2019-2020学年四川省阆中中学高二上学期10月月考数学(理)试题(解析版)

1、2019-2020学年四川省闽中中学高二上学期10月月考数学(理)试题、单选题1.直线l的方程为 J3x 3y 1 0 ,则直线l的倾斜角为()A. 150B. 120C. 60D. 30【答案】A【解析】 直线l的倾斜角为，0,)，直线l的方程为J3x 3y 1 0 ,则k tan ,解得 3【详解】解：直线l的倾斜角为，0,)直线l的方程为 J3x 3y 1 0 ,则k tan 立，35解得5,6则直线l的倾斜角为150 ,本题考查了倾斜角与斜率的关系、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基 础题.2y 516 ,则圆G与，一22一2.已知圆 C1:x2 y 21,/C2：x2圆C

2、2的位置关系是()A .相离B.相交C.外切D.内切【答案】C【解析】C1( 2,2), r1 1 ,C2(2,5) , r24,C1C2 J( 2 2)2 (2 5)25 r1 r2，即两圆外切，故选 C.点睛：判断圆与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用圆心距与两半径和与差的关系.第7页共17页(2)切线法：根据公切线条数确定.(3)数形结合法：直接根据图形确定3.已知直线氐 y 1 0与直线2百xmy 3 0平行，则它们之间的距离是()A. 1B. -C. 3D. 44【答案】B【解析】由题意两直线平行，得 二金 m2,由直线J3x y 1 0可化为 2,3 m2 J3x 2y 2

3、0 ,再由两直线之间的距离公式，即可求解 .【详解】 由题意直线用x y 1 0与直线2j3x my 3 0平行，则*3 m2,2.3 m即2忌 2y 3 0,则直线73x y 1 0可化为2)3x 2y 2 0 ,所以两直线之间的距离为d|3 2.(2 3)2 225一，故选B.4求得m本题主要考查了两条平行线的距离的求解，其中解答中根据两直线的平行关系, 的值，再利用两平行线间的距离公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力, 属于基础题4.下列说法正确的是()A .平行的两条直线的斜率一定存在且相等B.平行的两条直线的倾斜角一定相等C.垂直的两条直线的斜率之积为一1D.只有斜率都存在

4、且相等的两条直线才平行【答案】B【解析】根据斜率定义判断k tan , 一可知倾斜角为一得直线无斜率可判断 a 22错误.当一条直线平行 x轴，一条垂直x轴时，两直线垂直，但垂直x轴的直线斜率不存在. 故C错误.当两条直线都垂直 x轴时，它们平行，但都不存在斜率，不能说斜率相等，故D错误.【详解】A错误.当两直线都与X轴垂直时，两直线平行，但它们斜率不存在.所以 由直线倾斜角定义可知 B正确,当一条直线平行 x轴，一条平行 y轴，两直线垂直，但斜率之积不为 -1,所以C错误,当两条直线斜率都不存在时，两直线平行,所以D错误，故选B.本题考查了直线斜率与倾斜角的定义.5.已知 ABC的三个顶点坐

5、标分别为A(2,6)、B(4,3)、C(23）,则点A至ij BC边的距离为9-2B 2C.2-55BC边所在直线的方程为y3,即 x+y+1 = 0；则 d =2 16 1122x y6.已知实数x ,y满足2yy2的最小值为（）1A .一5【答案】B4B.一5C.2.55D. 1【解析】作出可行域，利用 x2 y2的几何意义求解.作出可行域，如图 ABC内部（含边界），x2 y2表示可行域内点到原点距离的平方,由图可知，可行域内点到原点距离最小值为原点到直线2x y 2 0的距离为,2222，2 4d I丁 , x y的取小值为d 一 .22 1255故选B.【点睛】本题考查简单的二元一次

6、不等式组表示的平面区域，解题关键是利用目标函数的几何意义求解.7.在平面直角坐标系 xOy中，已知圆C:x2+y2+8x-m=0与直线x &y 1 0相交于A,B两点若ABC为等边三角形，则实数m的值为()【解析】求出圆心B. 12C. -11D. -124,0到直线的距离d,然后利用弦长公式，表示出弦长，再由4ABC为等边三角形得到 AB和d之间的关系，构造出关于 m的方程，求出答案【详解】22 一C: x 4 y 16 m,圆心C(-4, 0)到直线x 网 1 0的距离d所以弦长 AB 2出6 m (73)2 2J13 m,由AABC为等边三角形，所以 2#3 m J16 m ,解

