2019-2020学年福建省泉州市高二上学期期末数学试题(解析版)

1、2019-2020 学年福建省泉州市高二上学期期末数学试题一、单选题r r r r1已知向量 a 1, 2,3 ,b x，2，3 若 ar /br ，则 x （ ）A -1B 0C1D 2【答案】 C【解析】 根据空间向量平行的等价条件，列出方程，即可求得本题答案 .【详解】r r 1 2 3 因为 a/b ，根据空间向量平行的等价条件，有，得 x 1.x 2 3故选： C【点睛】 本题主要考查空间向量平行的等价条件，属于基础题 .2在等差数列 an 中，若 a3 a7 10，a6 7 ，则公差 d （ ）A 1B 2C3D 4【答案】 B【解析】 把a3,a6,a7用a1,d 表示出来，根据

2、题目条件列出方程组，即可求得本题答案【详解】a1 2d a1 6d 10 在等差数列 an 中，因为 a3 a7 10, a6 7 ，所以 1 1 ，求得a1 5d 7a1 3 d 2 .故选： B【点睛】 本题主要考查等差数列通项公式的应用，属于基础题 .3过点 M 2， 3 且与直线 x 2y 90平行的直线方程是（)D x 2y 1 0A 2xy8 0B x 2y 70 C x 2y 40【答案】C【解析】设所求的直线方程为 x 2ym 0 ，代入点 M （2,3)，即可求得本题答案 .详解】因为所求直线方程与直线 x 2y 9 0 平行，所以可设为 x 2y m 0 ，又因为经过 点

3、M (2, 3) ，代入可得 m 4 ，则所求直线方程为 x 2y 4 0. 故选： C【点睛】 本题主要考查直线方程的求法，属于基础题 .4已知各项均为正数的等比数列an 单调递增， 且 a1 a336， a1 a2 a3 26，则第 7 页 共 18 页a4 (A 24B 36C48D 54【答案】 D【解析】 由 a1 a3 36可求得 a2的值，然后通过解方程组求得 a1, a3的值，进而可得到 本题的答案 .【详解】因为 a1 a3 36 ，且 an 为各项是正数的等比数列，得 a26，所以a1a1a3 3620，a3a1由于 an 为递增的等比数列，可得 1a3218，根据 a1

4、a4a2 a3 ，得a454.故选： D点睛】本题主要考查等比数列的性质，属于基础题x25若双曲线 C:42by2 1经过点6，4 ，则 C的渐近线方程是(答案】解析】详解】2 2xB y 2xD代入点 ( 6, 4) ，可求得双曲线的标准方程，进而可得本题的答案2把点( 6,4)代入 x4 by2 1，可得 b2 32 ，所以双曲线的标准方程为2 y2 1 ， 3222令 x y 0 ，可求得双曲线的渐近线方程为4 32y 2 2x.故选： A【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程的考法，属于基础题6记 Sn 为数列 an 的前 n 项和若点 an,Sn ，在直线 xy 6 0上，则 S4(

5、)9254540ABCD2489【答案】CS1,n 1【解析】由题可得，an Sn 60 ，根据 an，可求得 an为等比SnSn 1,n2n数列，进而可求得本题答案 .【详解】因为点 an,Sn 在直线 x y 6 0上，所以 an Sn 6 0 . 当 n 1 时， a1 S1 6 0 ，得 a1 3 ；当 n 2 时，an Sn 60 ， an 1Sn 160 ， -得，an 1 ， an 1 2 ，所以数列 an为等比数列，且公比 q12，首项a1 3 ，则 S4a1 11q112458故选：点睛】 本题主要考查根据 an , Sn的关系式求通项公式 an 的方法.7已知正四棱锥的底面

6、边长为 2 ，高为 3 ，则此四棱锥的侧棱与底面所成角的大小为()A 30 °B 45°C60°D75【答案】C【解析】求出PAO 的大小，即可得到本题的答案 .【详解】在正四棱锥 P ABCD 中，连接 AC，BD 交于点 O，再连接 PO，因为 P ABCD 是 正四棱锥，所以 PO 与底面 ABCD 垂直，则 PAO为侧棱与底面所成角，由题有，AB 2 ， PO 3 ，因为 ABCD 为正方形，所以 AO 1 ，在 Rt AOP 中，POtan PAO 3 ，解得， PAO 60 .AO故选： C【点睛】 本题主要考查直线与平面所成角的求法，属基础题 .8若

