求二次函数解析式的若干类型题1

1、- 1 - 求二次函数解析式的若干类型题1 一一般式（基本式）法或顶点式法确定二次函数解析式例 1：已知一个二次函数的图象过点（1,-1 ） 、 （2,0 ） 、 （3,7 ）三点，求这个函数的解析式解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c，由条件得：7390241cbacbacba，解方程得： a=3, b=-8, c=4，因此所求的二次函数为y=3x2-8x+4 例 2：已知抛物线的顶点为（1，4） ，与 y 轴交点为（ 2，-1 ） ，求抛物线的解析式解：设所求的二次函数为y=a(x-1 ）2+4，由条件知点( 2,-1)在抛物线上，a（ 2-1）2+4=-1, 得 a=-5，故所求的

2、抛物线解析式为 y= 5(x-1)2+4，即： y=-5x2+10 x-1 另解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c，则二次函数的顶点坐标为（abacab44,22），由已知得1224441222cbaabacab，即12416422cbaabacab，把 b=-2a 代入 4a+2b+c=-1 中得， 4a-4a+c=-1 ，解得 c=-1 ，把 b=-2a 和c=-1 同时代入4ac-b2=16a，4a(-1)-(-2a)2=16a, 解得 a=-5（a0 舍去） ，所以 b=10，所求的抛物线解析式为 y=-5x2+10 x-1 练一练：已知一个二次函数的图象经过了点a（1，-5 ）

3、 ，b（-2 ，1） ，c（-3，5） ，求二次函数解析式已知二次函数yax2bxc 的图象的顶点坐标是(2， 10) ，且与直线5y=3x-10 的交点的横坐标为5，求二次函数关系式已知二次函数yax2bxc 的图象过 (1 ，6) ，(2 ，8) 两点，并且以x1 为对称轴，求这个函数的解析式已知二次函数当x1 时，有最大值5，且当 x-1 时， y-3 ，求二次函数的关系式- 2 - 设 y1与 y2都是 x 的二次函数， 且 y1+y2=-x2-8x+4 ， 已知当 x=m时， y1有最小值，同时 y1=y2=-8 ； 当 x=-m 时， y1=y2=8.（1）求 m的值；（2）求这两

4、个二次函数的解析式；（ 3）当 x 为何值时， y1=y2二用二次函数知识解决实际问题, 求实际问题中的最大值或最小值例 1：一座抛物线形状的拱桥，当水位涨到ab时，水面ab的宽度为14 米，如果水位再上升4 米，就到达警戒水位 cd ，这时水面的宽度是10 米 （1）建立如图的直角坐标系，求抛物线的解析式；（2）某日上午7 时，洪水已涨至警戒水位， 并继续以每小时0.5 米的速度上升， 有一艘满载抗洪物资的轮船，轮船露出水面的部分是矩形，且高为 1.5 米，宽为2 米，则轮船必须在几点之前才能通过该拱桥？解： （1）如图 , 由题意可得出：抛物线对称轴为：直线x=7，设解析式为：y=a（x-

5、7 ）2， a（0，y） ，b（14，y） ，c（2，y+4） ，d（12，y+4） ，则，解得： a= -1 6，抛物线的解析式为：y=（ x7）2；（2）轮船露出水面的部分是矩形，且高为1.5 米，宽为2 米，当 qt=2 ，则 t 点坐标为：（8，y） ， y= （8-7 ）2=， d（12，y+4） ， y+4=（12-7 ）2=， cd到 ef的距离为：1.5=2.5 ，水位以每小时0.5 米的速度上升， 2.5 0.5=5（小时） ，轮船必须在7+5=12 点之前才能通过该拱桥例 2：某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽ab=1.6 米，涵洞顶点o到水面的距离为2.4

6、米，建立如图所示的直角坐标系（1）试写出涵洞所在抛物线的解析式；（2）当水面上涨了1.4 米时，求水面的宽解： （1）设抛物线对应的函数表达式是：y=ax2（a0） ，水面宽ab为 1.6 米，涵洞顶点o到水面的距离为 2.4 米，点 b的坐标为（ 0.8 ，-2.4 ） ， - 2.4=a0.82设此抛物线所对应的函数表达式是：y=-x2（2）当水面上涨了1.4 米时，涵洞顶点o到水面的距离为1 米，把 y=-1 代入函数表达式得：-1=-x2, 解得： x=，所以水面的宽为米- 3 - 例 3：某旅行社有客房120 间，每间房的日租金为50 元，每天都客满旅行社装修后要提高租金，经市场调查

