七年级下数学因式分解讲义

1、定义：把一个多项式化成儿个整代的积的形式 因式分解的意义-与整式乘法的关系l互逆提取公因式法：ma + diib + me = /(& + z? + c)因式分解的主耍方法闻方差公式:臼2 一护=（臼+ 朱 _力）因式分解公式法-完全平方公式：（a± bj =± 2ab + / -因式分解的一-般步骤：先看能否用提取公因式，再看能否用公式法匚因式分解的应用4.1因式分解知识点：一般地，把一个多项式化成儿个整式的积的形式,叫做因式分解，也叫分解因式。考点:判断因式分解。关键：1、等式右边是几个整式乘积的形式2、是否分解彻底；3、用整式乘法来检验因式分 解的正确性。例1

2、：下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（）a. / 一 2/ + 3 =（x -+ 2 b. x2y2 + 2xy - 1 = （xy + 一 1）c. 3t2/ - xy = y（32 一 ）d. - 42 + 9y2 = （一+ 3y）例2：检验卜列因式分解是否正确.（1）2a2 - 1 =（2a -+ 1） t3 - 9x =+ 3）（a- - 3）（3）m - 11/77 + 24 = （/ + 8）（/77 + 3）（4）2x2 + xy - y2 =（2x 一 yx + y）考点：已知因式或其中一个因式，求原多项式的系数。关键：1、将因式的乘积用整式乘法做化简，再与原多项 式一

3、项一项对比。2、若只知一个因式，则将另一个因式设为类似mxn的形式，再与己知因式相乘做化简，最后与 原多项式对比。例1：若（/ - 3加-4）是多项式/ 一处+ 12分解因式的结果，则臼的值是.例2：若（x - 3）是多项式严一劲+ 12分解因式的结果，则仪的值是例3：若g - 3）是多项式/ 一 7“ + /分解因式的结果，则日的值是.例4：甲、乙两名同学分解因式/ +站+方时，甲看错了方，分解结果为（x + 2）（x + 4）；乙看错了臼，分解结 果为（x + 1）（/ + 9）,则 a - b = 考点：将考点反过來，己知原多项式和它的因式分解的其屮一个因式，求另一个因式.例 1： 一

4、lab 一 laabx + 49az?y = 一7日力()，括号里应填()a. 一 1 + 2x + 7y b. - 1 -+ 7y c. 1 - 2/ - 7y d. 1 + 2/ - 7y例2：已知将严+ * - 12因式分解得到的一个因式是仗-3),另一个因式是.考点：利用因式分解简单计算.例 1： (1) 2012 - 201 (2) 652 一 3524.2提取公因式法知识点一：公因式1. 一般地，一个多项式中每一项都含有的相同的因式,叫做这个多项式各项的公因式.2. 多项式各项的公因式应是各项系数的最大公约数与各项都含冇的相同了母的最低次幕的积.知识点二：提取公因式法3. 如果一个

5、多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行因式分解,这种方法叫做提取公因式法。4. 提取公因式法的一般步骤：确定公因式參顿式的首项系数为负时，把“”提出用公罟式去除这个多项式,将所得的商少公因式写成乘积的形式。5. 添括号法：括号前面是“ + ”，括号里的各项都不变号;括号前面是“”，括号里的各项都变号.(与去括号一样)考点：寻找公因式.关键：公因式可以是单项式，也可以是多项式.例1：写出卜-列各式的公因式(l)3/zza2 一 6加力(2)3(/ - y)3 + 27(/ - yj + 6(y 一 %)(3) 25才方$ + 15a2/? 一 5丹3(4)- x2 xy - x2z

6、考点：用提取公因式法因式分解.关键：1、多项式的某一项等于公因式时，提取z后补1；2、公因式是负因式时，用添括号法则;3、公因式可以是单项式，也可以是多项式.例 1：分解因式: 4/3 - 6/(2) a3/?3 + a2/?2 一 ab (3) x(x - 3)+ 3(3 一 x)(4) 6a(b - af - 2(a 一屮-対+ x® (6)- an,b2b1+i + a/il+1b2m考点：添括号法则的应用.例1:当刀为时， b) =(/? )；当/?为时，(日一力)=(b (n为整数)考点：提取公因式法的应川.例 1：计算(1)5392 - 439 x 539(2)2003

