最新北师大版八年级数学下册各章知识要点总结

1、最新北师大版八年级数学下册各单元知识要点总结 第一章 三角形的证明一、全等三角形判定定理：1、三组对应边分别相等的两个三角形全等（SSS）2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三 角形全等（ HL）二、等腰三角形的性质 定理：等腰三角形有两边相等； （定义 ） 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角” ）。 推论 1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是 说，等腰三角形的顶角平分线、 底边

2、上的中线、 底边上的高互相重合。 （三线合一）推论 2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；三、等腰三角形的判定1. 有关的定理及其推论定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形 （简写成“等角对等边” 。） 推论 1：三个角都相等的三角形是等边三角形。推论 2：有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形。推论 3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。2. 反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出 与定义、公理、 已证定理或已知条 件相矛盾的结果，从而证明命题的

3、结论一定成立。 这种证明方法称为反证法四、直角三角形1、直角三角形的性质 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方； 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°， 那么它所对的直角边等于 斜边的一半；在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。2、直角三角形判定 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角 三角形；3、互逆命题、互逆定理 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论 和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命 题的逆命题 .如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这 两个定理称为互逆定理，其中一个定

4、理称为另一个定理的逆定理 .五、线段的垂直平分线 角平分线1、线段的垂直平分线。性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距 离相等。（外心） 判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线 上。2、角平分线。 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。 （内心） 判定：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平 分线上。3、逆命题、互逆命题的概念，及反证法第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组一、一般地，用符号 V （或“）,

5、 “（或“”连接的式子叫做不1 、能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解 .2、不等式的解不唯一，把所有满足不等式的解集合在一起，构成不 等式的解集 .3、求不等式解集的过程叫解不等式 .4、由几个一元一次不等式组所组成的不等式组叫做一元一次不等式 组5、不等式组的解集 :一元一次不等式组各个不等式的解集的公共部分6、等式基本性质 1：在等式的两边都加上 （或减去） 同一个数或整式， 所得的结果仍是等式 .基本性质 2：在等式的两边都乘以或除以同一个数 （除数不为 0），所得 的结果仍是等式 .二、不等式的基本性质1 ：不等式的两边都加上 （或减去）同一个整式， 不等号的方向不变 . （

6、注： 移项要变号，但不等号不变。）性质 2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向 不变 .性质 3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向 改变.三、解不等式的步骤 : 1、去分母 ;2 、去括号 ;3、移项、合并同类项 ; 4、系数化为 1。四、解不等式组的步骤 :1 、解出不等式的解集。 2、在同一数轴表 示不等式的解集。 3、写出不等式组的解集。第三章 图形的平移与旋转一、平移定义和规律1 平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离， 这样的图形运动称为平移。关键： a. 平移不改变图形的形状和大小（也不会改变图形的方向，但 改变图形的位置）。

7、 b. 图形平移三要素：原位置、平移方向、平 移距离。2 平移的规律 （ 性质 ）：经过平移， 对应点所连的线段平行且相等， 对应 线段平行且相等、对应角相等。 注意：平移后，原图形与平移后的图形全等。3 简单的平移作图：平移作图要注意：方向；距离。整个平移作图，就是把整个图案 的每一个特征点按一定方向和一定的距离平行移动。二、旋转的定义和规律1 旋转的定义：在平面内，将一个图形饶一个定点沿某个方向转动一 个角度，这样的图形运动称为旋转。这个定点称为旋转中心；转动的 角称为旋转角。关键： a. 旋转不改变图形的形状和大小（但会改变图形的方向，也改 变图形的位置）。b. 图形旋转四要素：原位置、

8、旋转中心、旋转方向、旋转角。2 旋转的规律 （ 性质 ）： 经过旋转，图形上的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的 角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应 点到旋转中心的距离相等。（旋转前后两个图形的对应线段相等、对应角相等。） 注意：旋转后，原图形与旋转后的图形全等。三、中心对称1 中心对称的有关概念：中心对称、对称中心、对称点把一个图形绕着某一点旋转 180 °，如果它能够与另一个图形重合， 那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称，这个 点叫做对称中心，两个图形中的对应点叫做对称点。2中心对称的基本性质：（1）成中心对称的两个图形具有图

9、形旋转的一切性质。（2）成中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且 被对称中心平分。3中心对称图形的有关概念：中心对称图形、对称中心 把一个平面图形绕某一点旋转 180 °，如果旋转后的图形能够和原来 的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点就是它的 对称中心。4、中心对称与中心对称图形的区别与联系 如果将成中心对称的两个图形看成一个图形，那么这个整体就是中心 对称图形；反过来，如果把一个中心对称图形沿着过对称中心的任一 条直线分成两个图形， 那么这两个图形成中心对称。 3图形的平移、 轴对称（折叠）、中心对称（旋转）的对比5 、图案的分析与设计 首先找到基本图

10、案，然后分析其他图案与 它的关系， 即由它作何种运动变换而形成。 图案设计的基本手段 主要有：轴对称、平移、旋转三种方法。第四章 分解因式一、公式：1、ma+mb+mc=m(a+b+c)2、 a2-b2 = a+b a-b3、2 2 2a2 2ab+b2 a b二、把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多 项式分解因式。1 、把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算.2 、把一个多项式化成几个整式的积的形式，是因式分解.3 、ma+mb+mc=m （a+b+c ）4、因式分解与整式乘法是相反方向的变形。三、把多项式的各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的各项的公 因式 .

