小升初六年级数学名校冲刺讲义第20讲--立体图形的表面积和体积(教师版)

1、第 20 讲立体图形的表面积和体积小学阶段所学的立体图形主要有长方体、正方体、圆柱体和圆锥体，这四种立体图形的表面积和体积的计算是小升初数学的热点内容，特别是涉及到立体图形的切拼时，立体图形的表面积和体积发生了变化，牢固掌握这些立体图形的特征和有关的计算方法及切拼时表面积和体积的变化规律是解题的关键，本讲将在前面两讲学习的基础上进一步总结整理立体图形切拼时表面积和体积的变化规律。知识点一：立体图形的表面积和体积计算常用公式：立体图形表面积体积长方体s=2)(bhahaba：长 b:宽 h：高 s：表面积vabhvsh正方体s=26aa：棱长 s：表面积3vavsh圆柱2222srhr圆柱侧面积

2、个底面积2vr h圆柱圆锥22360nslr圆锥侧面积底面积注：l是母线，即从顶点到底面圆上的线段长213vr h圆锥体知识点二：解决立体图形的表面积和体积问题时的注意事项（1）要充分利用正方体六个面的面积都相等，每个面都是正方形的特点.（2）把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍；反之，把两个立体图形拼合到一起，减少的表面积等于重合部分面积的两倍。（3）若把几个长方体拼成一个表面积最大的长方体，应把它们最小的面拼合起来；若把几个长方体拼成一个表面积最小的长方体，应把它们最大的面拼合起来。2. 解答立体图形的体积问题时，要注意以下几点：（1）物体沉入水中，水面上升部分的体积

3、等于物体的体积；把物体从水中取出，水面下降部分的体积等干物体的体积，这是物体全部浸没在水中的情况。如果物体不全部浸在水中，那么排开水的体积就等于浸在水中的那部分物体的体积.（2）把一种形状的物体变为另一种形状的物体后，形状变了，但它的体积保持不变.hrhr公众号：小升初数学压轴题天天练（3）求一些不规则物体体积时，可以通过变形的方法求体积。（4）求与体积相关的最大、最小值时，要大胆想象，多思考、多尝试，防止思维定势。考点一：长方体和正方体表面积的变与不变【例 1】（ 2019? 射洪县）把若干个边长2 厘米的正方体重叠起来堆成如图所示的立体图形，这个立体图形的表面积是平方厘米【思路分析】要求这

4、个立方体的表面积是多少平方厘米，只要看这个正方体的表面由多少个小正方形组成，通过观察，可以得出，立体图形的上面有339 个小正方形，下面也有9 个小正方形；左面和右面各有 9 个小正方形；前面和后面各有10 个小正方形，这样得出这个立方体的表面是由56 个小正方形组成；小正方形的面积可根据“正方形的面积边长边长”得出；然后用小正方形的面积乘正方形的个数即可；【规范解答】解： (94102)(22) ，564，224（平方厘米）；答：这个立方体的表面积是224 平方厘米故答案为：224【名师点评】此题考虑大立方体的表面是由多少个小正方形组成，然后根据公式求出小正方形的面积，用小正方形的面积乘个数

5、即可得出结论【例2】把一个长12cm 、宽 6cm 、高 9cm 的长方体木块锯成两个相同的小长方体木块这两个小长方体木块的表面积之和比原来长方体木块的表面积增加了多少平方厘米（请你将几种情况都写出来）【思路分析】把一个长方体截成两个长方体，只锯一次，增加两个横截面，（ 1）切割时，平行于126面切割，这样切割后，就增加了2 个126面的面积，由此即可解决问题；（ 2）切割时，平行于129 面切割，这样切割后，就增加了2 个 129 面的面积，由此即可解决问题；（ 3）切割时，平行于96 面切割，这样切割后，就增加了2 个 96 面的面积，由此即可解决问题公众号：小升初数学压轴题天天练【规范解