7、得m=-12.故选D项.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离，圆的弦长公式，属于简单题8.在平面直角坐标系 xOy内，经过点P(2,3)的直线分别与x轴、y轴的正半轴交于A, B两点，则 OAB面积最小值为（B. 8C. 12D. 162 3 ,-1，再利用均值不等式得到三角形面积的 a b【答案】C【解析】设出直线方程，代入定点得到最小值.【详解】解:由题意设直线方程为-y1（a 0,b 0） , 231abab由基本不等式知2 3 2. 2 3 , a b . a b23.一即ab 24 （当且仅当 Ma 4,b 6时等号成立）. a b一 11又 S a b 24 1222

8、答案为C本题考查了直线截距式方程，利用均值不等式求最大最小值是常考题型229.若直线l将圆x y 4x 2y 0平分，且不通过第四象限，则直线 l斜率的取值范围是（）1 1 .A . 0,1B, 0,-C, 一，1D, 0,22 2【答案】B【解析】由直线l将圆平分得直线l过圆心（2,1）,再由直线l不经过第四象限，即可求解直线l的斜率的取值范围，得到答案.【详解】22由圆的万程x y 4x 2y 0 ,可知圆心坐标为（2,1）,因为直线l将圆平分，所以直线l过圆心（2,1）,又由直线l不经过第四象限, 所以直线l的斜率的最小值为0 ,斜率的最大值为kmax1，所以直线l的斜率的取值范围是0,

9、万,故选B.【点睛】本题主要考查了直线的斜率的取值范围的求法，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中认真审题，得到直线必过圆的圆心，再根据斜率公式求解是解答的关键，同时属于圆的性质的合理运用，着重考查了推理与计算能力，属于基础题10.点A、B分别为圆M： x2+(y3)2=1与圆 2仅一3)2+(丫8)2=4上的动点，点C在直线x+y= 0上运动，则|AC|+|BC|的最小值为()A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】A【解析】根据题意，算出圆 M关于直线 /¥ = h对称白圆P方程，当点C位于线段NM 上时，线段AB就是|AC|十|BC|的最小值.【详解】解：设M(0, 3)

10、关于直线%+ ¥=0的对称点为P(-3, 0),且N(3, 8)热| + BC| >PN|-l-2 =杼 + /7 = 7故选A.【点睛】本题是一道关于圆的方程的题目，解决问题的关键是根据图形得出AC|十 |BC|在什么情况下取得最小值.X 1,11 .已知a>0, x, y满足约束条件x+ y 3, 若z=2x + y的最小值为1,则a等于y a(x 3)A .-B. - C. 1 D. 2【答案】B【解析】由已知约束条件，作出可行域如图中4ABC内部及边界部分，由目标函数 z=2x+ y的几何意义为直线l: y=2x+ z在y轴上的截距，知当直线 l过可行域内的点B(

11、1, 2a)时，目标函数z= 2x+y的最小值为1 ,则22a=1,解得a=,故选B212 .如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1, 与间的距离是2,正三角形 ABC的三顶点分别在l1、l2、l3上，则 ABC的边长是()A. 2百B.C 3,17C . D.2.213第11页共17页【答案】D【解析】【详解】作高AE, BG, CF （如图），设 AD = x,则 AC=3x,工曰 m 3x33.3于DG x x 一，BG 3x x ,2222/ BDG = / CDF ,/ BGD= / CFD =90°, RtABDGRtACDF ,BGCF

12、DGDF3,3 x 即一2_2x2，DFDFDE23.313,3QAD2 AEDE2 11272827ADAC 3x 32, 213二、填空题13直线l1 :2x by 6 0与直线 l2 :x y a 0的交点为 2,2 ，则a b .【答案】 5【解析】（ 2,2）为直线l1 和直线 l2 的交点，即点（2,2）在两条直线上，分别代入直线方程，即可求出a， b 的值，进而得a+b 的值。【详解】因为直线l1 : 2x by 6 0 与直线 l2 : x y a 0的交点为 2,2 ，所以2 2 a 0， 2 2 2b 6 0，即 a 4 ， b 1 ，故 a b 5.【点睛】本题考查求直线

13、方程中的参数，属于基础题。xy014.已知实数x,y满足约束条件 x y 4 0,则z x y的最大值为 y1【答案】2【解析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的 ABC 及其内部， 再将目标函数z=x- y对应的直线进行平移并观察z的变化，即可得到z= x-y的最大值.【详解】xy0作出实数 x ， y 满足约束条件x y 4 0 表示的平面区域，y1得到如图的 ABC 及其内部，其中 A （1， 1） ， B （3， 1） ， C（ 2， 2）将直线l: z= x - y进行平移，当 l 经过点 B 时，目标函数z 达到最大值； z最大值=2;故答案为 2 -3-4-5【点睛】本题给

