数字控制系统采样过程与信号重构教学ppt课件

1、第第2 2章章 采样过程与信号重构采样过程与信号重构 由于数字计算机具有离散时间性质，因此采样是数字由于数字计算机具有离散时间性质，因此采样是数字控制系统的根本特征。本章将对采样过程的机理进展深化控制系统的根本特征。本章将对采样过程的机理进展深化地分析。采样实际包含不同采样类型：单速率采样、多速地分析。采样实际包含不同采样类型：单速率采样、多速率采样。本书仅讨论单速率采样系统，即采样周期率采样。本书仅讨论单速率采样系统，即采样周期T T 为常为常数的情况。数的情况。 根本概念：根本概念： 采样过程采样过程(Sample)：延续信号经采样开关转换为离散时间：延续信号经采样开关转换为离散时间信号的

2、过程。在数控系统中，是延续偏向信号信号的过程。在数控系统中，是延续偏向信号e(t) 经采经采样开关转换为离散时间信号样开关转换为离散时间信号e*(t) 的过程；的过程；信号重构信号重构(Signal reconstruction)：离散时间信号转换为延：离散时间信号转换为延续信号的过程。在数控系统中，是离散时间信号续信号的过程。在数控系统中，是离散时间信号u*(t)经经坚持器转换为延续控制信号坚持器转换为延续控制信号u(t)的过程。的过程。本章重点：本章重点：采样过程、信号重构机理及其数学描画。采样过程、信号重构机理及其数学描画。采样定理及采样周期采样定理及采样周期T 的选择。的选择。2.1

3、引言引言数控系统信号转换表示图及其简化数控系统信号转换表示图及其简化图图2-1-1 数控系统信号转换表示图数控系统信号转换表示图A/D数字数字控制器控制器坚持坚持器器对象对象或过程或过程r(t) e(t)u(t)y(t)e*(t)e(kT)u(kT)u*(t)2.2 采样过程采样过程延续信号延续信号f(t)经过经过采样开关后，转变为脉冲序列采样开关后，转变为脉冲序列f*(t)的过程。的过程。 1)(0, 0)(0,)(dtttttt 时时当当时时当当理想单位脉冲理想单位脉冲函数函数图图2-2-1 采样过采样过程程2.2.1 时域描画时域描画 采样周期采样周期T (单位单位s)闭合时间闭合时间

4、(s)采样角频率采样角频率采样频率采样频率)/(srads )(HzfssssfTTf 221 kttkTftf 0),()(*由图由图2-2-1可可得得)(tkTf 图图2-2-2 理想采样过程理想采样过程当当 T ，且，且T 远小于系统延续部分惯性时间常数时，可远小于系统延续部分惯性时间常数时，可将采样开关视为理想的，将采样开关视为理想的， 0。那么理想采样过程的时域描。那么理想采样过程的时域描画为：画为：理想采样过程的时域描画理想采样过程的时域描画 kkTtkTftf)()()(* kkTttf)()( 这个过程相当于模拟信号这个过程相当于模拟信号 f(t) 被被T(t)调制。调制。加权

5、函数加权函数)()(ttfT 为理想采样开关产生的脉冲序为理想采样开关产生的脉冲序列。理想采样开关相当于一个列。理想采样开关相当于一个理想脉冲发生器。理想脉冲发生器。式中 kTkTtt)()( 2.2.2 采样过程的频域描画采样过程的频域描画求求f*(t) 的的Fourier变换变换F*(j)，也即，也即f*(t) 的频谱。的频谱。对于周期信号对于周期信号f(t)，当满足狄里赫利，当满足狄里赫利Dirichlet条件时，条件时，f(t)可以用一个可以用一个Fourier级数来表示，其频谱级数来表示，其频谱F(j)是离散的。是离散的。为为基基准准角角频频率率式式中中：级级数数的的复复系系数数表表