6、答】解：（ 1） 1262722144（平方厘米）答：这两个小长方体木块的表面积之和比原来长方体木块的表面积增加了144 平方厘米（ 2） 12921082216 （平方厘米）答：这两个小长方体木块的表面积之和比原来长方体木块的表面积增加了216 平方厘米（ 3） 962542108 （平方厘米）答：这两个小长方体木块的表面积之和比原来长方体木块的表面积增加了108 平方厘米【名师点评】本题考查了长方体切割后的图形的表面积计算，根据长方体切割小长方体的方法，明确表面积增加的2 个面是几几的面是解决本题的关键1 （ 2019 春?江西校级期末）如图每个小正方体积木的边长是2 厘米，把它们堆放在墙

7、角，露在外面的面的面积是平方厘米【思路分析】从正面看能看到6 个小正方形的面，从上面看能看到6 个小正方形的面，从右面看能看到6个小正方形的面，共看到66618（个 )，每个小正方形的面积是：224平方厘米，所以露在外面的面积是41872 厘米2，据此解答【规范解答】解： 22(666)41872 （平方厘米）答：露在外面的面的面积是72 平方厘米公众号：小升初数学压轴题天天练故答案为：72【名师点评】本题考查了从不同方向观察物体的三视图的灵活应用，关键是得出露在外面的小正方形面的个数2 （ 2019?萧山区模拟）一个长方体如果高增加2cm 就成了一个正方体，而且表面积增加24 平方厘米，原来

8、这个长方体的表面积是多少平方厘米【思路分析】根据题意可知，一个长方体如果高增加2 厘米，就变成了一个正方体；说明长和宽相等且比高大2 厘米，因此增加的24平方厘米是4 个同样的长方形的面积和；由此可以求长方体的长(244)23 厘米，由于长比高多2 厘米，那么高321 厘米，由此再利用长方体的表面积计算公式计算即可解答【规范解答】解： 24423（厘米）321（厘米）332314181230 （平方厘米）答：原来长方体的表面积是30 平方厘米【名师点评】本题主要考查长方体正方体表面积的实际应用，解答本题的关键是根据高增加2cm ，就变成一个正方体，可知增加的部分是长为2 厘米的4 个面，从而可

9、以分别求出长方体的长、宽、高，进而利用长方体的表面积的计算方法即可求解3 （ 2019?深圳校级模拟）把两个长、宽、高分别是9 厘米、 7 厘米、 4 厘米的相同长方体，拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积最少是多少【思路分析】根据两个长方体拼组成大长方体的方法，拼在一起的面越小，那么拼组后的大长方体的表面积就越大，反之，拼组后的表面积就越小；所以要使拼成的一个大长方体的表面积最小，只要把两个大面 (97) 拼在一起，然后用两个小长方体的表面积之和减去减少的面积解答即可【规范解答】解： (979474)22972 ，12722126 ，508126 ，382 （平方厘米）；答：大长方体的表面

10、积最小是382 平方厘米【名师点评】解决本题的关键是明确拼组后的长方体的表面积等于这两个小长方体的表面积之和减少的两个面的面积4将一个表面积为272cm的正方体等分成两个长方体，再将这两个长方体拼成一个大长方体（如图），求公众号：小升初数学压轴题天天练大长方体的表面积【思路分析】等分成两个长方体后，表面积会增加2 个正方形的面，也就是说有8 个正方形的面积；一个正方形的面积：272612()cm；再拼成的大长方体的拼法是把最小面(12 的一半）粘合，即粘合了1个面积为212cm的正方形这样大长方体的表面积其实就是7 个正方形的面的面积；据此解答即可【规范解答】解： 7267 ，127 ，84

11、（平方厘米）；答：大长方体的表面积是84 平方厘米【名师点评】解答此题的关键：明确后来拼成的长方体的面积其实就是7 个正方形的面的面积，是解答本题的关键所在考点二：长方体和正方体体积的变与不变【例 3】（2019? 徐州）一个长方体，如果长增加2 厘米，则体积增加40 立方厘米；如果宽增加3 厘米，则体积增加90 立方厘米；如果高增加4 厘米，则体积增加160 立方厘米原长方体的表面积是平方厘米【思路分析】由题意， 长增加2 厘米， 体积增加40 立方厘米，可知宽高240 立方厘米，则宽高20平方厘米同理可知长高30 平方厘米，长宽40 平方厘米，根据长方体的表面积（长宽长高宽高）2列式解答【