7、抛物线 x2 8y上一点 P x0，y0 到焦点的距离是该点到 x轴距离的 2倍，则 y0 （）1A B 2C1D 22【答案】 D【解析】 利用抛物线 x2 2py 上的点 x0,y0 到焦点的距离为 y0 2p ，列出方程，可 求得本题答案 .【详解】因为 P x0,y0 到焦点的距离 d y0 2 ，则 y0 2 2y0，解得 y0 2 故选： D【点睛】 本题主要考查利用抛物线的定义求抛物线上的点的坐标，属基础题 .9已知圆 C 与直线 x y 0及 x y 2 0 均相交，若四个交点围成的四边形价为正 方形，则 C 的半径为（ ）A 3B 2C2D 1【答案】 D【解析】 正方形的对

8、角线即圆的直径，求出对角线的长即可得到本题答案 .详解】 因为直线 x y 0与直线 x y 2 0 互相平行，20所以两直线之间的距离 d 2 ，12 12由题意，圆 C 与两直线相交，四个交点围成的四边形为正方形， 则两平行线之间的距离即为正方形的边长，正方形的对角线即圆的直径222设圆的半径为 r ，有 2r 2 2 2 ，解得 r 1 ， 故选： D【点睛】 本题考查直线与圆的综合应用问题，属于中档题10 圆锥曲线与空间几何体具有深刻而广泛的联系，如图所示，底面半径为1，高为 3是以 F 为一个的圆柱内放有一个半径为 1 的球，球与圆柱下底而相切， 作不与圆柱底面平行的平面 与球相切于

9、点 F ，若平面 与圆柱侧面相交所得曲线为封闭曲线焦点的椭圆，则 的离心率的取值范围是（ ）3344A ，1B 0，C 0，D ，15555【答案】 B【解析】 考虑 与底面趋于平行和 与底面的夹角最大两种情况，即可确定离心率的取值范围 .【详解】当 与底面趋于平行时，几乎成为一个圆，因此离心率可以充分接近0当 与底面的夹角最大时，的离心率达到最大，下面求解这一最大值如图， A, B为长轴， F 为焦点时， e最大 a c BF BG 2，易知 b 1，所以5 a430,5， e 则离心率的取值范围是 35 c4本题主要考查圆锥曲线与空间几何的综合应用问题，难度稍大 二、多选题11记 Sn为等

10、差数列 an 的前 n 项和若 a1 3a5 S7 ，则以下结论一定正确的是（）A a4 0B Sn的最大值为 S3C S1 S6D a3 a5【答案】 AC【解析】 由 a1 3a5 S7，可得 a4 0 ，进而逐项判断，可得本题答案 .【详解】设等差数列an的公差为 d ，则 a13a14d7a121d ，解得a13d ，所以 an a1 n 1 d n 4 d ，所以 a4 0 ，故 A 正确；因为 S6 S1 5a4 0 ，所以 S1 S6 ，故 C 正确；由于 d 的正负不清楚，故 S3 可能为最大值或最小值，故 B 不正确；因为 a3 a5 2a4 0 ，所以 a3a5 ，即 a3

11、 a5 ，故 D 不正确故选： AC【点睛】本题主要考查等差数列的综合应用问题，属中档题 .12如图，正三棱柱 ABC A1B1C中， BC1 AB1、点 D为 AC中点，点 E为四边形BCC1B1内（包含边界）的动点则以下结论正确的是（uuur 1 uuur uuur uuurA DAA1A B1A BC2 1 12 B若 DE /平面 ABB1A1 ，则动点 E的轨迹的长度等于2 AC2C异面直线 AD与 BC1，所成角的余弦值为D若点 E到平面 ACC1 A1 的距离等于3 EB ，则动点2E的轨迹为抛物线的一部分答案】 BCD解析】 根据空间向量的加减法运算以及通过建立空间直角坐标系求

12、解，逐项判断，进 而可得到本题答案 【详解】uuur 1 uuur uuur uuur解析：对于选项 A， ADA1A B1A BC ，选项 A 错误；2 1 1对于选项 B，过点 D作AA1的平行线交 A1C1于点 D1uuur uuur uuuur以 D 为坐标原点， DA,DB,DD1 分别为 x, y, z轴的正方向建立空间直角坐标系 Oxyz 设棱柱底面边长为a，侧棱长为 b，则A a2,0,0，B0,a,0B10, 3 a,b22 AC 选项 B 正确2auuuura,3uuura,3C1,0, b，所以 BC1a, b ，AB1a,b22222uuuur uuurBC1 AB1，