11、提公因式法分解因式就是把一个多项式化成单项式与多项式相乘的 形式 .找公因式的一般步骤：（ 1）若各项系数是整系数，取系数的最大 公约数；（ 2）取相同的字母， 字母的指数取较低的； （ 3）取相同的多项式，多项式的指数取较 低的.（ 4）所有这些因式的乘积即为公因式 .四、分解因式的一般步骤为 :（1）若有 “-”先提取 “-”，若多项式各项有公因式 ,则再提取公因式 （ 2）若多项式各项没有公因式 ,则根据多项式特点 ,选用平方差公式或完全平方公式（3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止.五、形如a2+2ab+b2或a2-2ab+b2的式子称为完全平方式六、 分解因式的方法：1、提公因式

12、法。2、运用公式法。 第五章分式与分式方程1. 分式的定义：如果 A、B表示两个整式，并且 B中含有字母，那么 式子A叫做分式。B1）分式与整式最本质的区别：分式的字母必须含有字母，即未知 数；分子可含字母可不含字母。2）分式有意义的条件：分母不为零，即分母中的代数式的值不能 为零。3）分式的值为零的条件：分子为零且分母不为零2. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于O的 整式，分式的值不变。 A- C A AC=1 =用式子表示 -:其中A、B、C为整式（C O） 注：（1）利用分式的基本性质进行分时变形是恒等变形，不改变分式 值的大小，只改变形式。（2） 应用基本性质时，要

13、注意C 0,以及隐含的B 0。（3）注意“都”，分子分母要同时乘以或除以，避免只乘或只除以分 子或分母的部分项，或避免出现分子、分母乘除的不是同一个整式的 错误。3. 分式的通分和约分：关键先是分解因式1）分式的约分定义：利用分式的基本性质，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值。2）最简分式：分子与分母没有公因式的分式3）分式的通分的定义：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘 适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母的分式化成分母 相同的分式。4）最简公分母：取“各个分母”的“所有因式”的最高次幕的积 做公分母，它叫做最简公分母。4. 分式的符号法则分式的分子、分母与分式本身的符号，改

14、变其中任何两个分式的值不 变。用式子表示为注：分子与分母变号时，是指整个分子或分母同时变号，而不是指改 变分子或分母中的部分项的符号。5. 分式的运算：1）分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母 的积作为分母。adbe2）分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置 后，与被除式相乘。a C ac a Cadb d bd ' b d be分式乘方要把分子、分母分别乘方。3）分式乘方法则：4）分式乘方、乘除混合运算：先算乘方，再算乘除，遇到括号，先 算括号内的，不含括号的，按从左到右的顺序运算5) 分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加 减。异

15、分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减a bC Cabac ad bc ad bcCb d bd bdbd7.整数指数幕.1)任何一个不等于零的数的零次幕等于1,即 a0 1(a 0)；2)任何一个不等于零的数的-n次幂(n为正整数)，等于这个数的n次幕的倒数，即 a n 1na(a 0)(na注：分数的负指数幕等于这个分数的倒数的正整数指数幕。即3)正整数指数幕运算性质也可以推广到整数指数幕.(m,n是整数)(1)同底数的幕的乘法：am an amn ; (2)幕的乘方：(am)n amn; (3)积的乘方：(ab)n anbn ；(4)同底数的幕的除法：nam an amn(

16、 a 0) ； (5)商的乘方：()n ；bb(b 0)8.分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程 分式方程。1) 增根：分式方程的增根必须满足两个条件：(1)增根是最简公分母为 0; (2)增根是分式方程化成的整式 方程的根。2 )分式方程的解法:（1） 能化简的先化简 （2） 方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；（3） 解整式方程； （4） 验根 注：解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可 能为0,这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分 母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不

17、是原分式方程的解。3）列分式方程解实际问题 （1）步骤：审题设未知数列方程解方程检验写出答案， 检验时要注意从方程本身和实际问题两个方面进行检验。第六章 平行四边形一、平行四边形的性质1、定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。2、 平行四边形的性质 （1）平行四边形的对边平行且相等。（ 2） 平行四边形的邻角互补 （ 3）平行四边形的对角相等 （4）平行四 边形的对角线互相平分。二、平行四边形的判定1、平行四边形的判定 （1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （ 2）定理 1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形（ 3）定理 2：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 （ 4

18、）定理 3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形2 、两条平行线的距离 两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一 条直线的距离， 叫做这两条平行线的距离。 平行线间的距离处处相等。3、平行四边形的面积：S平行四边形=底×高=ah三、三角形的中位线1、概念：连接三角两边中点的线段叫做三角的中位线（共三条中位 线）2、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半四、多边形的内角和与外角和1、 多边形的内角和定理：n边形的内角和等于（n-2 ） 180 ° ; 多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。2、正多边形的每个内角都等于（n-2

19、 ） 180 ° In3、中心对称图形：线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形，边数 为偶数的正多边形不是中心对称图形：四边形、 三角形、 梯形、 边数为奇数的正多边 形等4、常见的轴对称图形：等腰三角形、等腰梯形、矩形、菱形、正方 形第一章 特殊平行四边形1 菱形的性质与判定 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。菱形的性质：具有平行四边形的性质，且四条边都相等，两条对角线互相垂直平分 , 每一条对角线平分一组对角。菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称 轴。菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。2 矩形的性质与判定矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的 平行四边形。矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是 直角。（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形（根据定义）对角线相等的平行四边形是矩形。 四个角都相等的四边形是矩形。推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。3 正方形的性质与判定 正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