拓 扑 空 间-文档资料

1、1第二章第二章 拓拓 扑扑 空空 间间 v2.1 拓拓 扑扑 空空 间间v2.2 拓扑基与邻域系拓扑基与邻域系,邻域基邻域基v2.3 度度 量量 拓拓 扑扑v2.4 闭集闭集,闭包闭包v2.5 导集导集,内内 部部, 边边 界界v2.6 拓扑空间中的序列拓扑空间中的序列v2.7序序 拓拓 扑扑22.1 拓拓 扑扑 空空 间间v 重点：拓扑空间定义的理解重点：拓扑空间定义的理解v 难点：拓扑空间定义的理解难点：拓扑空间定义的理解3(1) T,X;TBA,(2) 如果，则TBA；TT 1(3) 若,则11TTAA.T即 是X的一个子集族.如果 满足如下条件:集),T则称 是X的一个拓扑.T定义定义

2、2.1.1 设X是一个集合,)(XPT ( 表示X的幂( )XP4(1) X的任意有限开集族的交是开集.(3) 任何开集族的并是开集.扑空间X中的开集，因此拓扑空间X的定义可以理解为：一个集合X的拓扑是X的一个开集族满足条件：,X(1)是开集(2) 任意两个开集的交集是开集()XTP是X的拓扑的条件可以叙述为: (2) X的任意开集族的并是开集.中的每一个元素是拓T设T是X的一个拓扑，由于5例例2.1.1 平庸空间平庸空间是X的一个拓扑，称之为X的平庸拓扑，并且我们.间中只有两个开集，即X自身和空集例例2.1.2 离散空间离散空间是开集. 为一个离散空间,在离散空间中, X的每一个 子集都,

3、XT是一个集合，令X设 ，易验证T个拓扑, 称之为X的离散拓扑,并且称拓扑空间 (X, ) T)为一个平庸空间.显然在平庸空T称拓扑空间(X,设X是一个集合,令)(XPT ,显然,T是X的一6 例例2.1.3 设X是一个三元素集合, , , ,Xa b c我们X上可以构造不同的拓扑,下面我们介绍其中一些拓扑.,1XT,2XbaaT,3XcbbabT,4XbT7 ,5XcbaT ,8XbabaT)(9XPT ,7XbaT,6XcbbacbT当然，通过对以上拓扑中a,b,c的不同排列，我们在X上还可建立其它拓扑结构.但是,并不是X的每个子集族都是X的拓扑. 8例例2.1.4 有限补拓扑有限补拓扑设

4、X是一个集合，首先注意，当我们考虑的问题 中的全集自明时，在求补集运算时我们并不每次 提起，因此在本例中，A的补集A即为XA.令 | )(的一个有限子集是XUXUf PT例如，下面的两个X的子集族就不是X的拓扑.A1=a,b,X, A2=a,b,b,c,X,不满足定义2.1.1条件(3), A1不满足定义2.1.1条件(2) A29|的一个有限子集是XUXXUfT即 ,XXfT(1) 根据定义,此外，由于因此fXT.(2) 设fBAT,， AB若或者，则 BA,fBAT； 假定，由De Morgan)()()(BXAXBAX定律BXAX,以及fBAT)(BAX为有限集可知是有限集，因此.1Tf

5、AATT1fTT 1(3) 设,如果,则.是X的一个拓扑.先验证fT101T1TfAATT1如果,当时, ;1T1T10TA当时,取,这时0)(11AXAXAXAATT. fAT00A由于且，0AX 因此是有限集， AXA1T 从而是有限集，因fAATT1. 此fT根据上述(1),(2),(3),是X的一个拓扑,称之为X的有fT限补拓扑,拓扑空间(X, )称为一个有限补空间.读者不难验证,有限集X的有限补拓扑是X的离散拓扑,( ).fXTP即若X是一个有限集,那么11例例2.1.5 可数补拓扑.设X是一个集合，令CT=UX|X-U是X的一个可数即可数集合X的可数补拓扑是X的离散拓扑.子集通过与

6、例2.1.4中完全类似的作法易验是X的一个拓扑(留作习题),称之为X的可数补拓T证)称为一个可数补空间.扑,拓扑空间(X, CT读者自行验证，若X是一个可数集，则( ).CXTP12否则，就称为不可比较的. 当然，同集合上不可比较的拓扑是存在的，例如定义定义2.1.2 设 是集合X上的两个拓扑 ,如果 T,TT或称 比 粗,如果 T,我们称 比 细, TTTT,TT我们称 比 严格细,或称 比 严格地粗.如果 TTTTT我们称拓扑 与 是可比较的.T或,TTTT,是X显然，对于集合X来讲，粘合扑拓 =X,T 上最粗的拓扑，离散拓扑 =P (X)是X上最细的拓扑.T 与 就是X的两个不可比较的拓