7、，如果一间客房的日租金每增加5 元，则客房每天出租后会减少6 间，不考虑其他因素，旅社将每间客房将日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？比装修前日租金总收入增加多少元？解：设每间房的日租金提高x 个 5 元， 日租金总收入为y， 则 y= （50+5x）（1206x） ， 即 y=30 （x5）2+6750，当 x=5 时， ymax=6750，即旅社将每间客房将日租金提高到75 元时，客房日租金的总收入最高，日租金总收入多 675012050=750（元）例 4：某商场将进价为2000 元的冰箱以2400 元售出，平均每天能售出8 台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取

8、适当的降价措施调查表明：这种冰箱的售价每降低50 元，平均每天就能多售出4 台 （1）假设每台冰箱降价x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是y 元，请写出y 与 x 之间的函数表达式； （不要求写自变量的取值范围） （2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800 元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？解： （1）根据题意，得y=（24002000 x） （8+4） ，即 y=x2+24x+3200；（2）由题意，得x2+24x+3200=4800整理，得x2300 x+20000=0解这个方程，得x1=100

9、，x2=200要使百姓得到实惠，取x=200 元每台冰箱应降价200 元；（3）对于 y=x2+24x+3200=（x150）2+5000，当 x=150 时， y最大值=5000（元）所以，每台冰箱的售价降价150 元时，商场的利润最大，最大利润是5000 元练一练：1. 如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面ab的宽为20 米，如果水位上升3 米，则水面cd的宽是 10米 （1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）当水位在正常水位时，有一艘宽为6 米的货船经过这里，船舱上有高出水面3.6 米的长方体货物（货物与货船同宽）问：此船能否顺利通过这座拱桥？2. 有一座抛物线形

10、拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m ，拱顶距离水面4m （1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式；（2）设正常水位时桥下的水深为2m ，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于 18m ，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行3. 某商场将进价为1800 元的电冰箱以每台2400 元售出， 平均每天能售出8 台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施， 商场决定采取适当的降价措施调查表明： 这种冰箱的售价每降价50 元，平均每天就能多售出4 台 （1）设每台冰箱降价x 元，商场每天销售这种冰箱的利润为y 元，求 y 与 x 之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围

11、）（2） 商场想在这种冰箱的销售中每天盈利8000 元，同时又要使顾客得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少元？- 4 - 4. 某商场将进价为4000 元的电视以4400 元售出， 平均每天能售出6 台为了配合国家财政推出的“节能家电补贴政策”的实施，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：这种电视的售价每降价50 元，平均每天就能多售出 3 台 （1） 现设每台电视降价x 元， 商场每天销售这种电视的利润是y 元， 请写出 y 与 x 之间的函数表达式 （不要求写出自变量的取值范围） （2） 每台电视降价多少元时，商场每天销

12、售这种电视的利润最高？最高利润是多少？（3）商场要想在这种电视销售中每天盈利3600 元，同时又要使百姓得到更多实惠，每台电视应降价多少元？根据以上的结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于3600 元？5. 新华商场为迎接家电下乡活动销售某种冰箱，每台进价为2500 元，市场调研表明；当销售价定为2900 元时，平均每天能售出8 台；而当销售价每降低50 元时，平均每天就能多售出4 台 （1）商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到4800 元，每台冰箱的定价应为多少元？平均每天可以售出多少台冰箱？（2）若新华商场总经理预算在此次活动中每天的总利润要达到5200 元，你认为他的

13、预想能实现吗？若能实现，试求每天冰箱的定价为多少元；反之，请说明理由6. 我国积极培育农村消费新增长点，把支持农民建房作为扩大内需的重大举措，采取有效措施推动 “建材下乡” 在“建材下乡”活动中， “便民”水泥代销点销售某种水泥，每吨进价为250 元如果每吨销售价定为290 元时，平均每天可售出16 吨 （1）若代销点采取降低促销的方式，试建立每吨的销售利润y（元）与每吨降低x（元）之间的函数关系式 （2）若每吨售价每降低5 元，则平均每天能多售出4 吨问：每吨水泥的实际售价定为多少元时，每天的销售利润平均可达720 元7. 某经营部每天的固定成本为50 元，其销售的每瓶饮料进价为5 元设销售

