2020-2021学年高考总复习数学(理)阶段滚动月考卷(六)及答案解析

1、阶段滚动月考卷 （六 ）算法、统计、计数原理、二项式定理、概率（时间:120分钟 分值:150 分）一、选择题 （本大题共 10小题,每小题 5分,共 50分.在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 ）1- 2i1. （2016·济南模拟 ）（滚动单独考查 ）若 z=1-i2i（i 为虚数单位 ）,则 z 的共轭复数是 （ ）A.-2-iB.2-iC.2+iD.-2+i412. （滚动交汇考查 ）已知命题 p:? x>0,x+x4;命题 q:? x0（0,+）,2x0 =2.则下列判断x2正确的是 （ ）A. p是假命题C.p（ q）是真命题B. q是真命题D.（

2、p）q 是真命题3. （2016·青岛模拟 ）在“中学生歌手大赛”比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶图如图所示,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为 （ ）A.5和 1.6B.85和 1.6C. 85和 0.4 D.5 和 0.44. 已知 bxn+1=a0+a1(x-1)+a2(x-1) 2+an(x-1) n对任意的 x R恒成立 ,且 a1=18,a2=72, 则 b 的值为 ( )A.1 B.2 C. D.-225. 某餐厅的原料费支出 x与销售额 y(单位 :万元)之间有如下数据 ,根据表中提供的 全部数据 ,用最小二乘法得出 y 与 x 的线

3、性回归方程为 =8.5x+7.5,则表中的 m 的A.50 B.55值为 ( )x24568y2535m5575C.60 D.656. (滚动单独考查 )函数 f(x)=(|x|+cosx)sinx的大致图象为 ( )7. 已知 ABC的内角 A,B,C对的边分别为 a,b,c,sinA+2sinB=2sinC,b=3当, 内角 C最大时,ABC的面积等于( )9+33 A.46+32 B.4326- 2 C.4D.36- 32D. 48. (滚动单独考查 )关于函数 f(x)=2(sinx-cosx)cosx 的四个结论 :P1:最大值为 2;P2:把 函 数 g(x)= 2 sin2x-1

4、 的 图 象 向 右 平 移 个 单 位 后 可 得 到 函 数 4f(x)=2(sinx-cosx)cosx 的图象 ;711 P3:单调递增区间为 k + ,k + ,kZ;88kP4:图象的对称中心为 (2 + 8 ,- 1) ,kZ.其中正确的结论有 ( )A.1 个B.2个C.3个D.4个9. （2016·菏泽模拟 ）某班要从 A,B,C,D,E五人中选出三人担任班委中三种不同的职 务 ,则上届任职的 A,B,C三人都不连任原职务的方法种数为（ ）A.30B.32C.36D.48x+10. （2016· 兰州模拟 ）设 点（a,b）是 区域x>y>y=

5、ax2-4bx+1 在区间 1,+）上是增函数的概率为y-0,04 0,内的随机点,函数A.13B.3C.4D.12二、填空题（本大题共 5小题,每小题 5分,共 25分.请把正确答案填在题中横线上 ）11. 某校对高三年级 1600 名男女学生的视力状况进行调查 ,现用分层抽样的方法抽取一个容量是 200 的样本,已知样本中女生比男生少 10 人,则该校高三年级的女生人数是人.12. 已知 O,A,B三地在同一水平面内 ,A地在 O地正东方向 2km 处,B 地在 O地正北 方向 2km处,某测绘队员在 A,B之间的直线公路上任选一点 C作为测绘点 ,用测绘 仪进行测绘 ,O地为一磁场 ,距