7、扑.1T2T,cbaX ,1XbaaT,Xcbb，那么2T13间.T习习 题题 2.1|nmZmAnZn2. 对每一个正整数，令，证明 |ZnAnT是正整数集Z+的一个拓扑. X上的两个给定拓扑.令,XXXTT,证明),(TX是一个拓扑空拓扑.1. 验证例2.1.5中集族 是X上的拓扑.cT3. 设(X, )是一个拓扑空间, 是任何一个不属于X的元素, , ,baaX,cbaX (3) 设， 1T 也是X的2T1T4. (1)设 和 是集合X上的两个拓扑,证明 1T2T2T1T 可以不是X上的拓扑，其中 ， 是(2) 举例说明1T2T14是集合X上的一族拓扑,证明在X上存在一JT5. 设.T拓

8、扑包含着每个之中,在X上存在一个最粗的T个最细的拓扑空间包含于每个JTJT(提示:设是X上一族拓扑,则是X上的一个拓扑).2T于 和 的最细的拓扑.1T, ,cbaX2T2T找出包含 和 的最粗的拓扑和包含1T15难点：由邻域系决定拓扑方法的证明难点：由邻域系决定拓扑方法的证明 2.2 拓扑基与邻域系拓扑基与邻域系,邻域基邻域基重点：邻域的定义，性质，邻域基的定义重点：邻域的定义，性质，邻域基的定义16构成的X的子集族称为点x的邻域系.易见，如果U是包含着点x的一个开集，那么一定是x的一个邻域，此时我们称U是点x的一个开邻域.点x的所有邻域VU,则称U是点x的一个邻域. 得xU是X的一个子集且

9、满足条件: 存在一个开集V 使TX，如果定义定义2.2.1 设(X, )是一个拓扑空间,xT17故U,U便是x的一个邻域.只要x证明:必要性.若U是开集，则对每点xX,U即是x的一个开邻域., 充分性.若U=，显然U是开集，若U 则对xU， 由于U是邻域，由定义2.2.1，必存在开集 .xx Ux UUxUUUx使得xUxU.因此，.x UxUU 由定义2.1.1(3)知U是一个开集. 充分必要条件是U是它的每一点在(X, )中的邻域.即T定理定理2.2.1 拓扑空间(X, )的一个子集U是开集的T18邻域系,则:证明 : (1) 对于任何,xX由于X是一个开集,因此X是定理定理2.2.2 设

10、X是一个拓扑空间,记 为点xX的xU;xUUV(2) 如果U,V ,则xUU;x ，则xU,并且如果U (1) 对于任何xX, xU满足条件 xUV,则存在U(4) 如果xUV( ) i;VU( )iiVy对于,有.yUVVU (3) 如果U ,并且,则xU;xU1900,x UU x VU 使得,因此 00,x UVUV由定理2.2.1一个点的邻域必包含这个点本身. 此外根据. xU,因此x的一个开邻域,因此 XxUUV00VU 于是一个开集,因此.xU,由定义2.2.1则存在开集U0，V0 (2) 设,U VxUVVUx00,xUU从而有,因此.xU使得0U则存在开集,UV且U(3) 设,

11、xU由于 ,xVU因此V是x的开邻域.因此V.xU使得 V由定义2.1.1则存在开集U(4) 设,xU20V是开集，因此由定理2.2.1可知V是它每一点的邻域,即对每个 ,.Uyy VV了X的子集族U x,并且它们满足定理2.2.2中的条件(1)证明:|,xUXxUU如果则TU即|是它的每一点的邻域UXU T拓扑空间(x, )中的邻域系. T定理定理2.2.3 设X是一个集合, 又设对于每一点xX指定X则 是T,UxU,则UX|如果x-(4),令UT = 唯一,xX的一个拓扑使得对于每一点 xU子集族 是点x在21 . ,UxXx(i)显然T;对于任意,由条件(1),取xX,xUX,UxU显然

