的综合应用，其中解答中认真审题、正确理解题意，合理分类讨论是解答此类问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题。16.设，那么的最小

15、值是 _【答案】 2 【解析】【分析】由题意， 令，原式可化为，其几何意义是动点和的距离的平方， 分别曲解曲线和曲线上的切线方程，根据两平行线之间的距离公式，即可求解。【详解】由题意，令， 原式可化为， 其几何意义是动点和的距离的平方， 又曲线与曲线关于直线对称， 过曲线上的点且平行于直线的切线为，过曲线上的点且平行于直线的切线为，则两切线间的距离为，故的最小值是2. 【点睛】本题主要考查了换元思想，以及曲线的切线方程和两平行线之间的距离公式的应用，其中解答中利用换元法，转化为动点和的距离的平方，分别曲解曲线和曲线的切线方程， 根据两平行线之间的距离公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解

16、答问题的能力，试题综合性强，属于难题。三、 解答题：共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答 . 第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. 17.在中，内角，的对边分别为， ， ，已知. （1）求；（2）已知，的面积为，求的周长 . 【答案】（1） ； （2）【解析】【分析】（1）在中，由正弦定理及题设条件，化简得，即可求解。（2）由题意，根据题设条件，列出方程，求的，得到，即可求解周长。【详解】（1）在中，由正弦定理及已知得，化简得，所以. （2）因为，所以，又的面积为，则，则，所以的周长为. 【点睛】在解有关三角形的题

17、目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到18.如图，在三棱柱中，平面. （1）证明：平面；（2）求二面角的大小 . 【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）由平面，所以，再由勾股定理，证得，利用线面垂直的判定定理，即可得到平面. （2）以为原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解。【详解】（1）证明：因为平面，所以

18、，因为，所以，又，所以平面. （2）以为原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，所以，取，则. 又平面，取平面的法向量，所以. 由图可知，二面角为钝角，所以二面角为. 【点睛】本题考查了线面垂直判定与证明，以及二面角的计算问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理。同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 19.已知甲、乙两名工人在同样条件下每天各生产100 件产品，且每生产1 件正品可获利20 元，生产1 件次品

19、损失30 元，甲，乙两名工人100 天中出现次品件数的情况如表所示. 甲每天生产的次品数/ 件0 1 2 3 4 对应的天数 / 天40 20 20 10 10 乙每天生产的次品数/ 件0 1 2 3 对应的天数 / 天30 25 25 20 （1）将甲每天生产的次品数记为（单位：件），日利润记为（单位：元） ，写出与 的函数关系式；（2）如果将统计的100 天中产生次品量的频率作为概率，记表示甲、乙两名工人1 天中各自日利润不少于1950元的人数之和，求随机变量的分布列和数学期望. 【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）因为甲每天生产的次品数为，所以损失元，则其生产的正品数

20、为，获得的利润为元，即可列出 与 的函数关系式；（2）由题意，可得甲、乙1 天中生产的次品数不超过1 的人数之和的可能取值，分别求得取每个值对应的概率，即可列出分布列，利用公式求解数学期望。【详解】（1）因为甲每天生产的次品数为，所以损失元，则其生产的正品数为，获得的利润为元，因而 与 的函数关系式为，其中，. （2）同理，对于乙来说，. 由，得，所以是甲、乙 1 天中生产的次品数不超过1 的人数之和，所以的可能值为0，1， 2，又甲 1 天中生产的次品数不超过1 的概率为，乙 1 天中生产的次品数不超过1 的概率为，所以，所以随机变量的分布列为0 1 2 所以. 【点睛】本题主要考查了离散型

21、随机变量的分布列及数学期望的求解，对于求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可能取值，当随机变量取这些值时所对应的事件的概率有是多少，计算出概率值后，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望，其中列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题. 20.已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线的斜率为，且原点到直线的距离为. （1）求椭圆的标准方程；（2）若不经过点的直线与椭圆交于， 两点，且与圆相切 . 试探究的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1）； （2）【解析】【分析】（1）由题可知，求得直线的方程，再由

22、点到直线的距离公式，联立求得的值，即可得到椭圆的标准方程；（2）由直线与圆相切，求得，再把直线方程与圆的方程联立，利用根与系数的关系和弦长公式，分别求得，即计算求得三角形的周长。【详解】（1）由题可知，则，直线的方程为，即，所以，解得，又，所以椭圆的标准方程为. （2）因为直线与圆相切，所以，即. 设，联立，得，所以，所以. 又，所以. 因为，同理. 所以，所以的周长是，则的周长为定值. 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程的求解、及直线与椭圆的位置关系的应用问题, 解答此类题目时通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的

23、变形能力不足，导致错解， 能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、 分析问题解决问题的能力等。21.已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，讨论函数的零点个数 . 【答案】（1）； （2）见解析【解析】【分析】（1）由题意，求得函数的导数，求得的值，即可求解曲线在点处的切线方程；（2）求得函数的导数，可得时，函数无零点；当时，利用导数求得函数的单调性和极值，借助图象即可判定函数的零点个数，得到答案。【详解】（1）因为，所以，又，所以曲线在点处的切线方程为. （2），当时，无零点；当时，由，得. 当时，；当时，所以. ，当时，；当时，. 所以当，即时，函数有两个零点；所以当，即时，函数有一个零点；当，即时，函数没有零点 . 综上，当时，函数有两个零点；当时，函数有一个零点；当时，函数没有零点 . 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及函数零点的判定问题，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值 )，解决函数的恒成立与有解问题，