12、规范解答】解：（长宽长高宽高）2(4029031604)2(203040)2180 （平方厘米）答：这个长方体的表面积是180 平方厘米故答案为：180【名师点评】此题关键是理解长增加宽和高不变，宽增加长和高不变，高增加长和宽不变根据长方体的表面积公式解答即可公众号：小升初数学压轴题天天练【例 4】（ 2019? 龙海市）一个长方体木块，从下部和上部分别截去高为3 厘米和2 厘米的长方体后，便成为一个正方体，表面积减少了120 平方厘米，原来长方体的体积是多少立方厘米【思路分析】根据长方体的特征，相对的面面积相等，从下部和上部分别截去高为3 厘米和2 厘米的长方体后，表面积减少了120 平方厘

13、米，减少的只是前后左右的侧面积，因为截去两部分后又露出两个底面；又因为剩下部分是正方体，因此减少部分（上下）的4 个面的面积相等，因此求出一个面的面积，120430（平方厘米），再除以上下部分的高就可以求出剩下部分正方体的棱长；由此解答【规范解答】解： 1204(23)3056 （厘米）；66(65)3611396 （立方厘米） ；答：原来长方体的体积是396 立方厘米【名师点评】此题主要考查长方体的体积计算，解答的关键是理解表面积减少的只是侧面积，只要求出剩下部分正方体的棱长，再利用长方体的体积公式解答即可1有大、中、小三个正方体水池，它们的棱长分别是6 米、 3 米、 2 米，把两堆碎石分

14、别沉落在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6 厘米、 4 厘米，如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面将升高多少厘米（得数保留一位小数）【思路分析】有大、中、小三个正方形的水池，可知这三个水池底面都是正方形的，把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，可知底面是不变的，只是水面会升高，升高那部分水的体积就是所放碎石的体积，利 用长方体的体积公式长宽高求出两堆碎石的体积；再将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，底面变了，体积没变，水面升高的那部分水的体积就是两堆碎石的体积，那就用两堆碎石的体积除以大正方形水池的底面积即可求出【规范解答】解： 6 米600 厘米3 米300 厘米2 米

15、200 厘米放中池里碎石的体积：3003006540000 （立方厘米）放小池里碎石的体积：2002004160000 （立方厘米）两堆碎石总体积：540000160000700000 （立方厘米）大水池的水面升高： 700000(600600)1.9 （厘米）答：大水池的水面将升高大约厘米【名师点评】此题主要是利用规则图形长方体的体积公式，来将不规则固体借助水的流动性变成规则的形状，底面是不变的，水面升高那部分体积就是不规则物体的体积，再利用体积公式解答即可公众号：小升初数学压轴题天天练2 （ 2019 秋?东海县期末）有一个长方体容器（如图），长30 厘米、宽20 厘米、高10 厘米，里面

16、的水深6 厘米（最大面为底面），如果把这个容器盖紧，再朝左竖起来（最小面为底面），里面的水深应该是多少厘米【思路分析】先根据长方体的体积公式vabh ，求出长方体玻璃箱内水的体积，由于玻璃箱内水的体积不变，把水箱的左面作为底面，所以用水的体积除以左面那个面的底面积就是水面的高度，然后即可解答【规范解答】解： 30206(2010) ，3600200 ，18 （厘米），答：里面的水深应该是18 厘米【名师点评】解答此题应抓住水的体积不变，用水的体积除以玻璃箱的底面积（左面那个面的面积），就是水面的高度3 （2019? 温江区）有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209 ，如果它的长、宽、高都