6、达达式式为为022,)(1)(Fourier00 dtetfTdedtftjkTTkktjkk kkjkjdjFFourier)(2)(0 变变换换为为对对应应的的例：例：)()()(2)(21)cos()(000000 jjjjjkjdjFeettfkktjtj t)(tf00 )( jF nssnsTTjnjjnjTtFj)()(2)()( 。的的频频谱谱求求脉脉冲冲序序列列)()()( jkTttTkT 例：例： ntjnTTTTjnTTtjnknsntjnnsssseTtTdtetTdtekTtTdTedtfFourier 1)(1)(1)(12,)(22)0(22级级数数为为：可可以

7、以展展开开成成其其是是周周期期函函数数，t1)(tT )( jTs TT 20ss 20 dejFtfdtetfjFtjtj )(21)(Fourier)()(Fourier反反变变换换的的公公式式为为：变变换换的的公公式式为为：对于非周期信号对于非周期信号f(t)，T，其频谱，其频谱F(j )在在 -，+ 上都是延续的，不存在上都是延续的，不存在Fourier级数，只能利级数，只能利用用Fourier变换求变换求F(j ) 。例：例： jadteejFttfaetftjatat 1)()00)(0,)(0时时，当，当0 )( jF0t)(tf dtgftgtfjGjFtgtfFFourier

8、 )()()()(*)(*)(21)()(代代表表卷卷积积：式式中中有有下下式式成成立立变变换换的的频频率率卷卷积积定定理理，根根据据采样信号采样信号f*(t) 的的Fourier变换变换F*(j)即采样过程的频域描画即采样过程的频域描画求法一：求法一：)()(21)()()(*)(* jjFttfFtfFjFTT ) )(1()(1)(2)(21)()(21)(* nsnsnsTjnjFTjnjFTjnjTjFjjFjF nsTjnjTj)(2)( 又又求法二：求法二： ntjnTntjnTTssetfTttftfeTtFouriert )(1)()()(*1)()(级级数数展展开开：的的)

9、()(00 jjFtfeFFouriertj 变变换换的的频频移移定定理理有有根根据据又又 nsjnjFTjF)(1)(* 采样过程的频域描画表达式采样过程的频域描画表达式)(tT )( jTT0t ss nssTkTjnjjkTtt)()()()( )2()()()(1)(1)(*sssnsjjFjjFjFjjFTjnjFTjF )(* jFssss 232102123 )(*tft图图2-2-3 理想采样过程频域分析理想采样过程频域分析假设：信号假设：信号f(t)的的频谱频谱F(j)为有限为有限带宽，最高频率带宽，最高频率为为mms 2)1( 此时，高低频率此时，高低频率之间不发生混频之间

10、不发生混频(混叠混叠)景象。景象。 mm )( jF)(tftms 2)2( 此时，高低此时，高低频率之间发频率之间发生了混频景生了混频景象。象。)(tT )( jTT0t ss nssTkTjnjjkTtt)()()()( mm )( jF)(tft)2()()()(1)(1)(*sssnsjjFjjFjFjjFTjnjFTjF )(*tft )(* jFssss 232102123 采样过程中存在时域信息损失，采样过程中存在时域信息损失，T越小，采样信号越接近越小，采样信号越接近延续信号。延续信号。F*(j)可分为主频谱可分为主频谱n=0和高频和高频n0两部分，比两部分，比原信号频谱原信号

11、频谱F( j )派生周期为派生周期为 s 倍数的无限个高频频谱倍数的无限个高频频谱分量。分量。当当 s 2 m 时，在时，在F*( j )频谱中高低频不发生混频景频谱中高低频不发生混频景象；否那么出现混频景象。象；否那么出现混频景象。分析：分析：)(1tP)(2tP0246810121416-1-0.500.51t时域上的两信号及其采样点时域上的两信号及其采样点例例的的频频谱谱。，及及其其采采样样信信号号，时时，分分析析当当采采样样频频率率同同为为已已知知两两信信号号)()()()(19 . 02coscos)(1 . 02coscos)(*2*12122221111tPtPtPtPHzfHz

