2020-2021学年度湖北省武汉市高三四月调研测试数学理试题及答案

1、高中毕业生四月调研测试理科数学一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 .51.复数 5 的共轭复数是（ ）i2A 2 i B 2 i C 2 i D 2 i2.已知集合 M x|x2 1， N x|ax 1，若 N M ，则实数 a的取值集合为（）A1 B 1,1 C1,0D1, 1,03. 执行如图所示的程序框图，如果输入的t 2,2 ，则输出的 S 属于（）A 4,2B 2,2 C 2,4D 4,04. 某几何体的三视图如图所示，则在该几何体的所有顶点中任取两个顶点，它们之间距离的最大值为（）A 3B 6C2

2、 3D 2 65. 一张储蓄卡的密码共有 6位数字，每位数字都可以从 0: 9中任选一个， 某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，如果任意按最后一位数字，不超过2 次就按对的概率为（）AB3 CD101106. 若实数 a，b满足 a b 1，m log a (log a b ) ， n (logab)2，l log a b2 ，则 m，n，l的大小关系为（ ）A m l nB lC n l m D7.已知直线 y kx 1 与双曲线2y2 4 的右支有两个交点，则k 的取值范围为（）A (0,B1, 25 C (D(1, 25)8.在 ABC中，角 A、 B、C的对应边分别为

3、a，b， c，条件p：bca2，条件 q：A B C ，那2么条件 p 是条件 q 成立的（A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件1 6 59.在 （x1）6 的展开式中，含 x5项的系数为（xA 6B6C24D2410.若 x ，y 满足x12y12，则 M 2x2 y2 2x 的最小值为A 2B2C 4D 4119）11.函数f(x) 2sin( x3)(0）的图象在 0,1 上恰有两个最大值点，则的取值范围为（ ）A 2,4 B2 ,92 )C13 ,25 )66D2256)12.过点P（2, 1）作抛物线4y 的两条切线，切点分别为 A，B，PA，PB分别

4、交 x 轴于 E， F 两点，O为坐标原点，则PEF 与 OAB 的面积之比为（3D1C3B3 A、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5分，共 20分.13.已知 sin2cos，则 sincos rrrrrrrr3，crrrrrrr14.已知向量a，b ， c满足 a b2c 0 ，且1 ， b2，则ab2a c2b c 15.已知 x( 2 ,2)，y f (x)1为奇函数，f '(x) f(x) tanx0，则不等式f (x)cosx的解集为16.在四面体ABCD 中，AD DB ACCB1，则四面体体积最大时，它的外接球半径R三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明

5、过程或演算步骤.第 17题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答 .第 22 题第 23题为选考题，考生根据要求作答一）必考题：共 60 分 .17.已知正数数列 an 满足： a1 2， an an 12n 1an an 12 (n2).1）求 a2， a3；2)设数列 bn 满足 bn (an 1)2n2 ，证明：数列 bn 是等差数列，并求数列 an 的通项 an.18.如图，在棱长为 3的正方体 ABCDA1B1C1D1中， E，F 分别在棱 AB，CD上，且 AE CF 1.1）已知 M 为棱 DD 1上一点，且 D1M 1，求证： B1M 平面 A1EC1.2）求直线 FC1

6、与平面 A1EC1 所成角的正弦值 .19.已知椭圆 ：22x y1，过点 P（1,1）作倾斜角互补的两条不同直线 l1，l2，设 l1与椭圆 交于 A、B两点， l2与椭圆交于C， D两点.AB ，求 的取值范围 .CD（1）若 P（1,1）为线段 AB的中点，求直线 AB 的方程；（2）记20.在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示1）求这 4000 名考生的竞赛平均成绩 x （同一组中数据用该组区间中点作代表） ；2）由直方图可认为考生竞赛成绩 z服正态分布 N（ , 2），其中 ， 2 分别取考生的平均成绩 x和考生成绩的方差 s2 ，那么该区 4000名

7、考生成绩超过 84.41分（含 84.81分）的人数估计有多少人？3)如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取 4 名考生，记成绩不超过 84.81分的考生人数为 ，求 P( 3).(精确到 0.001) 附： s2 204.75 ， 204.75 14.31； z: N( , 2) ，则 P(z ) 0.6826， P( 2 z 2 ) 0.84134 0.501.21.已知函数 f (x) xex a(ln x x)， a R.(1)当 a e时，求 f(x) 的单调区间；(2)若 f(x) 有两个零点，求实数 a 的取值范围 .(二)选考题：

8、共 10 分 .请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 写清题号 .22.选修 4-4 ：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy中，以坐标原点 O为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，x 3cos(cos 2sin ) 10， C 的参数方程为( 为参数， R).y 2sin(1)写出 l 和 C的普通方程；(2)在 C上求点 M ，使点 M 到 l的距离最小，并求出最小值 . 23.选修 4-5 ：不等式选讲 已知 f (x) ax 2 x 2 .(1)在 a 2时，解不等式 f(x) 1；0.9544；题记分.作答时请l 的极坐标方程为(2)若关于 x的不等

9、式 4 f(x) 4对x R恒成立，求实数 a的取值范围 .高中毕业生四月调研测试1-5: BDABC6-10: BDABD11、12：CC二、填空题13.214.1315.(0, )16. 15526三、解答题17.(1）由已知a2 a132，而a1 2 ，a2 a1a2222 22 32(a222) ，即 a222a23 0 .、选择题3.而 a2 0 ，则理科数学参考答案又由 a3a25 2 ，a23，a3 a22 a395 2(a3 3) ，即 a322a38 0 .而 a30，则 a3 4. a23，a3 4.（ 2）由已知条件可知： an22 an 12(anan 1) 2n 1