17、是质数，那么这个长方体的体积是【思路分析】正面和上面之和为209，所以长宽长高长（宽高）209 ，把209 分解因数为：2091119 ，又因为长、宽、高都是质数，（ 1）若长19 ，宽高11， 11 是奇数，只能分解成一个奇数一个偶数，而偶数中只有2 是质数，11只能分成29 ，而9 又不是质数，所以此情况不成立（ 2）若长11，宽高19 ，同样19 只能分成217 ，所以这个长方体的三个棱长分别为2、11、17，由此可以解决问题【规范解答】解：正面和上面之和为209 ，所以长宽长高长（宽高）209 ，把209 分解因数为： 2091119 ，又因为长、宽、高都是质数，（ 1）若长19 ，宽

18、高11， 11 是奇数，只能分解成一个奇数一个偶数，而偶数中只有2 是质数，11只能分成29 ，而9 又不是质数，所以此情况不成立（ 2）若长11，宽高19 ，同样19 只能分成217 ，所以这个长方体的三个棱长分别为2、 11、17 ，体积：21117 ，公众号：小升初数学压轴题天天练2217 ，374 ；答：这个长方体的体积是374；故答案为：374【名师点评】解答此题的关键：先根据题意，进行分析，判断出长、宽、高的长度，然后根据长方体的体积计算公式进行解答即可4 （ 2019 秋?泗阳县校级期中）一个长方体，如果高增加3 厘米，它就变成一个正方体，此时表面积就增加 48 平方厘米原来长方

19、体的体积是多少立方厘米【思路分析】根据题意可知，一个长方体如果高增加3 厘米，就变成了一个正方体；说明长和宽相等且比高大3 厘米，因此增加的48平方厘米是4 个同样的长方形的面积和；由此可以求长方体的长(484)34 厘米，由于长比高多3 厘米，那么高431 厘米，由此解答【规范解答】解：增加的1 个面的面积：48412 （平方厘米）长方体的长（宽) :1234 （厘米）长方体的高：431（厘米）体积：44116 （立方厘米）答：原来这个长方体的体积是16 立方厘米【名师点评】此题解答关键是求出长方体的长、宽，进而求出高；然后利用长方体的体积计算公式解答即可考点三：圆柱的表面积和体积的变与不变

20、【例 5】（ 2019? 深圳校级模拟）一个圆柱体底面周长和高相等，如果高缩短了2 厘米，表面积就减少平方厘米求这个圆柱体的表面积【思路分析】一个圆柱体底面周长和高相等，说明圆柱体侧面展开是一个正方形解题的关键在于求出底面周长，如图：高缩短2 厘米，表面积就减少平方厘米，用如图表示，从图中不难看出阴影部分就是圆柱体表面积减少的部分【规范解答】解：底面周长（也是圆柱体的高）:12.5626.28 （厘米），公众号：小升初数学压轴题天天练侧面积：6.286.2839.4384 （平方厘米），两个底面积：26.283.14()26.2823.14（平方厘米），所以表面积：39.43846.2845.

21、7184 （平方厘米），答：这个圆柱的表面积是平方厘米【名师点评】解答此题的关键是根据高2 厘米的侧面积求出这个圆柱的底面周长和高，据此再利用圆柱的表面积公式即可解答【例 6】（ 2019? 南阳模拟）六一儿童节，康康把一块橡皮泥揉成圆柱形，切成三块（如图1) ，表面积增加了平方厘米；切成四块（如图2) ，表面积增加了48 平方厘米请你算算圆柱形橡皮泥的体积是多少立方厘米【思路分析】如图：切成3 块，增加4 个面，表面积增加平方厘米，由此求出一个底面的面积，进而求出圆柱的底面半径；纵切，表面积增加4 以底面直径为长，以圆柱的高为宽的长方形的面积，由此求出一个长方形的面积，进而求出圆柱高，然后根

22、据：圆柱的体积底面积高，由此解答即可【 规范解答】解： 50.24412.56 （平方厘米）；假设圆柱的底面半径是r ，则212.56r，所以212.563.144r，所以2r（厘米）；圆柱的高：484(22)1243 （厘米）体积为：23.142312.56337.68 （立方厘米）答：圆柱形橡皮泥的体积是立方厘米【名师点评】此题考查了圆柱的知识，明确圆柱的切拼方法，是解答此题的关键【例 7】（ 2019? 上街区）有一个足够深的水槽，底面是长为16 厘米、宽为12 厘米的长方形，原本在水槽公众号：小升初数学压轴题天天练里盛有6 厘米深的水和6 厘米深的油（油在水的上方）如果在水槽中放入一个