13、 BC1 AB10，即a23a 2 b2 0，a b 0 ，解得b2a222因为 DE/ 平面 ABB1 A1 ，则动点 E的轨迹的长度等于 BB1对于选项 C，在选项 A 的基础上，A a2,0,0 ，B 0, 23a,0 ，D 0,0,0a 2 uuur a uuuur C1,0, a ，所以 DA ,0,0 ， BC11 2 2 2 12 uuuuruuurauuuur uuurBC1DA2因为 cosBC1, DAuuuur1uuur1| BC1 | DA | a 6a角的余弦值为 6 ，选项 C 正确6a,- 3 , 2 ， ,- a, a ，2 2 26 ，所以异面直线6BC1,D

14、A所成对于选项 D，设点 E在底面 ABC 的射影为 E1，作E1F垂直于 AC ，垂足为 F，若点 E到平面 ACC1A1的距离等于 3 EB ，即有 E1F3 EB ，又因为在 CE1F 中，22E1F3 E1C ，得 EB2E1C ，其中 E1C 等于点 E 到直线 CC1的距离， 故点 E 满足第 16 页 共 18 页抛物线的定义，另外点 E为四边形 BCC1B1内（包含边界）的动点，所以动点 E 的轨迹 为抛物线的一部分 ,故 D 正确 .故选： BCD点睛】 本题主要考查立体几何与空间向量的综合应用问题，其中涉及到抛物线定义的应用三、填空题213抛物线 x24y 的焦点坐标是 ，

15、准线方程是 答案】 0， 1y 1解析】 根据抛物线 x22py 的焦点坐标为0, p ，准线方程为 y p ，可得本22详解】因为抛物线的标准方程为 x24y，得 p 2 ，所以其焦点左边为 (0, 1) ，准线方程为 y 1.故答案为： 0，1 ； y 1【点睛】 本题主要考查抛物线的焦点坐标和准线方程，属于基础题 .14记 Sn为各项均为正数的等比数列an 的前 n项和若 a1 a2 3，a3 a4 12 ，则公比 q ， S6 【答案】 2 63【解析】 两个式子相除可求得 q，代入 式可求得 a1 ，最后可得本题答案 .【详解】因为等比数列 an 的各项均为正数， a1 a2 3，a

16、3 a4 12，÷得，q= 2， a1 1 q61 26代入 ，可得 a1 1，所以 S6 1 1 2 63.6 1 q 1 2故答案为： 2； 63【点睛】 本题主要考查等比数列通项公式与求和公式的综合应用，属基础题 .2215已知圆 C:x2 y 21，则圆心 C到直线 l :3x y 12 0的距离为若P为l上任意一点， 过P作C的切线，则切线长最短时的切线方程为答案】 10 y 3或 3x 4y 3 0【解析】易得圆心为 (0, 2) ，直接利用点到直线的距离公式可得第一空的答案；当|PC |取最小值时， 切线长最短， 先求出 PC 的直线方程， 联立两个直线方程确定点 P

17、的坐标， 利用圆心到切线的距离等于半径长，求出切线斜率即可得到第二空的答案 .【详解】第一空解析：易得圆心为 (0, 2) ，所以圆心 (0,2)到直线 3x y 12 0的距离|232 1212| 10第二空解析： 设切线长为 L，则LPC2 1 ，所以当切线长 L取最小值时， PC 取最小值，过圆心 C 0，2 作直线 l 的垂线，则点 P 为垂足点，此时，直线 PC的方程为 x 3y 6 0 ，3x y 12 0 x 3联立 ，得，点 P 的坐标为 3，3 x 3y 6 0 y 32 3 3k 3由题意可得 1，解得 k 0或k 3 ，由题意可得k2 1 ，解得 或k 4 ，此时，所求切

18、线的方程为 y 3或3x 4y 3 0 故答案为： 10 ； y 3或 3x 4y 3 0【点睛】本题考查过点的圆的切线方程的求解， 考查圆的切线长相关问题， 在过点引圆的切线问 题时， 要对直线的斜率是否存在进行分类讨论， 另外就是将直线与圆相切转化为圆心到 切线的距离等于半径长，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题16 几位大学生响应国家的创业号召， 开发了一款面向中学生的应用软件 为激发大家 学习数学的兴趣， 他们推出了 “解数学题获取软件激活码 ”的活动。 这款软件的激活码为面数学题的答案：记集合Akxxak2kk1ak 1 210a1 2 a0 2 ，k N ，ak 1，a0，a

19、1， ， ak 1 0或1例如： A12，3 ， A2 4，5，6，7，若将集合A4的各个元素之和设为该软件的激活码，则该激活码应为 定义 f xAk 现0，x的表达式中 a0， a1，a2， ， ak等于1的个数为偶数1，x的表达式中 a0，a1， a2， ， ak 等于1的个数为奇数指定 k 5 ，将集合 x f x 1，x Ak 的元素从小到大排列组成数列cn ，若将cn 的各项之和设为该软件的激活码，则该激活码应为 【答案】 376 760【解析】令 a0a1a2a30 ，可得到A4 的最小元素为16，令 a0a1a2a31 ，Cn 的各项可以看成首位为可得到 A4 的最大元素为 31