14、单价为x 元时， 日均销售量为y 瓶，x 与 y 的关系如下： （1）求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围；（ 2）每瓶饮料的单价定为多少元时，日均毛利润最大？最大利润是多少？（毛利润=售价进价固定成本）（3）每瓶饮料的单价定为多少元时，日均毛利润为430 元？根据此结论请你直接写出销售单价在什么范围内时，日均毛利润不低于430 元- 5 - 8. 某公司对工作五年及以上的员工施行新的绩效考核制度，现拟定工作业绩w=p+1200 ，其中 p的大小与工作数量 x（单位）和工作年限n 有关（不考虑其他因素）已知 p由部分的大小与工作数量x（单位）和工作年限n有关（不考虑其他因

15、素）已知 p由两部分的和组成，一部分与x2成正比，另一部分与0.5nx 成正比，在试行过程中得到了如下两组数据：工作12 年的员工，若其工作数量为50 单位，则其工作业绩为3700 元；工作16年的员工，若其工作数量为80 单位，则其工作业绩为6320 元 （1）试用含x 和 n 的式子表示w ； （ 2）若某员工的工作业绩为4080 元，工作数量为40 单位，求该员工的工作年限；（3）若员工的工作年限为10 年，若要使其工作业绩最高，其工作数量应为多少单位？此时他的工作业绩为多少元？9. 某公司拟用运营指数y 来量化考核司机的工作业绩，运营指数（y）与运输次数（n）和平均速度（x）之间满足关

16、系式为y=ax2+bnx+100，当 n=1，x=30 时， y=190；当 n=2,x=40 时,y=420 （1）用含 x 和 n 的式子表示y；（2）当运输次数定为3 次，求获得最大运营指数时的平均速度；（3）若 n=2，x=40，能否在n 增加 m% （m 0） ，同时 x 减少 m% 的情况下，而y 的值保持不变？若能，求出m的值；若不能，请说明理由10. 为推进节能减排，发展低碳经济， 某公司以25 万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入 100 万元购买生产设备进行该产品的生产加工已知生产这种产品的成本价为每件20 元，经过市场调研发现，该产品的年销售量 y（万件）与销售单价x

17、（元）之间的函数关系式为：y=40 x （1）当销售单价定为28 元时，该产品的年销售量为多少万件？（2）求该公司第一年的年获利w （万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并说明投资的第 1 年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最小亏损是多少？（3）当该公司第一年最小亏损时，第二年，公司决定给希望工程捐款，捐款由两部分组成：一部分为10 万元的固定捐款；另一部分则为每销售一件产品，就抽出1 元钱作为捐款，扣除捐款后，到第二年年底，两年总盈利的最大值是多少？三数形结合确定二次函数的解析式及其相关数据例 1：在平面直角坐标系中，aob 的位置如图所示已知aob=900,a

18、o=bo ，点 a的坐标为（ 3，1） （1）求点 b的坐标（ 2）求过 a， o ，b三点的抛物线的解析式（3）设点 b关于抛物线的对称轴的对称点为bl，连接ab1，求 tan ab1b的值- 6 - 解： （1）作 ac x轴，bd x轴，垂足分别为c，d，则aco= odb=90 aoc+ oac=90 又 aob=900，aoc+ bod=900 oac= bod 又 ao=bo， aco odb od=ac=1，db=oc=3 点 b的坐标为（1，3）（2）抛物线过原点，可设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx将 a（ 3， 1） ，b（ 1，3）代入，得，解得 a= ，b=，故所求

19、抛物线的解析式为y= x2+x （3）抛物线 y=x2+x 的对称轴l 的方程是x=点 b关于抛物线的对称轴l 的对称点为b1（，3） 在 ab1b中，作 ac1bbl于 c1，则 c1（ 3，3） ，blc1=35，ac1=2tan ab1b=103 例 2：如图，在直角坐标系中，a的半径为4，a的坐标为（ 2，0） ，a 与 x 轴交于 e、f 两点，与 y 轴交于 c、d两点，过c点作a的切线 bc交 x 轴于 b （1）求直线bc的解析式；（ 2）若一抛物线与x 轴的交点恰为a与 x 轴的两个交点，且抛物线的顶点在直线上y=x+2上，求此抛物线的解析式；（3）试判断点c是否在抛物线上，