23、长、宽、 高分别为8 厘米、8 厘米、 12 厘米的铁块，那么油层的层高是多少厘米【思路分析】首先根据长方体的体积长宽高，求出原来水槽中水的体积是多少；然后根据长方形的面积长宽，可得水槽的底面积是192(1612192) 平方厘米，铁块的底面积是64(8864) 平方厘米，用水槽的底面积减去铁块的底面积，求出放入铁块后水所占的底面积是128(19264128) 平方厘米，再用原来水槽中水的体积除以放入铁块后水所占的底面积，求出现在水的高度为9 厘米，所以仍然有3(1293) 厘米高的铁块在油里，求出这3 厘米高的铁块的体积为多少，再除以水槽的底面积就是油层增加的高度，再加上原来的高度6 厘米就

24、是此时油层的层高；据此解答【规范解答】解： (16126)(161288)1152(19264)11521289 （厘米）88(129)(1612)688319261921926167 （厘米）答：此时油层的层高是7 厘米【名师点评】此题主要考查了长方体的体积的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出在油里的铁块的高度是多少1 一个圆柱体零件，高10cm ， 如果沿着它的一条底面直径往下切，切成大小相同的两份，表面积增加280cm，那么原来这个圆柱体的表面积是多少2cm【思路分析】根据题意可知：把这个圆柱沿底面直径切成完全相同的两部分，表面积增加了80 平方厘米，表面积增加的是以圆柱的底面直径

25、为长、圆柱的高为宽的两个长方形的面积，由此可以求出圆柱的底面直径，再根据圆柱的表面积侧面积底面积2，把数据代入公式解答【规范解答】解：圆柱的底面直径：公众号：小升初数学压轴题天天练802104 （厘米），23.144103.14(42)2125.63.1442125.625.12150.72 （平方厘米）答：原来这个圆柱体的表面积是平方厘米【名师点评】此题主要考查圆柱的表面积公式的灵活运用，关键是求出圆柱的底面直径2如图所示，一个圆柱高4 厘米， 底面半径是2 厘米 如果将它的底面平均分成若干份，再切拼成一个和它等底等高的近似的长方体，表面积增加了多少平方厘米【思路分析】根据圆柱体积公式的推导

26、过程可知：把一个圆柱沿底面半径和高切开后再拼成一个近似长方体，拼成的长方体的底面积等于圆柱的底面积，拼成的长方体的高等于圆柱的高，虽然体积不变，但是拼成长方体的表面积比圆柱的表面积增加了以圆柱的高为长，圆柱的底面半径为宽的两个长方形的面积，根据长方形的面积公式：sab ，把数据代入公式解答【规范解答】解： 42216 （平方厘米）答：表面积增加了16 平方厘米【名师点评】此题考查的目的是理解掌握圆柱体积公式的推导过程，圆柱的表面积、长方体的表面积的意义，以及圆柱的表面积公式、长方体的表面积公式的灵活运用3 （ 2019? 成都）如图，将三个高都是1 米，底面半径分别是米、1 米、米的3 个圆柱

27、体组成一个物体求这个物体的体积求这个物体的表面积【思路分析】由题意可知：这个物体的体积就等于3 个圆柱的体积之和，利用圆柱的体积公式即可得解；这个物体的表面积是大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积，根据公式计算即可【规范解答】解：（ 1）2223.14(1.510.5 )1 ，公众号：小升初数学压轴题天天练3.14(2.2510.25) ，3.143.5 ，10.99 （立方米） ，答：这个物体的体积是立方米（ 2）大圆柱的表面积：23.141.5223.141.51，14.139.42 ，23.55 （平方米），中圆柱侧面积：23.14116.28 （平方米） ，小圆柱侧面积：23.140.