20、，进而可得到第一空的答案；结合二进制表示，当k 5时，1的六位二进制数，求出 a4 1 ，符合条件 f(x) 1的有 8 个数，同理可得到其他情况的个数，即可得到本题答案详解】解析：集合A44n a4 2a33 2 123 a2 22 a1 21a0 20 ，当 a4 1 ，a0a1a2a3 0 时，n 16 ；当 a0 a1a2a3a41 时， n31；所以 A416，17，18，31 共有 16 个元素，故激活码为16 16 31 376 ；结合二进制表示，当5时，Cn 的各项可以看成首位为1 的六位二进制数，对于 a4 1 ，符合条件 f1的有 8 个数，同理对于 a3 1 ， a2 1

21、， a11， a0 1 时，符合条件的也分别是 8 个数，故激活码为 16 25 8 24 23 22 24 20760故答案为： 376； 760点睛】本题非常巧妙的将实际问题与二进制融合在一起，读懂题目所表达的具体含义是解决本题的关键 .四、解答题2， a3是a1与 a7的等比中项27？17 已知公差不为零的等差数列an 满足 a11）求 an 的通项公式；2）是否存在 n 值，使得 an 的前 n项和 Sn【答案】（ 1） an n 1（ 2）存在【解析】（ 1）由 a1 2 ， a3 是 a1 与 a7 的等比中项，可算得 d，进而可求得 an 的通项公式；（ 2）列出等式求解，即可得

22、到本题答案 .【详解】解：（ 1）设 an 的公差为 d ，2因为 a3是a1与 a7的等比中项，所以 a32 a1 a72因为 a1 2 ，所以 2 2d 2226d ，解得 d 1 ，所以 an n 1 n 2 n 1nn3 n n 3（ 2）因为 Sn，令 27 ，n222则 n2 3n 54 0 ，解得 n6所以存在 n 为 6，使得 Sn 的值为 27【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的综合问题，属基础题 .18已如圆 C的圆心在直线 y 3上且 C经过点 A 4，2 ，D 0，2 （ 1）求 C 的标准方程；2）过点 P 1，1的直线 l被 C所截得的弦长为4，求 l 的方程答

23、案】（ 1） x222y 3 52) x1或 3x4y10解析】（1）设圆的方程为 x a y223 r ，代入点 A 4，2 ,D 0，2 ，求出方程组的解，即可得到本题答案；2）考虑斜率存在和不存在两种情况，求出满足题目条件的直线方程详解】1）设圆心 C a,3 ，圆 C 方程： x a y 3 r 2 由A 4,2 ,B 0,2 在C上有，224 a 2 32232ra，解得r2522圆 C 的方程为 x 2 y 3 5l 距离为 1，符合题意2）由已知得圆心 C到直线 l距离为 d 5 4 1当l斜率存在时，设 l :y 1 k x 1 ，即kx y k 1 0圆心 C到直线 l距离

24、d2k 3 k 1 3 1，解得 k 3 1 k2 4当 l 斜率不存在时，直线方程为x 1 ，此时圆心到直线3 故 l 方程为 y 1 x 1 ，即 3x 4y 1 0 4综合 有，所求直线方程为 x 1或3x 4y 1 0【点睛】 本题主要考查圆的标准方程以及已知圆的弦长求直线方程的问题，属基础题 .3 19已知顶点在坐标原点 O，焦点在 x轴上的抛物线 C 过点 ，6 2（ 1）求 C 的标准方程；（ 2）若直线 y x 4与C交于 A，B两点，证明： OA OB【答案】（ 1） y2 4x（ 2）证明见解析2）直线方程与抛物线方程联立消【解析】（ 1）把点 3， 6 代入抛物线方程 y

25、2 2 px ，求得 p，即可得到本题答案；y，利用韦达定理，证明 x1x2 y2y2 0 ，即可得到 本题答案 .【详解】231）解：设所求抛物线方程为y2 2px ,因为抛物线 C过点 32，6 ，所以 3p 6，解得 p 2 ，故所求抛物线方程为 y2 4x 2）联立方程组y2 4x ，消去 x，得 y2 4y 16 0 y x 4设 A x1,y1 ,B x2,y2 ，由方程 得：y1y216，2y1y24x14x2则 x1x222y1 y216uuur uuur16 ，所以 OA OBx1x2 y2 y2 0，所以 OA OB 联立直线方程与抛【点睛】本题主要考查抛物线标准方程的求法