20、并说明理由解： （1）连接 ac ，因为 bc为a的切线，则ac=4 ，oa=2 ，acb=90 ，又因为 aoc=90 ，所以 oca=30 ，a=60 ， b=30度所以 oc=oa?tan60 =2，ob=oc?cot30 =2=6，所以 b （ 6，0） ，c （0，2） 设直线 bc的解析式为y=kx+2，则 0=6k+2解得 k=，所以 y=x+2; （2）因为 ae=4 ，oa=2 ，所以 oe=2 ，of=6 ，则 e（ 2，0） ，f（6，0） 设抛物线的解析式是y=（9x+2） （x6） ，则 y=a （x2）216a， 所以顶点坐标是 （2， 16a） 因为 （2， 16

21、a） 在直线 y=x+2上， 所以 16a=+2，a=所以 y=x2+x+2; （3）当 x=0 时， y=2故点 c在抛物线上- 7 - 例 3：某跳水运动员进行10 米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点 o的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面3210米，入水处距池边的距离为4 米，运动员在距水面高度为5 米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误（1）求这条抛物线的解析式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势

22、时，距池边的水平距离为3.6 米，问此次跳水会不会失误？并通过计算解： （1）在给定的直角坐标系下，设最高点为a，入水点为b，抛物线的解析式为y=ax2+bx+c由题意，知o （0，0） ，b（2， 10） ，且顶点a的纵坐标为23, 1024324402cbaabacc, 解得0310625cba或0223cba, 抛物线对称轴在 y 轴右侧，ab20，又抛物线开口向下，a0，从而 b0，故有 a=-25 6,b=10 3,c=0, 抛物线的解析式为y=625x2+310 x （2）当运动员在空中距池边的水平距离为533米时，即x=533-2=531时， y=625(58)2+31058=3

23、16，此时运动员距水面的高为10316=3145，因此，此次跳水会失误练一练：1. 某市人民广场上要建造一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子op ，柱子顶端p处装上喷头， 由 p处向外喷出的水流（在各个方向上）沿形状相同的抛物线路径落下。若已知op 3 米，喷出的水流的最高点a距水平面的高度是4 米，离柱子op的距离为1 米.（ 1）求这条抛物线的解析式；（ 2）若不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外- 8 - 2. 如图，一位运动员在距篮下4 米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5 米时，达到最大高度3.5 米，然后准确落入篮

24、圈. 已知篮圈中心到地面的距离为3.05 米.(1) 建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式；(2) 该运动员身高1.8 米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25 米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少3. 如图，在平面直角坐标系xoy中，a的半径为3，a点的坐标为（ 2， 0） ，c、 e分别是a与 y 轴、 x 轴的交点，过 c点作a的切线 bc交 x 轴于点 b （1）求直线 bc的解析式；（ 2）若抛物线y=ax2+bx+c 经过 b、a两点，且顶点在直线bc上，求此抛物线的顶点的坐标； （3）在 x 轴上是否存在一点p，使pce和cbe相似？若存在，请你求出p点的坐标；若不

25、存在，请说明理由4. 施工队要修建一个横断面为抛物线的公路桥洞，其高度为6 米，宽度om为 12 米现以 o点为原点， om所在直线为x 轴建立直角坐标系如图. （1）求这条抛物线的解析式；（2）若要搭建一个矩形支架ad-dc-cb （由三段组成）使c、d在抛物线上， a、b在地面 om 上，则这个支架总长l 的最大值是多少米？5. 如图，在平面直角坐标系内，o为原点， 点 a的坐标为 （3，0） ，经过 a、o两点作d交 y 轴的负半轴于点b且点 o为半圆的中点（1）求 b点的坐标；（2）若 c点的坐标为（1，0） ，求经过a、b、c三点的抛物线的解析式；（3）在（ 2）的条件下，过b点作d 的切线交x 轴与点 e ，试判断抛物线的顶点时是否在直线be上，并说明理由- 9 - 6. 如图所示的直角坐标系中，以点a （3，0）为圆心，以23为半径的圆与x 轴交于