拉氏变换公式-文档资料

1、第二章 拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础第二节第二节 拉氏变换拉氏变换第二章 拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础设函数f(t)满足：1. f(t)实函数； 2. 当t0时 ， f(t)=0； 3. 当t0时, f(t)在每个区间上是分段连续的 3. f(t)的积分 在s的某一域内收敛，s为复变数0)(dtetfst一、拉氏变换的定义一、拉氏变换的定义则函数则函数f(t)f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为：的拉普拉氏变换存在，并定义为：式中：s=+j（，均为正实数）；F(s)F(s)称为函数f(t)f(t)的拉普拉氏变换拉普拉氏变换或象函数象函数; ;f(t)f(t)称为F(s)F(

2、s)的原函数原函数；L L为拉氏变换的符号。（29）第二章 拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础拉氏反变换的定义拉氏反变换的定义其中L1为拉氏反变换的符号。ste称为称为收敛因子收敛因子。 积分的结果不再是积分的结果不再是 t 的函数，而是复变量的函数，而是复变量 s的函数。的函数。所以拉氏变换是把一个时间域的函数所以拉氏变换是把一个时间域的函数f(t)变换到变换到 s 域内的域内的复变函数复变函数F(s)。 jcjcstdsesFjsFL)( 21)(1 用符号用符号L L-1 -1 表示对方括号里的复变函数作拉氏表示对方括号里的复变函数作拉氏反变换反变换。（210）（211）第二章 拉普

3、拉斯变换的数学方法机械工程控制基础阶跃函数的拉氏变换阶跃函数的拉氏变换二、二、 典型函数的拉氏变换典型函数的拉氏变换)()1()( 1 )(0stdsetLSFst（212）第二章 拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础斜坡函数单位速度函数的拉氏变换单位速度函数的拉氏变换（213）第二章 拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础幂函数幂函数 拉氏变换（法拉氏变换（法1）nt10( )xxe dx根据函数根据函数则则(1)( )!nnnn 令令ust11001! nnstnunnnL tt edtu e duss（214）第二章 拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础幂函数的拉氏变换（法幂函数的拉

4、氏变换（法2）（215）第二章 拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础抛物线函数单位加速度函数拉氏变换单位加速度函数拉氏变换（216）第二章 拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础洛必达法则洛必达法则单位脉冲函数拉氏变换单位脉冲函数拉氏变换（217）第二章 拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础指数函数的拉氏变换指数函数的拉氏变换（218）第二章 拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础例2-1：求解函数的拉氏变换第二章 拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础（欧拉公式）（欧拉公式）三角函数的拉氏变换三角函数的拉氏变换（219）（220）第二章 拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础例2-2：求

5、解函数的拉氏变换第二章 拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础高等函数初等函数指数函数三角函数单位脉冲函数单位阶跃函数单位速度函数单位加速度函数幂函数典型函数的拉氏变换小结典型函数的拉氏变换小结1! nnnL ts第二章 拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础例2-3：求解函数的拉氏变换第二章 拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础三、拉氏变换的主要运算定理第二章 拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础第二章 拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础LK(1-e-at) =LK -LKe-atsKasK)(assKa结论：结论：由此可见，根据拉氏变换的线性性质，求函由此可见，根据拉氏变换的线性性

6、质，求函数乘以常数的象函数以及求几个函数相加减的结果数乘以常数的象函数以及求几个函数相加减的结果的象函数时，可以先求各函数的象函数再进行计算。的象函数时，可以先求各函数的象函数再进行计算。例例2-4：求以下函数的拉氏变换：求以下函数的拉氏变换：f(t)=K(1-e-at)第二章 拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础第二章 拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础原函数的高阶导数原函数的高阶导数 像函数中像函数中s s的高次代数式的高次代数式（221）第二章 拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础解解：（：（1）)cos(t22sin()Lts22221sin()cos()10dtLtLdtss

7、ss1dttd)sin(例例2-5：利用导数性质求以下函数的象函数：利用导数性质求以下函数的象函数：（1）f(t)=cos(t)（2）f(t)=(t)第二章 拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础（2）由于由于 (t)=d(t)/dt/ )()(dttdLtLs1=1f(t)=(t)= s- 0第二章 拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础第二章 拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础（222）第二章 拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础例例2-6：利用积分性质求函数：利用积分性质求函数f(t)=t的象函数的象函数解解：f(t)=ttd0)(Lf(t)=s1s121s第二章 拉普拉斯变换的数

8、学方法机械工程控制基础原函数乘以指数函数原函数乘以指数函数e e-at-at像函数像函数F(S)F(S)在复数域中作位移在复数域中作位移a a（223）第二章 拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础例2-7：求 的拉氏变换解：直接用复位移定理得：sintet22sin()tL ets 求 的拉氏变换？costet第二章 拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础原函数平移原函数平移 像函数乘以像函数乘以 e e-s-s 0 ()()stL f taf ta edta令 t-()00 ()( )()( )( )saassasL f tafedaefedeF s（224）第二章 拉普拉斯变换的数学方法

9、机械工程控制基础Otf(t)T例例2-8：求：求f(t)的象函数的象函数解：解：f(t)=A(t)A-A(t-T)Lf(t)= A/s- A/s e-sTOtf (t)Otf (t)f (t)+ f (t)第二章 拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础例2-9：求图所示三角波的拉氏变换从图可知，三角波左边函数斜率为 ，右边函数斜率为 ，则分段函数可表示为：124kT224kT 1211122122111111112222( )( )( )( )( )( )( )( )()()()224444()()()22f tf tf tftftftftTTftftftftTTTttttTTTTT 第二章

10、拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础（225）第二章 拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础（226）第二章 拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础（227）第二章 拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础证：令()()tLfaFasata则000 ( )( )( )()( )stasasttL ffedtfed aaaafed再令as则00 ( )( )( )( )()astL fafedafedaaFaF as尺度变换定理尺度变换定理（228）第二章 拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础复数域积分定理复数域积分定理证：( )()sftLFs d st0000( )( )( )1( )(

11、)( )stssstsstsstF s dsf t edtdsf t dtedsf t dtetf tf tedtLtt （229）第二章 拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础例2-10：求如下函数的拉氏变换第二章 拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础证：()( )d FsLtftd s 000( ) ( )( )( ) ( )stststdF sdd f t ef t edtdtdsdsdstf t edtL tf t 复数域微分定理复数域微分定理( )()( )nnnd F sLtf tds推论：（230）第二章 拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础例2-11：求如下函数的拉氏变换第

12、二章 拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础例2-12：已知因果函数f(t)的象函数22332213(32)39( )13ssssfteess2( )1sF ss求 的象函数(32)teft解：由于2( )1sf ts利用实位移定理由尺度变换定理22(2)1ssf tes第二章 拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础由复位移定理2(1)321(32)(1)9stseftes第二章 拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础练 习练习2-1：求如下函数的拉氏变换练习2-2：求如下函数的拉氏变换练习2-3：求如下函数的拉氏变换练习2-4：求如下函数的拉氏变换练习2-5：求如下函数的拉氏变换练习2-6：求如下函数的拉氏变换第二章 拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础练习2-7：求如下函数的拉氏变换练习2-8：求如下函数的拉氏变换练习2-9：求如下函数的拉氏变换第二章 拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础练习2-1：求如下函数的拉氏变换第二章 拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础练习2-2：求如下函数的拉氏变换第二章 拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础练习2-3：求如下函数的拉氏变换第二章 拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础练习2-4：求如下函