7、x 99 - 27 x 11例2：若护+曰=0,求2/ + 2臼+ 2015的值.例3:己知/ +臼+ 1 = 0,求1 +日+盘2+£3+$8的值.4.3用乘法公式分解因式知识点一：曰2 力2 =(日*朱_亦两个数的平方并,等于这两个数的和与羌的积.知识点二：a1 ± 2ab + b2 = (a ±方丫，两个数的平方和,加上(减去)这两个数的和(差)，等于这两个数和(差)的平方.考点：用乘法公式因式分解，将乘法公式与提取公因式法结合运用，运用因式分解做多项式与多项式的除法. 例1: (1)下列各式中，不能用平方差公式分解的是()a. azb2 - 1 b. 4-

8、0. 25/c.- a2 - b2 d.- %2 + 1(2) 下列各式，能用完全平方公式分解的是() 严 一 + 46严 + 3/ + 1 4严-仃 + 1 / + 4xy +9亍 一 20xy + 16y2a.b.c.®d.若/ - kx + 9是一个完全平方式，则k=.例2：分解因式(1)<23 一 4日=(2)*' - 9刃2 =16(曰+ bj - 9(臼-曲=严-8% + 16 = (5)护+臼方+丄=4(5) - a2 + ab - 4/?2 = (6)16%2 + 24% + 9 =例3：利用因式分解计算：(1)972 + 194 + 1(2)73 x

9、1452 一 1052 x 73(3)1. 2222 x 9 - 1. 3332 x 4例4：因式分解 16(日 + 亦9(臼-听(2)2/ - 8刃"3)2日2 _ 1(4)(x 一 yj - x + y (5)8(2 + 1) - 16盘(6)(/ - l)(x - 3)+ 1(7)-+ 3y5 (8) ci1 + 1一 4日$(9)严 + 4 4x(10) 一 6站 + 9臼(11) 164 一 12x + 81(12)( + 64 - 16(% + y)总结方法：一般地，能提取公因式的，先提前公因式，再看能否用乘法公式，最后检查是否已分解到不能再分解.因式分解综合应用：例 1

10、：若 m + n = &肋=12 ,则肋 2 + m2n =.例 2：若 rn + n = &肋=12 ,则 x'y - 2x2y2 + xy =.例3：我们知道护+ 6日+ 9二 +，但是护+ 6日+ 8不能写成完全平方式，这时我们通常这样的方法:白2 + 6日+ 8 =曰2 + 6自+ 9 _ 9 + 8 =(日+ 一 1 =(日+ 2如+ 4)仿照此法，分解因式：(1)矿 + 3 <3 28(2) 6/ 27例4：己知+ y2 - 4 + 6y + 13 = 0 ,求屮的值.例 5：若严 一 xy + 5y2_2y + l = 0,求 x + y 的值.例5

11、： aabc的三边长分别为a, b, c ,且曰+ 2ab = c + 2bc，请判断zabc是什么三角形.例6： aabc的三边长分别为a, b, c ,且才+ c? -日/? 一比一日c = 0 ,判断aabc是什么三角形.例7：某水渠的横截面是梯形(如图所示)，用含a,b的代数式表示横截而的而积，并计算当日=1.5,/? = 0.5时,a横截血的血积.例&某单位在修剪一个边长自=84c勿的正方形广场时，欲将其四个角均留出一个边长为b = 8c的正方形修建 花坛，其余地方种草，请倪用最简单的方法计算草坪的血积是多少？例 9：分解因式:8日3方彳 一 12ab3c + 6a3z?2(

12、2)a2(a 一方)+ b2(b 一 a)(3) 3/ 3/ 12 4- 12/3例 10：计算：(孑 一 4)一 (日 + 2)(2)(/ + xy + 4y2)十( + 2y)拓展：分组分解法：把多项式分成若干组，每组分别进行因式分解，再从总体上因式分解. am + an bin bn = ain + 刀)+ bin + 刀)=(臼 + bin + /?)例 1: (l)a2 + ay - b2 + by (2)2x2 + 2xy - 3% - 3y (3)e?2 - b2 + 4臼一 4b(4) 4 _ y2 _ 8yz 一 16z2a dbxc 十字相乘法：常见的一元二次项形式：严+(q + pq = x + px + q)通用形式：mx1 + px + n = ax + dbx + c) 5 =