6、离其不超过 3km 的范围内会对测绘仪等电子仪器 形成干扰,使测量结果不准确,则该测绘队员能够得到准确数据的概率 是.13. 执行如图所示的程序框图 ,输出的 k 值为14. (滚动交汇考查 )(2016·武汉模拟 )设二次函数 f(x)=ax 预计在今后的销售中 ,销量与单价仍然服从 (1)中的关系 ,且该产品的成本是 4-4x+c(xR)的值域为 0,+ 19 ),则 1 + 9 的最大值为 .c+1 a+915. (2016·太原模拟 )在正方形 ABCD中,点 E为 AB的中点,点 P 是以点 A为圆心、 AB 为半径的圆弧 BD上的任意一点 .(1) 若向正方形

7、ABCD内撒一枚幸运小花朵 ,则小花朵落在扇形 ABD 内的概率 为.(2) 设PAB=,向量AC=DE+AP(,R),若 -=1,则=.三、解答题 (本大题共 6 小题,共 75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程 或演算步骤 )16. (12 分 )某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价 ,将该产品按事先拟定的 价格进行试销 ,得到如下数据 :单价 x( 元)88.28.48.68.89销量 y( 件)908483807568(1)求回归直线方程 = x+ ,其中 =-20, =y?- x?.元/件,为使工厂获得最大利润 ,该产品的单价应定为多少元 ?（利润=销售收入 - 成 本）1

8、7. （12分）（滚动单独考查 ）如图 1,在边长为 2的正方形 ABCD中,点 E是边 AB的中 点.将ADE沿 DE折起使得平面 ADE平面 BCDE如, 图 2,点 F 是折叠后 AC的中 点.（1）求证 :BF平面 ADE.（2）求二面角 E-AB-D 的平面角的余弦值 .18.（12分）（滚动单独考查 ）已知数列an的前 n项和为 Sn,a2=2,Sn=n（an2+ 1）（1）证明:数列an+1-a n是等差数列 ,并求出数列 an的通项公式 .k（2）设 bn=（2an+1）（2an- 1）,数列bn的前 n 项和为 Tn,求使不等式 Tn>5k7对一切 nN*都 成立的正整

9、数 k 的最大值 .19. （12分）（2016·淄博模拟 ）某单位要从甲、乙、丙、丁四支球队中选拔两支参加 上级比赛 ,选拔赛采用单循环制 （即每两个队比赛一场 ）,并规定积分前两名的队出 线 ,其中胜一场积 3 分 ,平一场积 1 分 ,负一场积 0 分.在经过三场比赛后 ,目前的积 分状况如下 :甲队积 7 分,乙队积 1 分,丙和丁队各积 0 分 .根据以往的比赛情况统计 :乙队胜的概率乙队平的概率乙队负的概率与丙队比赛111442与丁队比赛111333注 :各队之间比赛结果相互独立 .(1) 选拔赛结束 ,求乙队积 4 分的概率 .(2) 设随机变量 X为选拔赛结束后乙队的

10、积分 ,求随机变量 X 的分布列与数学期望 .(3) 在目前的积分情况下 ,M 同学认为 :乙队至少积 4 分才能确保出线 ,N 同学认为 : 乙队至少积 5分才能确保出线 .你认为谁的观点对 ?或是两者都不对 ?(直接写结果 , 不需证明 )20. (13 分)(滚动单独考查 )已知抛物线 C:x2=2py(p>0)的焦点为 F,抛物线上一点 A的 横坐标为 x1(x1>0),过点 A作抛物线 C的切线 l1交 x 轴于点 D,交 y 轴于点 Q,交直线 l:y=2p于点 M,当 |FD|=2时 , AFD=60°.(1) 求证:AFQ为等腰三角形 ,并求抛物线 C的方

11、程 .(2) 若 B 位于 y 轴左侧的抛物线 C 上,过点 B 作抛物线 C的切线 l2交直线 l1于点 P, 交直线 l 于点 N,求 PMN面积的最小值 ,并求取到最小值时的 x1的值 .21. (14 分)(滚动单独考查 )设函数 f(x)=x2+mln(x+1).(1) 若函数 f(x)是定义域上的单调函数 ,求实数 m 的取值范围 .(2) 若 m=-1,试比较当 x(0,+)时,f(x)与 x3的大小 .(3)证明:对任意的正整数 n,不等式 e0+e-1×4+e-2×9+e(1 n)n2 <n( n2+ 3)成立.答案解析1- 2i1. D z= =-