28、513.14 （平方米） ，这个物体的表面积：23.556.283.1432.97 （平方米）；答：这个物体的表面积是平方米【名师点评】此题主要考查圆柱的体积、侧面积、表面积公式及其计算4 （ 2019?临川区校级模拟）如图所示，某机器零件中间是一个棱长为2 厘米的正方体，两边各是圆柱体的一半，求这个零件的表面积和体积【思路分析】由图形可知：两个半圆柱拼成一个圆柱，它的表面积是圆柱的表面积加上正方体的4 个面的面积， 题的体积是圆柱与正方体的体积和根据圆柱的表面积侧面积底面积2，圆柱的体积底面积高，正方体的体积棱长棱长棱长，把数据代入公式解答【规范解答】解： 3.142222412.56162

29、8.56 （平方厘米） ；23.14(22)22223.141286.288公众号：小升初数学压轴题天天练14.28 （立方厘米）；答：这个零件的表面积是平方厘米，体积是立方厘米【名师点评】此题主要考查圆柱、正方体的表面积公式、体积公式的灵活运用5 （ 2019? 吉安县）一个酸奶瓶（如图），它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是立方厘米当瓶子正放时，瓶内酸奶高为8 厘米，瓶子倒放时，空余部分高为2 厘米请你算一算，瓶内酸奶体积是多少立方厘米【思路分析】因为瓶子的容积不变，装的酸奶的体积不变，所以正放与倒放的空余部分的体积应相同将正放与倒放的空余部分变化一下位置，可以看出酸奶瓶的容积应等于与它

30、的底面积相等、高为 8210厘米的圆柱的体积，因而酸奶占立方厘米的810，由此算出瓶内酸奶的体积【规范解答】解： 8210 （厘米），832.425.9210（立方厘米） ，答：瓶内酸奶体积是立方厘米【名师点评】解题的关键是将正放与倒放的空余部分变化一下位置，可以看出酸奶瓶的容积应等于与它的底面积相等、高8210 厘米的圆柱的体积，进而求出答案考点四：圆锥体积的变与不变【例 8】（2019? 益阳模拟）一个物体是由圆柱和圆锥黏合而成的（如图），如果把圆柱和圆锥重新分开，表面积就增加了250.24cm，原来这个物体的体积是()a3200.96cmb3226.08cmc3301.44cmd3401

31、.92cm【思路分析】根据题意可知：如果把圆柱和圆锥重新分开，表面积就增加了平方厘米，表面积增加的两个公众号：小升初数学压轴题天天练底面的面积，由此可以求出底面积，再根据圆柱的体积公式：vsh ，圆锥的体积公式：13vsh ，把数据分别代入公式求出它们的体积和即可【规范解答】解： 50.24225.12 （平方厘米）125.12625.12(126)31150.7225.1263150.7250.24200.96 （立方厘米）答：原来这个物体的体积是立方厘米故选：a【名师点评】此题主要考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式【例 9】（ 2019? 萧山区模拟）一个底面直径是4 厘米的

32、圆锥如图，从顶点沿着高将它切成两半后，表面积增加了24 平方分米这个圆锥的体积是多少平方厘米【思路分析】根据题意，把一个圆锥沿着高将它切成两半后，表面积增加了24 平方分米，增加了两个截面，每个截面都是以底为4 厘米，高为圆锥的高的三角形，根据三角形的面积计算方法求出三角形的高（圆锥的高），再根据圆锥体积公式：213vr h 据此解答【规范解答】解： 24 平方分米2400 平方厘米2400224120024600 （厘米）213.14(42)600313.14460033.148002512 （立方厘米）答：这个圆锥的体积是2512 立方厘米【名师点评】明确增加的两个面是以底为4 厘米，高为