12、有由条件(3)可知是点TX的邻域,因此.,xABTBA,(ii)设,如果因此,xAxB因此xBAU必有xBAU, 由条件(2)可知,由x的任ABT意性可知.,xU由于TT 1U， 且1, TAUA由条件(3)有 下面验证 是X的一个拓扑.T，使得TU,则存在AxA1T对任意(iii)设 1TT,22 X的一个拓扑.中的邻域系.下面证明*.xxUU(i)设,UxU由条件(4)可知存在UxV使得,UyVVy,VU且对任意有因此,TV从而,UVx且,TV由定义2.2.1可知*,UxU因此*.xxUU因此我们证明了 是xAA UT1.因此，TTAA1.T*xU,X对每一点x以记点x在拓扑空间(X, )

13、 T23 ,TV*,xUU(ii)设由定义2.2.1可知存在*.xxUU,xUU(3)可知 因此从而我们证明了.*T = T*T扑空间(X,)的邻域系,然后证明是X的又一个拓扑使得对于,XxxU是点x在拓*TU(i)设,TU即是拓扑空间(X,)中的开集, 又假定xU是x点在(X, *T)中的邻域 系,因此由 *,xxUU即子集族xU恰是点x在(X, )中的邻域系. T由条件,xVU使得*, x VU显然根据 的定义 T下面证明拓扑 的唯一性,为此我们假定*TT24 ,TU义有因此TT .*TxU必有,xUU然而又假定是x点在（X,）中的邻*.TT域系，由定理2.2.1的充分性可知 ,TU因此*

14、.T = T综合(i)(ii)知(ii)设,TU即U是（X， ）中的开集，又已证明T,xUU,Ux由定理2.2.1可知对于任意再由 的定T,UxxU是x点在（X， ）中的邻域系，因此对于任意 T25.VUxVB对每个 ,xUU存在使得则称xB为点显然,|UxUxTB, 即所有包含点x的开集且满足条件：xxUBxU是x点在(X, )中的邻域系,如果T定义定义2.2.2 设(X, )是一个拓扑空间,对每个 ,xXT构成的集族,是x点在(X, )中的一个邻域基. Tx在(X, )中的一个邻域基. T26难点：由拓扑基决定拓扑的方法证明难点：由拓扑基决定拓扑的方法证明 2.2 邻域系邻域系,邻域基与拓

15、扑基邻域基与拓扑基重点：由拓扑基决定拓扑的方法重点：由拓扑基决定拓扑的方法与应用与应用27 ， AUA U U 满足条件:对于每个TU，存在B 使得是拓扑空间X的一B的一个基，也称B则称是拓扑T个基.例例2.2.1 在离散拓扑空间X中, =P (X)，显然B=x|TB如果BT,定义定义2.2.3 设(X, )是一个拓扑空间,TXx 就是X的一个拓扑基.T28 , B使得x(1) 对每个x X,存在U;U(2)如果B1,B2B, x12,BB那么存在B3B使得xB3B1B2. UU U因此对每个xX， 即x存在UU,使得x U，由B, U 于U因此UB. 扑基，则 满足下列条件:BTB定理定理2

16、.2.4 设(X, )是一个拓扑空间, 是 的一个拓T,UUUB,使得X=证明(1) 由于X ,因此存在U T29 12BBUB,使得U ,因此若12,xBB则存在B3U使得xB312.BBB, 使X |存在U =U 2.2.6中的条件(1)(2),则 T,因此存在 12BBT ,因此(ii)若B1,B2B,由于B T是X的唯一拓扑使得 是 的一个拓扑基.此得U=U BT定理定理2.2.5 设X是一个集合, BP(X), 且 满足定理B时我们称 是由基 生成的拓扑.TB证明:先验证 是X的一个拓扑.T30 由条TAA(i)由于B且,因此;又对 ,xXXT.BUx | x X，因此xUUxB21

17、12.ABUUBx 显然U1U2=，且 12ABUU2UB,使得U2=U2，因此12UU(),ABU2使得 U1,B设x U1U2,则存在AxAB1UB ，使得U1= ，则存在U1(ii)设U1，U2 T1,U存在,xx XUX,显然X= xUx 使得 件(1):存在 xUB且U2,又由于A，BB 由条件(2)可知存在BxB 使得x31Bx |x U1U2B,因此 T21UU . 图2.2.1BAABAAAAUAAAU)(因此 A=， 由于B|BUA,AA的关系如图2.2.112, , ,xUUA B BB,因此A T.B使得A=存在UAA ， 则对A(iii)设A T,A ,32下面,我们在