14、出二元一次不等式组，求目标函数z=x- y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于中档题.15.圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y - 14= 0的最大距离是 .【答案】8 .2【解析】先写出圆的标准方程，得圆心和半径，由几何法即可求出圆上的点到直线的最大距离.【详解】解：把圆的方程化为：(x-2) 2+ (y2) 2=18,圆心A坐标为(2, 2),半径r 372 ,最大距离d r2 2 141 13 72 5 衣 8衣，由几何知识知过 A与直线x+y- 14= 0垂直的直线与圆的交点到直线的距离最大或最小，本题主要考查直线和圆的位置关

15、系，考查数形结合思想，属于基础题.16.若直线l ： y x m上存在满足以下条件的点P:过点P作圆O : x2 y2 1的两条切线(切点分别为A,B),四边形PAOB的面积等于3,则实数m的取值范围是 【答案】2 5,2.5【解析】 通过画出图形，可计算出圆心到直线的最短距离，建立不等式即可得到m的取值范围.【详解】作出图形，由题意可知 PA OA, PB OB,此时，四边形 PAOB即为2SA。，而-1 3S PAO 2|PA|OA| 2,故|PA| 3,勾股定理可知|PO|P满足该条件，只需 O到直线的距离不大于 J10即可，即dJ10 ,而要是得存在点号而，所以| m| 275,故m的

16、取值范围是2>/5, 2套第19页共17页【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，意在考查学生的转化能力, 计算能力，分析能力，难度中等 .三、解答题17 .已知直线 li： ax 3y 1 0,l2：x (a 2)y 1 0.（I）若li £求实数a的值;（n）当11Pl2时，求直线11与l2之间的距离.2；（）2.23【解析】（I ）根据两直线垂直的等价条件可得所求.(n )先由l1 P l2求出a 3,然后根据两平行线间的距离公式求解.(I ) 1 11 : ax 3y 10,12：x (a 2)y 1l2a 1 3 (a 2) 0,13解得a 3 .

17、2(口) li : ax 3y 1 0,12 ：x (a 2)y 1 0,且 11PI2, a(a 2) 3 1且 a0,12 :3x 3y 3 011 :3x 3y 1 0,12 ：x y 1 0 ,即 11:3x 3y 1，直线11,12间的距离为d【点睛】3 12j32 323本题考查平面内两直线的位置关系的判定和距离公式，解答本题的关键是熟记相关公式，即：若 11: Ax By C10,12: A2xB2y C20,则 1112A1A2B1B20；11/ 12A1B2A2B1 且 A1C24&,或11/12A1B2A2B1 且 B1C2B2c1 .考查转化和计算能力，属于基础题

18、.18.平面直角坐标系中，已知点 A (2,1), B (1,3),动点P (x,y)满足PA J2| PB(I)求P的轨迹方程并指出它是什么曲线;(n )过A点的直线1与P的轨迹有且只有一个公共点，求直线1的方程.【答案】(I)x2 (y 5)2 10,以点(0,5)为圆心，J10为半径的圆；(II)3x y 5 0和 x 3y 5 0【解析】(I )直接由PA J21PB列式求得点P的轨迹的方程；(n)由直线与圆相切设直线方程有点到线距离公式求解即可【详解】(I)由已知得 7(x 2)2 (y 1)2 石 J(x 1)2 (y 3)2化简得 x2 y2 10y 15 0, 整理得 x2 (

19、y 5)2 10它是一个以点(0,5)为圆心， 而为半径的圆.(II) Q A在圆外，则1与圆相切，且斜率存在，设其方程为：y 1 k(x 2)整理得kx y 12k 0圆心(0,5)到直线l的距离d4 2kk2 1他解得k 3或3故l的方程为：3x y 5 。和x 3y 5 0本题考查轨迹方程，直线与圆的位置关系，熟记公式，准确计算是关键，是中档题19 .某工厂家具车间造 A、B型两类桌子，每张桌子需木工和漆工梁道工序完成.已知木工做一张 A、B型型桌子分别需要 1小时和2小时，漆工油漆一张 A、B型型桌子 分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过 8小时和9小时，而 工厂