12、2-i, 故z=-2+i.i442. C 因为当 x>0 时,x+42x·4=4,当且仅当 x=2 时等号成立 ,所以 p 是真命题,xx当 x>0时,2x0>1,所以 q是假命题 ,所以p ( q)是真命题 ,(p) q 是假命题 .3. B 去 掉一个 最高分和 一个 最低 分 后,所 剩数 据的 平均 数的个位 数为4+4+4+6+7=5,所以平均数为 85,方差为(84- 85)2×3+( 86- 85)2+(87- 85)2=1.6. 55【加固训练】 一位篮球运动员在最近的 5 场比赛中得分的茎叶图如图 ,则他在这5 场比赛中得分的方差为.1【

13、解析】 5场比赛中得分的平均值为 10,所以方差为 1(-2) 2+(-1)2+02+12+22=2.5答案:24. B 因为 bxn+1=b1+(x-1) n+1=a0+a1(x-1)+a2(x-1) 2+an(x-1) n,且 a1=18,a2=72,所以 bC1n=18,bCn2=72,解得 b=2,n=9.2+4+5+6+8 25+35+m+55+75 m5.C 由给定的表格可知;又回归直线x?=2+4+5+6+8=5,y?=25+35+m+55+75=38+m5y$ =8.5x+7.5过点 (x?,y?),故 38+ 5 =8.5×5+7.5,所以 m=60.6. 【解题提

14、示】 根据函数的奇偶性及函数值在 (0,2) 的符号来判断 .A 函数 f(x) 的定义域为 R,而且 f(-x)=|-x|+cos(-x)sin(-x)=-(|x|+cosx)sinx=-f(x), 所以函数 f(x)为奇函数 ,故排除 B,D两项 ;a+32又当 x(0, 2 ) 时,cosx>0,sinx>0,|x|>0所, 以 f(x)>0,故排除 C.综上 ,选 A.7. A 根据正弦定理及 sinA+2sinB=2sinC得 a+2b=2c,c=cosC=2 2a2+ 62a+ 18a2+b2- c2 a2+9-2ab4=a+3 4- 26a8 4a 43

15、2 6-2,当且仅当 a=3,即8 4a4a 4 4a=6时 ,等号成立 ,此时 sinC=6+2,SABC=1absinC=1×6×3×6+24 2 2 49+33加固训练】 (滚动单独考查 )在 ABC 中 , 角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若3c=1,B=45°,cosA= ,则 b 等于55A.310B.75C.7D.5214324( 5) =5,+53sin45°=7210bcb c 1 5 由正弦定理 sibnB=sicnC,得 b=712×sin45°=7.108. B 因为 f(x)=2sinx

16、cosx-2cos2x=sin2x-cos2x-1=2sin( 2x - )-1, 所以最大值为2-1, 所以 P1错误 .将 g(x)=2sin2x-1 的图象向右平移 4 个单位后得到 h(x)=2sin2( x - 4 )-1=2sin( 2x - 2)-1 的图象,所以 P2错误. 3 由- 2 +2k 2x- 4 2 +2k,k Z,解得- 8 +kx 8 +k ,k Z,即增区间为 3 - 8 + k, 8 + k ,kZ,所以 P3正确 .k 由 2x- =k ,k Z,得 x= + ,k Z,42 8k所以图象的对称中心为 (k + ,- 1) ,kZ,所以 P4正确,所以选