12、ftfttpHzftfttPs NoImage各点的采样值相同各点的采样值相同)()(2 . 0cos)2 . 0cos()2 . 02cos(8 . 1cos8 . 1cos)2cos()(2 . 0cos)2cos()(212211kTPkTPkkkkkkkTfkTPkkTfkTP 时域分析时域分析 nnsssssnjjFjnjFTjFffTf)2()(1)(*22111 ，频域分析频域分析 8 . 12)()()(2 . 02)()()(2222211111 fjjjjjPfjjjjjP原信号原信号 8 . 1,)2()2()(2 . 0,)2()2()(222*2111*1 nnnjj

13、jnjjjjPnjjjnjjjjP采样信号采样信号 2 . 0 2 . 0 0 n 8 . 1 8 . 10 n 2 . 2 8 . 1 1 n 8 . 3 2 . 0 1 n 2 . 2 8 . 11 n 2 . 0 8 . 31 n 2 . 22 n 2 . 2 2 n0 )(*1 jP0 )(*2 jP0 0 2 . 0 8 . 1 8 . 1 2 . 0 )(1 jP)(2 jP不发生混频景象不发生混频景象发生混频景象发生混频景象ms 2 ms 2 2.3 采样定理采样定理 在信号不混叠情况下，也即在信号不混叠情况下，也即s 2m时，采用如下低通滤波器可无失时，采用如下低通滤波器可无失

14、真地再现原信号。真地再现原信号。)()()(*tftftf)()()(* jFjFjF)( jG)(tg mm )( jF )(* jFssss 232102123 T1)(2/, 02/),(*)()(*)()(* jFjTFjGjFtgtfss 滤滤波波后后的的频频谱谱为为通通过过 2/, 02/,)(ssTjG 理理想想低低通通滤滤波波器器2/2/sin)()(1ttjGLtgss 对对应应2)()(sin)()()(*)(sNkNNkTtkTtkTfdtgftf ，根根据据时时域域卷卷积积定定理理有有 )( jGssss 232102123 T香农香农Shanon采样定理采样定理: 假

15、设假设m是模拟信号是模拟信号f(t)上限频率，上限频率， s为采样频率，那为采样频率，那么当么当 s 2m时，经采样得到的信号能无失真地再现原时，经采样得到的信号能无失真地再现原信号。信号。采样定理给出了采样频率下限，采样定理给出了采样频率下限，N= s /2 称为奈奎斯特称为奈奎斯特Nyquist频率。频率。留意：理想的低通滤波器留意：理想的低通滤波器G(s)是不存在的。是不存在的。留意：信号经过采样后只取采样点上的值。当留意：信号经过采样后只取采样点上的值。当s 2m ，信号发生混频，不同的延续信号可以得到一样的采样信号，信号发生混频，不同的延续信号可以得到一样的采样信号， f(t)的高频

16、信号有能够混叠在低频处，因此不再能不失真地的高频信号有能够混叠在低频处，因此不再能不失真地恢复原信号。恢复原信号。2.4 信号重构信号重构采样的逆过程采样的逆过程)632(2/)(2/)(sin)()()()()(* ksskTtkTtkTftfjFjGjF 上式成立的条件：上式成立的条件：需求信号为有限带宽；需求信号为有限带宽；采样周期满足采样定理；采样周期满足采样定理；需求需求k=- +的数据过去和未来的数据，物理不可实的数据过去和未来的数据，物理不可实现，因此不能运用于实践的数控系统。现，因此不能运用于实践的数控系统。 2/, 02/,)(ssTjG 采采用用理理想想低低通通滤滤波波器器