20、造一张 A、B型型桌子分别获利润 2千元和3千元.(1)列出满足生产条件的数学关系式，并画出可行域；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？【答案】(1)见解析；(2)每天应生产 A型桌子2张，B型桌子3张才能获得最大利润.【解析】先设每天生产 A型桌子x张，B型桌子y张，利润总额为z千元，根据题意抽象出x, y满足的条件，建立约束条件，作出可行域，再根据目标函数z=2x+3y,利用截距模型，平移直线找到最优解，即可.2y y0.y【详解】x(1)设每天生产A型桌子x张，B型桌子y张，则3xx(2)设目标函数为：z 2x 3y把直线l :2x+3y 0向右上方平移至l的位置

21、时，直线经过可行域上点M ,且与原点距离最大，此时z2x 3y取最大值.x 2y 8解方程 J 得M的坐标为2,33x y 9答：每天应生产 A型桌子2张，B型桌子3张才能获得最大利润【点睛】本题主要考查用线性规划解决实际问题中的最值问题，基本思路是抽象约束条件，作出可行域，利用目标函数的类型，找到最优解.属中档题.20 .已知直线 li：mx 2(m 1)y 2 0, I2: x 2y 3 0, I3: x y 1 0是三条不同的直线，其中 m R.(1)求证：直线li恒过定点，并求出该点的坐标；(2)若以12, 13的交点为圆心，2石为半径的圆C与直线li相交于A, B两点，求AB的最小值

22、.【答案】(1)证明见解析；定点坐标 D 2,1 ; (2) 2月【解析】(1)将11整理为：m x 2y 2y 2 0,可得方程组，从而求得定点；(2)直线方程联立求得圆心坐标，将问题转化为求圆心到直线11距离的最大值的问题，根据圆的性质可知最大值为 CD ,从而求得 AB最小值.【详解】(1)证明：11 : mx 2 m 1 y 2 0,可化为：m x 2y 2y 20x 2y 0令，解得：x 2, y 12y 2 0直线11恒过定点D 2,1(2)将12：x 2y 3 0, 13：x y 1 0联立可得交点坐标 C 1,2设C 1,2到直线11的距离为d ,则AB 2" d2

23、2412 d2则求AB的最小值，即求d的最大值由(1)知，直线li恒过点D 2,1 ,则d最大时，CD l ,即dmax CDQ CD J 2 1 21 2 2 22AB min 212 2 2布【点睛】本题考查直线过定点问题的求解、 直线被圆截得弦长的最值的求解， 关键是能够根据圆 的性质确定求解弦长的最小值即为求解圆心到直线距离的最大值， 求得最大值从而代入 求得弦长最小值.21.已知直线 l : kx y 1 2k 0(k R).(1)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(2)若直线l交x轴负半轴于 A,交y轴正半轴于b ,求 AOB的面积的最小值并求此时 直线l的方程； 已知点P(1

24、,5)，若点P到直线l的距离为d ,求d的最大值并求此时直线l的方程.【答案】(1) 0,+ 8)(2) S的最小值为4,此时的直线方程为 x-2y+4=0; (3) d的最大值为5,此时直线方程为 3x+4y+2=0。【解析】(1)把已知方程变形，利用线性方程求出直线所过定点即可；化直线方程为斜截式，由斜率大于等于 0且在y轴上的截距大于等于 0联立不等式组求解；(2)由题意画出图形，求出直线在两坐标轴上的截距，代入三角形面积公式，利用基本不等式求最值；(3)当PMl时，d取得最大值，由两点的距离公式可得最大值，求得 PM的斜率，可得直线l的斜率，由点斜式方程可得所求直线l的方程.【详解】(

25、1)由 kx- y+1+2k=0,得 k(x+2)+(- y+1)=0 ,x 2 0 x 2联立/ c，解得1 y 0 y 1则直线 l:kx-y+1+2k=0 过定点 M(-2,1)；由 kx-y+1+2k=0,得 y=kx+1+2k,k 0要使直线不经过第四象限则，解得k?0。1 2k 0，k的取值范围是0,+ 00(2)如图,(1)求圆C的方程;第21页共17页由题意可知，k>0,在 kx- y+1+2k=0 中，取 y=0,得 x1 I I ISaob - OA| |OB1 2k ,k21 k取 x=0,得 y=1+2k,2k4k2 4k 112 k2 '2k 2K2k2k4。一.1当且仅当2k ，即k2k1 ,时等号成立。2，S的最小值为4,此时的直线方程为12x-y+2=0,即x-2y+4=0。(3)点P(1,5),若点P到直线l的距离为d,当PMl时,d取得最大值，且为J 1 2 25 1 2 5,由直线PM的斜率为U33可得直线直线l的斜率为则直线l的方程为y 1即为 3x+4y+2=0。本题考查直线横过定点问题,考查利用基本不等式求最值，以及数形结合思想