17、B.289. B 由题意可分三种情况 ,A,B,C三人都入选 ,则只有 2 种方法 ;若 A,B,C三人 只有两人入选 ,则一共有 C32×C12×3=18种方法 ;若 A,B,C 三人只有一人入选 ,则一共有 C13×C22×C21 ×A22=12 种方法 .所以一共有 2+18+12=32种方法.1【加固训练】 (2015·沈阳模拟 )如图所示 ,积木拼盘由 A,B,C,D,E五块积木组成 ,若 每块积木都要涂一种颜色 ,且为了体现拼盘的特色 ,相邻的区域需涂不同的颜色 (如:A与B为相邻区域 ,A与D为不相邻区域 ),现有五种不

18、同的颜色可供挑选 ,则可D 先涂 A,则 A有C15=5种涂法,再涂 B,因为 B与 A相邻,所以 B的颜色只要与 A1 1 1 1不同即可 ,有C41=4种涂法,同理 C有C13=3种涂法 ,D有C41=4种涂法,E有C14=4种涂法 ,由分步乘法计数原理可知 ,可组成的不同的积木拼盘的种数为 5×4×3×4×4=960.4 0,表示的平面区域的面积为 8,10. A 由题意可知 ,a>0,且 b>0.由函数 y=ax2-4bx+1 在区间 1,+)上是增函数 ,得a > 0, a> 0,x+ y-2b即a> 0, 易知不

19、等式组 x > 0,a> 0, b > 0,2b a, a+ b- 4 0表示的平面区域的a 1, 2b a, y> 08x = ,解方程组 x+ y = 4, 得43 故不等式组 x - 2y = 0, y = 4 ,38 面积为 9 1不满足条件 S<-1,S=lg19+lg191=lg111,k=11;×4×4=8,所以所求概率为 3=12 3 3 8 311. 【解析】 设样本中女生有 x 人,则男生有 (x+10)人 ,所以 x+x+10=200得, x=95,设 该校高三年级的女生有 y人,由分层抽样的定义可知 16y00=2905

20、0,解得 y=760.答案:76012. 【解析】在等腰直角三角形 OAB中,以 O为圆心,3为半径的圆截 AB所得的22线段长为 2,而|AB|=22,故该测绘队员能够得到准确数据的概率是 1- 222=1- 22. 答案:1- 2213. 【解析】程序运行的过程 :S=0,k=1,1 不满足条件 S<-1,S=lg31,k=3;131 不满足条件 S<-1,S=lg3+lg5=lg5,k=5;151 不满足条件 S<-1,S=lg51+lg57=lg71,k=7;171 不满足条件 S<-1,S=lg7+lg9=lg9,k=9;满足条件 S<-1,退出循环 ,

21、输出 k 的值为 11. 答案:1114. 【解析】 由题意知 a>0,=16-4ac=0,4所以 c=4>0,a1919a9 + = + = + c+1 a+9 4+1 a+9 a+4 a+9 aa2+ 18a+ 36a2+ 13a+ 36=1+a25a+ 13a+ 36=1+a+3a6+13a因为 a>0,所以 a+3612,当且仅当 a=6时取等号 . a所以19+c+1 a+91+ 5 =612+13 5答案:6515. 【解析】 (1)所求概率为扇形 ABD的面积与正方形 ABCD的面积的比值 ,设正方12 a 形边长为 a,则所求概率为 P=4 2 = ,故填 .

22、a2 4 4(2) 不妨设正方形边长为 1,以点 A 为坐标原点 ,AB,AD所在直线为 x 轴 ,y 轴建立平 12sin - 2cos =sin + 2cos 3=sin + 2cos 面直角坐标系 ,则DE=( 2 ,- 1) ,AC=(1,1),AP=(cos,sin).由AC=DE+AP,得1 + cos = 1, 2解得 - + sin = 1,由 - =1,求得 sin=1,从而 =2 .故填2 .答案 :(1)4 (2)2116. 【解析】 (1)由于 x?= (x1+x2+x3+x4+x5+x6)=8.5,61y?= (y1+y2+y3+y4+y5+y6)=80.6所以 =y