17、两类信号重构法：两类信号重构法：2.4.1 2.4.1 香农重构法：信号完全重构的条件为香农重构法：信号完全重构的条件为2.4.2 信号坚持法信号坚持法Signal hold 仅由原来时辰的采样值实现信号重构的仅由原来时辰的采样值实现信号重构的方法，即因果重构，就是信号坚持方法，即因果重构，就是信号坚持signal hold法，在工程上用坚持器实现。从数学法，在工程上用坚持器实现。从数学上说，坚持器是处理各采样点之间的插值问上说，坚持器是处理各采样点之间的插值问题，用外推方法题，用外推方法由过去时辰输入的采样由过去时辰输入的采样值值f(kT)，kt/T 外推现时辰外推现时辰 f(t)。Ttta

18、tataatkTftfnn 0,)()(2210 假设假设 ，那么实现上式的坚持器称，那么实现上式的坚持器称为为n阶坚持器。参数可由前阶坚持器。参数可由前n+1个时辰的采样值独一确定。个时辰的采样值独一确定。), 2 , 1(0niai 1 零阶坚持零阶坚持Zero-order holdTtkTfatkTftf 0)()()(0时域描画时域描画)( 1)( 1)(0, 00, 1)(*0Tttthkkt 求求得得脉脉冲冲响响应应为为输输入入 图图2-4-1零阶坚持器零阶坚持器输入、输出特性输入、输出特性u*(t)u(t)tt0 T 2T 3T 4T0 T 2T 3T 4T坚持器坚持器)(*t

19、)(0tht0)(*t tT0)(0thseessthLsGTsTsh 111)()(00则则其其传传递递函函数数为为2)(2)2sin()(00TjGTTTjGhh 相相频频特特性性幅幅频频特特性性 其缺乏是具有多个截止频率，能经过高频分量，其相频其缺乏是具有多个截止频率，能经过高频分量，其相频特性具有相位迟后。特性具有相位迟后。 22220002)2sin()(1)()00)(111)()(TjTjTjTjTjhTsTsheTTTjeeejejGttfjsseessthLsG 时时，当当条条件件频频率率特特性性零阶坚持器的频率特性：零阶坚持器的频率特性：)(0 jGhT理想滤波器理想滤波器

20、零阶坚持器零阶坚持器-180)(0 jGh 2 一阶坚持器一阶坚持器tTTkfkTfkTftfTaaTkfakTfTttaatkTftf )1()()()()1()(0)()(10010时时域域描描述述)21)(2( 1)22)( 1)( 12, 02,0,)(0)2(0)(1)0(0, 00, 1)(*1TTtTtTTtTtTtTttTTtTTtTTtTtTthTfTffkkt 代代入入上上式式可可得得求求脉脉冲冲响响应应为为输输入入 f(t)t图图2-4-4一阶坚持器输出特性一阶坚持器输出特性H1(t)12-1-T 0 T 2T t图图2-4-5一阶坚持器脉冲呼应一阶坚持器脉冲呼应零阶与一

21、阶坚持器比较如下图：零阶与一阶坚持器比较如下图：2111)1()()(sTesTTthLsGTsh 则则其其传传递递函函数数为为)(22122sin)(1)(TarctgTjheTTTTjGjs 频频率率特特性性 )(max0tfTeh 对两种坚持器来说，随着采样周期的减小，相对误差对两种坚持器来说，随着采样周期的减小，相对误差随之减小。用零阶坚持器重构要获得随之减小。用零阶坚持器重构要获得1%的相对误差，每的相对误差，每周期需采样周期需采样300个点。当采样点大于个点。当采样点大于20之后，采用一阶坚之后，采用一阶坚持器优于零阶坚持器。持器优于零阶坚持器。在数字控制中，零阶坚持器容易实现，是运用最广泛的在数字控制中，零阶坚持器容易实现，是运用最广泛的一种信号重构法。一种信号重构法。对一阶坚持器，假设对一阶坚持器，假设 f(t) 具有平滑的二阶导数具有平滑的二阶导数 f(t) ，采，采样后重构误差可