33、圆锥的高的三角形，是解答此题的关键公众号：小升初数学压轴题天天练【例 10】（ 2019? 顺庆区）如图，abcd 是直角梯形，以ab为轴将梯形旋转一周，得到一个立体图形，这个立体图形的体积是多少立方厘米【思路分析】根据题意可知：以ab为轴旋转一周得到是一个上面是空心圆锥，下面是一个圆柱，圆锥和圆柱的底面半径都是2 厘米，圆锥的高是(85) 厘米，圆柱的高是8 厘米，根据圆锥的体积公式：13vsh ，圆柱的体积公式：vsh，把数据分别代入公式求出圆柱与圆锥的体积差即可【规范解答】解：如下图：2213.14283.142(85)313.14483.14433100.4812.5687.92 （立

34、方厘米），答：这个立体图形的体积是立方厘米【名师点评】解答求组合图形的体积，关键是考查分析图形是由哪几部分组成的，是求各部分的体积和，还是求各部分的体积差，再利用相应的体积公式解答1 （ 2019?揭阳）如图所示，直角三角形三条边分别长为3 厘米、 4 厘米、 5 厘米求绕斜边旋转一周后所形成的物体体积公众号：小升初数学压轴题天天练【思路分析】首先根据三角形的面积公式：2sah，求出这个三角形的面积，进而求出斜边上的高，绕斜边旋转一周所形成的几何体是两个底面半径为斜边上的高，两个圆锥高的和是5 厘米， 根据圆锥的体积公式：13vsh ，把数据代入公式解答【规范解答】解：斜边上高：3422512

35、52.4 （厘米），213.142.45313.145.765330.144 （立方厘米） ，答：绕斜边旋转一周后所形成的物体体积是立方厘米【名师点评】本题考查的知识点是旋转体，以及圆锥的体积公式的灵活运用，关键是求出斜边上的高2 （ 2019 春?江宁区月考）一个圆锥的底面周长是厘米，高是3 厘米从圆锥的顶点沿着高将它切成两半后，表面积之和比原圆锥的表面积增加了多少平方厘米【思路分析】从圆锥的顶点沿着高把他切成两半后，表面积比原来圆锥的表面积增加了2 个以圆锥的底面直径为底，以圆锥的高为高的三角形的面积，由此利用圆锥的底面周长厘米求出它的底面直径即可解决问题【规范解答】解：圆锥的底面直径为：

36、15.73.145 （厘米）；则切割后表面积增加了：532215 （平方厘米）；答：表面积之和比原来圆锥表面积增加15 平方厘米【名师点评】抓住圆锥的切割特点，得出增加部分的面积是2 个以底面直径为底，以圆锥的高为高的三角形的面积是解决此类问题的关键3 （ 2019? 吴川市模拟）如图：在长方体容器内装有水，已知容器内壁底面长为25 厘米，宽为20 厘米，现把小圆柱体和小圆锥体浸没于水中，水面上升了2 厘米如果圆锥和圆柱的底面积相等高也相等，圆维的体积是多少公众号：小升初数学压轴题天天练【思路分析】首先根据“排水法”求容器内水上升的体积，即圆柱和圆锥的体积之和再根据等底等高的圆柱的体积是圆锥体

37、积的3 倍，把圆锥的体积看作1 份，则圆柱的体积为3 份，据此解答【规范解答】解：圆锥和圆柱的体积和：252021000 （立方厘米）；1000(13)10004250（立方厘米），答：圆锥体的体积是250 立方厘米【名师点评】掌握等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3 倍这一关系是解答关键4 （ 2019?朝阳区）小红和小军分别以直角梯形的上底和下底为轴，将梯形旋转一周，得到两个立体图形（ 1）你同意谁的说法，请将名字填在横线里（ 2）甲、乙两个立体图形的体积比是多少（写出你的思考过程）【思路分析】 （ 1）我同意小红的说法，分别以直角梯形的上底和下底为轴，将梯形旋转一周，得到两个立体图形的体积

38、不相等以梯形的上底为轴旋转得到是高为6 厘米，底面半径是3 厘米的圆柱内有一个空心圆锥；而以梯形的下底为轴旋转得到的是上面是圆锥、下面是圆柱（ 2）根据圆柱的体积公式：vsh ，圆锥的体积公式：13vsh，分别求出两个立体图形的体积，进而求公众号：小升初数学压轴题天天练出它们体积的比【规范解答】解： （ 1）我同意小红的说法，分别以直角梯形的上底和下底为轴，将梯形旋转一周，得到两个立体图形的体积不相等以梯形的上底为轴旋转得到是高为6 厘米，底面半径是3 厘米的圆柱内有一个空心圆锥；而以梯形的下底为轴旋转得到的是上面是圆锥、下面是圆柱（ 2）甲的体积：2213.14363.143(63)313.