23、?- b$x?=80+20×8.5=250.从而回归直线方程为 y$=-20x+250.(2)设工厂获得的利润为 L 元, 依题意得L=x(-20x+250)-4(-20x+250)233 2x- 4) +361.25.=-20x2+330x-1000=-20(当且仅当 x=8.25时,L 取得最大值 ,故当单价定为 8.25 元时 ,工厂可获得最大利润17. 【解析】 (1)取 AD 的中点 G,连接 EG,FG,因为点 F为 AC的中点 ,所以 FG 12CD,又 BE 21CD,所以 FG BE,从而四边形 EBFG是平行四边形 ,所以 BFEG,又 BF? 平面 ADE,EG

24、? 平面 ADE, 所以 BF平面 ADE.（2）如图所示以点 E 为坐标原点 ,建立空间直角坐标系 ,1 2 2则 A(- 5 ,5 , 5) ,B(1,0,0),D(-1,2,0),设平面 EAB的法向量为 n1=(x1,y1,z1), uuur则 n1gEuuAur 0,?n1gEB 025y11- x1 + - 5 1+x1 = 0,2z1 = 0, 5解得一个法向量为n1=(0,5,-1).设平面 ABD的法向量为 n2=(x2,y2,z2), uuur则 n2gBuuAur 0,?n 2gBD 025y2+6- x2 + - 5 2+- 2x2 + 2y2 = 0,25z2 = 0

25、,解得一个法向量为 n2=（5,5,2）.因为 cos<n1,n2>= n1gn2 =2114|n1|n2|所以二面角 E-AB-D 的平面角的余弦值为 2114【加固训练】 （2016·聊城模拟 ）已知几何体 A-BCED的三视图如图所示 ,其中俯视 图和侧（左）视图都是腰长为 4 的等腰直角三角形 ,正（主）视图为直角梯形 .(1)求异面直线 DE与AB所成角的余弦值 .(2)求二面角 A-ED-B 的正弦值 .(3) 求此几何体的体积 V的大小 .【解析】 方法一:(1)取 EC的中点 F,连接 BF,AF,则 BFDE,所以 FBA或其补角即为异面直线 DE与 A

26、B所成的角.在 BAF中,AB=42,BF=AF=2 5,所以 cos ABF=105所以异面直线 DE与 AB所成角的余弦值为(2)AC平面 BCE过, C 作 CGDE交 DE于 G,连接 AG. 可得 DE平面 ACG从, 而 AG DE.所以 AGC为二面角 A-ED-B 的平面角.在 ACG中,ACG=90°,AC=4,CG= ,5所以 tanAGC=25,所以 sinAGC=35, 5所以二面角 A-ED-B 的正弦值为 35.31(3) V=3·SBCED·AC=16,3所以几何体的体积 V 为 16.方法二(坐标法):(1)以 C为原点 ,以 CA

27、,CB,CE所在直线为 x,y,z轴建立空间直角坐 标系,则 A(4,0,0),B(0,4,0),D(0,4,2),E(0,0,4),DE=(0,-4,2),AB=(-4,4,0), 所以 cos<DE,AB>=- 10 5所以异面直线 DE与 AB所成的角的余弦值为 105(2)平面 BDE的一个法向量为 CA=(4,0,0),设平面 ADE的一个法向量为 n=(x,y,z), nAD,nDE,AD=(-4,4,2),DE=(0,-4,2),所以 n·AD=0,n· DE=0,从而 -4x+4y+2z=0,-4y+2z=0,2令 y=1,则 n=(2,1,2)

28、,cos<CA,n>=3,3所以二面角 A-ED-B 的正弦值为 35. 31(3) V=3·SBCED·AC=16,3所以几何体的体积 V 为 16.18. 【解析】 (1)由题意知 ,当 n=1 时,a1=S1=a12+1,所以 a1=1. 又 a2=2,所以 a2-a 1=1.当 n2时,an=Sn-Sn-1=n(an+1)-(n- 1)(an- 1+1)n n n-1 2 21=2 nan - (n- 1)an- 1+ 1,1故 an+1=2(n+1)an+1-na n+1,1则 an+1-a n=2(n+1)an+1-2na n +(n-1)an-1