26、以及直线与抛物线的综合问题，物线方程，利用韦达定理，逐步化简求解，是解决此类问题的关键 20 已知数列 an 满足 a1 1，nan 1 n 1 an 11）设 bn an ，求数列 bn 的通项公式； n2）求数列 2nan 的前 n项和 Sn 答案】（ 1） bn21n2) Sn2n3 2n 1 6解析】1）等式两边同除以 nn 1 ，再用累加法， 即可求得数列 bn 的通项公式；2）先求得 an2n 1，接着用错位相减的方法求前n 项和 Sn .详解】1）因为 nan 11，两边同除以an 1得 n 1n1an，令 bnann，则 bn 1bn1n1所以 b2b1112，b3b213，

27、b4 b3 3 bnbn1n 1 n，得 bnb11121231341 n1又因为b1a11，所以 bn2）annbn2n 1 ，令Cn2nan2n所以Sn1 213 22 5232n2n2Sn222 323 5 242n2n21 2 Sn 2 2 223+2n2nSn4 1 2n 1所以228 2n 12n 32n2n2n 1 2n 12n2n2n 11 2n2n1，2n，1，2n16，Sn2n 32n 1 6点睛】2第 18 页 共 18 页n 项和 .本题主要考查用累加法求数列的通项公式以及用错位相减的方法求数列的前21折纸与数学有着千丝万缕的联系， 吸引了人们的广泛兴趣 因 A4纸的长

28、宽比 2:1 称为白银分割比例，故 A4纸有一个白银矩形的美称现有一张如图1 所示的 A4纸EFCH ， EF :EH 2:1 A，B，C，D分别为 EF，FG，GH，HE 的中点，将其按折痕 AB，BC，CD，DA，AC 折起（如图 2），使得 E， F， G， H 四点重合，重合后的点 记为 S ，折得到一个如图 3所示的三棱锥 D ABC 记O为 AC的中点，在 SOB中， SP为 BO 边上的高第 24 页 共 18 页（ 1）求证： SP/ 平面 ACD ；（ 2）若M ，N分别是棱 AB，BC上的动点，且 AM BN 当三棱锥 B DMN 的体 积最大时，求平面 DAB 与平面 D

29、MN 所成锐二面角的余弦值【答案】（ 1）证明见解析2）3510解析】（ 1）通过证明 SP/DO ，可得到 SP/平面 ACD；（ 2）因为 VB DMN VD BMN 且三棱锥 D BMN 的高为定值，所以当 S BMN 最大时，三 棱锥 B DMN 的体积取得最大值，由此可确定M，N 两点为 AB，BC 的中点，接着通过建立空间直角坐标系求解，可得到本题答案 .【详解】（1）连接 DO 设 EH 4a，则 EF 4 2a ，翻折后的 BD DE FB 4a在 SAC中， SA SC 2 2a， AC 4a，O为 AC 的中点， SO 2a又在 SOB中， BS 2a,SP BO ， P

30、为 BO 的中点， SP/DO SP 平面 ACD ， DO 平面 ACD ， SP/ 平面 ACD 2)VBDMN VD BMN 且三棱锥 D BMN 的高为定值， S BMN 最大时，三棱锥B DMN 的体积取得最大值设 AM BN x 0 x 2 3a ，所以1S BMN BM BN sin MBN21 x 2 3a x sin MBN22x- 3a 3a2 sinMBN又 sinMBN 为定值， 当 x3a 时， SVBMN 最大，即三棱锥 BDMN 的体积最大此时 M,N 分别是 AB,BC上的中点，由（ 1）可得 SP DO ， SP BO，DO BO DA DC ， BA BC

31、， DO AC， BO AC uuur uuur uuur以 O为坐标原点， OA,OB, OD 分别为 x, y, z轴的正方向建立空间直角坐标系 Oxyz ， 则A 2a,0,0 ,B 0,2 2a,0 ,C 2a,0,0 ,D 0,0,2 2a ,M a, 2a,0 ，uuuur uuuur uuurN a, 2a,0 ，DMa, 2a, 2 2a ,NM 2a,0,0 ,DA 2a,0, 2 2a ，uuurAB 2a,2 2a,0 ur设平面 DMN 的一个法向量为 n1 x1,y1,z1 uv nuv1uuuuvDM uuuuv0，ax12ay1 2 2az1 0，n1NM02ax10，ur取 z11，则y1 2，x1 0， 平面 DMN 的一个法向量为n1 0,2,1uur设平面DAB的一个法向量为n2 x2, y2,z2 uuvn