39、14963.14933169.5628.26141.3 （立方厘米）；乙的体积：2213.143(63)3.1433313.14933.1493328.2684.78113.04 （立方厘米） ；141.3:113.04(141.33.14) : (113.043.14)(459) : (369)5: 4答：甲、乙体积的比是5: 4故答案为：小红【名师点评】此题主要考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式小升初专项培优测评卷（二十）立体图形的表面积和体积1 （2019 春?南阳期中）如图，在密封的容器中装有一些水，水面距底部的高度是10cm 如果将这个容器公众号：小升初数学压轴题天天练

40、倒过来，你能求出这时水面距底部的高度是多少厘米吗【思路分析】因为等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的13，下面圆锥的高是6 厘米，把容器倒过来，水面在圆柱容器中的高是2 厘米，再加上原来圆柱中水的高(106) 厘米，即可求出这时水面距底部的高度据此解答【规范解答】解：高6 厘米的圆锥容器中水倒入等底的圆柱容器中高是632（厘米）2(106)246 （厘米），答：如果将这个容器倒过来，这时水面距底部的高度是6 厘米【名师点评】此题主要考查等底等高的圆柱和圆锥体积关系的灵活运用2 （ 2019?郑州）一个长方体水箱，高40 厘米，底面是边长为12 厘米的正方形（厚度忽略不计），水箱内有 25 厘米深的

41、水，现将一根长50 厘米的钢柱垂直地插入水箱中，使钢柱的底面与水箱的底面重合已知长方体钢柱横截面是边长为4 厘米的正方形，则水面会上升多少厘米【思路分析】设放入钢柱后水箱内的水深为h 厘米，此时底面积减少了4416 平方厘米，抓住放入铁块前后水箱内水的体积不变，即可列出一个含有h 的方程，由此即可解决问题【规范解答】解：设放入钢柱后水箱内的水深为h 厘米，根据题意可得：121225(121244)h3600128h28.125h28.125253.125 （厘米）答：水面会上升厘米公众号：小升初数学压轴题天天练【名师点评】此题考查了长方体容器的容积的计算方法，抓住放入铁块前后水箱内的水的体积不

42、变，是解决本题的关键3 （ 2019?衢州）在一个数学实验活动中先往一个长方体的容器中注水，水深厘米（如图）；然后将一根圆柱形冰柱垂直放入其中，于是水的高度上升到厘米，这时刚好有13冰柱浸没在水里，如图（ 1）整根冰柱的体积是多少立方厘米（ 2）已知冰化成水，体积减少原来的110，这根冰柱融化后将变成多少毫升的水（ 3）当冰柱完全融化时，容器内水深一共是多少厘米【思路分析】 （ 1）原来水柱只有厘米，因为“水面上升到厘米处”说明了冰柱插入水中水面上升了(5.54.4)厘米，用底面积乘以上升的水厘米的高度，就是13冰柱的体积，再求整个冰柱的体积即可（ 2）根据“冰化成水，体积减少原来的110，要求这根冰柱融化后将变成多少毫升的水，是把冰的体积看做单位“1” ，则水是原来冰柱的1(1)10，再根据求一个数的几分之几是多少用乘法计算，据此解答即可（ 3）因为13冰柱垂直放入长方体的容器中，使水的高度上升了：5.54.41.1 （厘米），所以根据整个冰柱化成水后的体积与上升的高度进行计算即可【规范解答】 （ 1）11010(5.54.4)331001.111103330 立方厘米（立方厘米）答：整根冰柱的体积是330 立方厘米；（