29、,则 (n-1)a n+1-2(n-1)a n+(n-1)a n-1 =0, 即 an+1-2a n+an-1 =0,an+1-a n=an-a n-1 , 则数列an+1-a n是首项为 1,公差为 0的等差数列 , 从而 an-an-1=1(n2),则数列an是首项为 1,公差为 1的等差数列 .12n+1)由于 Tn+1-T n= n+ * 1 n所以 an=n(nN* ). 所以正整数 k 的最大值为 18.19. 【解析】 (1)设乙队胜、平、负丙队分别为事件 A1、A2、A3, 乙队胜、平、负丁队分别为事件 B1、B2、 B3.11则 P(A1)=P(A2)=41,P(A3)=21

30、;1 P(B1)=P(B2)=P(B3)=31;设乙队最后积 4 分为事件 C,11111则 P(C)=P(A1)P(B3)+P(B1)P(A3)=14×13+12×31=14.(2)随机变量 X 的可能值为 :7,5,4,3,2,1.1 1 1P(X=7)=P(A1)P(B1)=14×13=112;11111P(X=5)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)=4×3+4×3=6;11111P(X=4)=P(A1)P(B3)+P(A3)P(B1)=4×3+2×3=4;1 1 1P(X=3)=P(A2)P(B2)=14&

31、#215;13=112; P(X=2)=P(A2)P(B3)+P(A3)P(B2)=14×13+12×31=14;111P(X=1)=P(A3)P(B3)=12×31=61;随机变量 X 的分布列为 :X754321111111P126412461 1 1 1 1 1 10 E(X)=7×112+5×16+4×14+3×112+2×14+1×16=130.(3) N 同学的观点对 ,乙队至少积 5分才能确保出线 .x2x x220. 【解析】 (1)设 A(x1,2p1),则 A 处的切线方程为 l1:y

32、=p1x- 21p,2pp 2pxx2p所以 D( 21 ,0),Q(0,- 2p1) ,F( 0, 2) .所以|AF|p x2所以 |FQ|=2p+2x1p=|AF|,即 AFQ为等腰三角形 .又 D为线段 AQ的中点 ,所以 FDAQ, 又 AFD=60°,|FD|=2,所以|AF|=4,p + x21 = 4,得 2 + 2p = 4, 所以 p=2,即抛物线 C的方程为 x2=4y. x12 + p2 = 16,(2)设 B(x2,y2)(x2<0),则 B 处的切线方程为x x2=y2x2y=由x1x-x1 ,2x-x42,得P(x1+2x2,x14x2),x22

33、4y=x2 x-24由y=x21x-x21x 24 ,得 M( x21 + x2 ,1),y=1同理 N(x2 + 2 ,1)2 x2所以面积 S=12 ( x21 + x2 - x22 - x2) ·(1 - x14x2)=(x2- x116)(xx1xx2- 4)2, 2 2 x1 2 x2416x1x2设 AB 的方程为 y=kx+b,则 b>0,y = kx+ b, 2由 2得 x2-4kx-4b=0,x2 = 4y得xx11x+2=x2-=44bk,代入得:16k2+16b(4+4b)2 (1+ b)2k2+ bS= 64b = b ,要使面积最小 ,则 k=0,得到 S=(1+b)2b,b令b=t,则由得 S(t)=(1+tt ) =t3+2t+1t,22S(t)=(3t - 1t)2( t + 1) ,所以当 t( 0,33)时,S(t)单调递减;当 t(33,+ ) 时 ,S(t)单调递增 ,所以当 t= 3 时,S 取到最小值为163921此时 b=t2=13,k=0,所以 y1=