10、， (an1)2(an 1 1)2 n2 (n1)2，则 (an1)2n2 (an 1 1)2 (n1)2(a31)222(a21)2120，而 bn(an1)2 n2 ， bn0，数列 bn 为等差数列 . (an1)2n2 .而 an 0，故 ann1.18.解：（1）过 M 作 MTAA1于点 T ，连 B1T ，则 A1T易证：AA1E A1B1T ，于是AA1EA1B1T .由 A1B1TA1TB1 90o ，知AA1EA1TB 1 90o，a2 A1E B1T .显然 MT面 AA1 B1B ，而 A1E 面 AA1B1B ， MTA1E ，又 B1T I MT T ， A1E面

11、MTB ， A1E MB1 .连 B1D1 ，则 B1D1 A1C1.又 D1MA1C1 ， B1D1I D1M D1 ， A1C1面 MD1B1 ， A1C 1MB1.由 A1EMB1 ， A1C1 MB1， A1EI A1C1A1， B1M面 A1EC1.2）在D1C1 上取一点 N ，使 ND1 1 ，连接EF .易知 A1E/ /FN . V A1 EFC1VNEFC 1VE NFC11 S NFC 3NFC1311113(12 2 3)3 3.对于 A1EC1 ，A1C1A1E 10 ，而 EC1 22 ，由余弦定理可知 cosEA1C110 18 222 10 3 21.20 .

12、A1EC1 的面积 S12 A1C1A1E sinEA1C3 2 10 19203 192由等体积法可知 F 到平面 A1EC1 之距离h满足13SA1EC1h VA1 EFC1 ，则 13 32 19 h3 ， h619 ，又 FC110 ，设 FC1与平面 AEC1 所成角为 ， sin6 19106 3 190190 9519.解：1）设直线AB 的斜率为 k tan ，方程为y 1 k(x 1) ，代入 x2 2y24 中， x22kx (k1)2 4 0.2 2 22k2)x2 4k(k 1)x 2(k 1)2 4 0.判别式 4(k 1)k2 4(2k2221)2( k 1)2 4

13、 8(3k2 2k 1).设 A(x1,y1)，B(x2, y2)，x1 x24k(k 1)2k 2 1x1x22(k 1)2 42k 2 1 AB 中点为 (1,1)，12(x1x2) 22kk(k2 11)1，则k 12直线的AB 方程为 y 112(x1)，即 x 2y 1 0 .2）由（ 1）知 AB 1 k2x1x2x1 x2)2 4x1x21 k2 8(3k2 2k 1) 2k2 1设直线的 CD 方程为 y 1 k（x1)(k 0).同理可得 CD 1 k2 8(23k2 2k 1) .2k2 1AB CD3k2 2k 10).3k22k 1214k143k2 1 2k 1 3k

14、 1 2k令 t 3k 1 ，k则 g(t) 1t 42 ， t ( ,2 3 U2 3,t2g(t)在(, 2 3 ， 2 3,）分别单调递减 2 3g(t) 1 或1 g(t)2 3 .故 2 32 1或 122 3 .6262即2 ,1) U (1, 2.20.解：（1）由题意知：中间值455565758595概率0.10.150.20.30.150.1 x 45 0.1 55 0.15 65 0.2 75 0.3 85 0.15 95 0.1 70.5 ， 4000名考生的竞赛平均成绩 x为 70.5分.(2)依题意 z服从正态分布 N( , 2)，其中x 70.5 ，2D204.75

15、 ，14.31，22 z 服从正态分布 N( , 2) N (70.5,14.31 2 ) ，而 P(z ) P(56.19 z 84.81) 0.6826， P(z1 0.682684.81)0.1587.2竞赛成绩超过 84.81分的人数估计为 0.1587 4000 634.8 人 634 人.( 3)全市竞赛考生成绩不超过84.81分的概率 10.15870.8413而:B(4,0.8413) ， P(3) 1 P(4) 144C44 0.8413 4 10.5010.499.21.解：( 1)定义域为：(0,)，当a e时， f '(x) (1 x)(xex e).x f(x

16、) 在(0,1)时为减函数；在 (1, )时为增函数 .(2)记 t lnx x，则 t lnx x在(0, )上单增，且 t R. f (x) xex a(ln x x) et at g(t). f(x) 在 x 0上有两个零点等价于 g(t) et at在 t R上有两个零点 .在 a 0时， g(t) et在R上单增，且 g(t) 0，故 g(t )无零点；在 a 0时， g'(t) et a 在 R上单增，又 g(0) 1 0，11ag( ) ea 1 0，故 g(t)在 R上只有一个零点；a在 a 0时，由 g'(t) et a 0可知 g(t)在 t ln a时有唯

17、一的一个极小值 g(ln a) a(1 lna).若0 a e，g最小 a(1 ln a) 0， g (t )无零点；若a e， g最小 0， g(t)只有一个零点；若 a e时， g最小 a(1 ln a) 0 ，而 g(0) 1 0 ，lnx由于 f(x) 在 x e时为减函数，可知： a e时， ea ae a2.sin .从而 g(a) ea a2 0 ，综上讨论可知：a e时 f(x) 有两个零点，即所求 a的取值范围是 (e, ). g(x) 在 (0,ln a) 和 (lna, ) 上各有一个零点sin10 0 ，及22.解：( 1)由 l ： cosx cos ， yl 的方程为 x 2y 100.由 x 3cos ， y 2sin，消去2 得 x2 得92y241.2)在 C上取点 M (3cos3cos 4sin 10cos其中sin35，40时，此时 3sin23.解：在x在x,2sin)，则5 5cos(0)10 .d 取最小值 53co