18、实直线上给出几种拓扑.由这个基生成的拓扑称为实数集合上的通常拓扑，带有通常拓扑的空间称为实数空间。 为拓扑基的另一个拓扑,读者不难证明 . B*T = T*TT由 的定义即可知 是 的一个拓扑基.再设 是以TB例例2.2.2 设 是由实直线R上的全部开区间构成，即B理2.2.7中条件(1)(2),从而 是R上的一个拓扑基. B =(a,b)| ab=x|axb|ab,容易验证 满足定BB33)B 例例2.2.3 设=a,bR|ab=axbR|aM时只能有xxi.xxiMi 使得ZM件是存在时,.110(2) 如果A是X中的一个不可数子集,则d(A)=X,即X中每一点都是A的极限点.,这是因为假

19、如UA数集,因此UA,则有X,)()(XUXAXXUA)( 即由于A是不可数集而XUXAX)()(XU是可数集.因此是不可能的.UA从而只有,由于A是不可数集,从而A-x仍,因此xd(A),因此( )AxU 是不可数集,从而 ,则XU是一个可Xx设,对任意UBx,由于BxcT111d(A)=X.,其中 0 x立.令A=X-Xx 0,它是一个不可数集,根据是A的一个极限点,然0 x,也就是说)(0Adx (2) 我们有0 x0 x而根据(1),在A(即X-)中不可能有序列收敛于.Ziix 定理定理2.6.3 设(X,)是一个度量空间, 是X中的一.则以下条件等价: Xx个序列，现在说明定理2.6

20、.2的逆命题在拓扑空间(X, )中不成cT112(1) 序列Ziix 收敛于x;Ni ,ZN, 0(2) 对于任意给定实数存在当时,有),(xxi.(3) 0),(limxxii证明由读者自己完成.113 习习 题题 2.6Ziix 1. 设X是一个离散空间,设是X中的一个序列,收敛当且仅当存在Ziix 证明：序列ZM使得当jixx Mji,时,有.2. 设(X,d)是一个度量空间,证明(1) X中的每一个收敛序列只有唯一的一个极限点,(2) 定理2.7.2的逆命题成立.3*. 举出定理2.7.2和定理2.7.3的逆命题不成立的例子,114使得所涉及的空间只含有可数个点. 21TT ),(),

21、(21TTXX4. 设是两个拓扑空间，并且，Ziix 证明：若X中序列在拓扑空间),(2TX收敛于x，中也收敛于x.),(1TX在拓扑空间Ziix 则序列115设X是一个有序集,我们可以像实数集R那样在X上定义标准拓扑,我们称之为序拓扑.定义定义2.7.1 设是X上的一个序关系,a,bX,ab,以下四种形式的子集叫做X中的区间.(a,b)=x|axb 叫做X中的开区间,(ba=x|axb 叫做左开右闭区间,),ba=x|axb 叫做左闭右开区间,b 叫做闭区间.,ba=x|ax 2.7序序 拓拓 扑扑116定理定理2.7.1 设1时，n=(n-1,n+1)是一个基成员,当n=1时,1= )2

22、, 1也是一个基成员. 证明:检验 满足定理2.2.7中条件(1)-(2),由读者自B例例2.7.2 是一个有最小元(在通常序下)的有序集，Z是其 上的序拓扑是离散拓扑,因为 nnZB = |118X上的序拓扑不是离散拓扑,虽然在这个字典序拓扑空间中大多数几乎全部的单点集都是开集,但单点有直接前行. 例例2.7.3 设X=1,2 是字典序集,该序集有一个最Z小元,但没有最大元,我们用 表示(1,n),用 表示(2,n),nanb则X可表示如下:1212, , , ,.a ab b集 不是开集,因为任何一个包含 的基成员必定1b1b包含 从某一项以后的全部项,这是因为 没1b12, ,a a119B，A则开区间(A,B)=(a,b),(c,d)如图2.7.1所示,读格地细.例例2.7.4 我们给实平面 上赋予字典序.在字典序下, 2R2R 即无最大元,亦无最小元,因此 上的序拓扑基成2R2R的一个基,因此 上的字典序拓扑比 上的标准拓扑严2R第一种类型的开区间构成的集族是 上字典序拓扑2R者自行验证集族 =(a,b),(a,d)|ba和xX|xa为X中的开射线, 分别记作和),(a,称X的子集x|xa和xX|xa为X中的闭射(, .a线,分别记作),a和121定理定理2.7.2 设X是一个有序集,并且