将军饮马的六种模型

1、qq教研群： 391979252；微信号： abc-shuxue;公众号：数学第六感；公众号：数学资料库qq 教研群： 391979252；微信号： abc-shuxue;公众号：数学第六感；公众号：数学资料库将军饮马的六种常见模型将军饮马问题线段和最短一六大模型1. 如图，直线l 和 l 的异侧两点a、b，在直线l 上求作一点p，使 pa+pb 最小。2. 如图，直线l 和 l 的同侧两点a、b，在直线l 上求作一点p，使 pa+pb 最小。3. 如图，点p 是 mon 内的一点，分别在om，on 上作点 a， b。使 p ab 的周长最小4. 如图，点p，q 为 mon 内的两点，分别在o

2、m，on 上作点 a，b。使四边形paqb 的 周长最小。5. 如图，点a 是 mon 外的一点，在射线on 上作点 p，使 pa 与点 p 到射线 om 的距离之和最小qq教研群： 391979252；微信号： abc-shuxue;公众号：数学第六感；公众号：数学资料库qq 教研群： 391979252；微信号： abc-shuxue;公众号：数学第六感；公众号：数学资料库6. .如图，点a 是 mon 内的一点，在射线on 上作点 p，使 pa 与点 p 到射线 om 的距离之和最小二、常见题目part1、三角形1如图，在等边 abc 中，ab = 6，adbc，e 是 ac 上的一点，

3、 m 是 ad 上的一点， ae=2，求 em+ec的最小值解：点 c 关于直线ad 的对称点是点b，连接 be，交 ad 于点 m，则 me+md 最小，过点 b 作 bhac 于点 h，则 eh = ah ae = 3 2 = 1，bh =22bcch=2263=3 3在直角 bhe 中， be =22bheh=22(3 3)1=2 72如图，在锐角abc 中， ab =4 2， bac45， bac 的平分线交bc 于点 d，m、 n 分别是ad 和 ab 上的动点，则 bm+mn 的最小值是 _解：作点b 关于 ad 的对称点b ，过点 b 作 b eab 于点 e，交 ad 于点 f

4、，则线段b e 长就是 bm的最小值在等腰rt aeb 中，根据勾股定理得到，b e = 4qq教研群： 391979252；微信号： abc-shuxue;公众号：数学第六感；公众号：数学资料库qq 教研群： 391979252；微信号： abc-shuxue;公众号：数学第六感；公众号：数学资料库3如图， abc 中， ab=2， bac=30，若在ac、ab 上各取一点m、n，使 bm+mn 的值最小，则这个最小值解：作 ab 关于 ac 的对称线段ab ，过点 b 作 b nab，垂足为 n，交 ac 于点 m， 则 b n = mb+ mn= mb+mn. b n 的长就是mb+mn

5、 的最小值，则b an = 2bac= 60， ab = ab = 2， anb= 90， b = 30。an = 1 ，在直角 ab n 中，根据勾股定理b n =3part2、正方形1如图，正方形abcd 的边长为8，m 在 dc 上，且 dm 2，n 是 ac 上的一动点， dn mn 的最小值为 _。即在直线 ac 上求一点 n，使 dn+mn 最小。解：故作点d 关于 ac 的对称点b，连接 bm，交 ac 于点 n。则 dnmnbnmnbm 。线段 bm 的长就是 dnmn 的最小值。在直角bcm 中， cm6，bc8， 则 bm10。故 dn的最小值是10 2如图所示，正方形ab

6、cd 的面积为12， abe 是等边三角形，点e 在正方形abcd 内，在对角线ac 上有一点p，使 pdpe 的和最小，则这个最小值为（）a2 3b2 6c 3d6qq教研群： 391979252；微信号： abc-shuxue;公众号：数学第六感；公众号：数学资料库qq 教研群： 391979252；微信号： abc-shuxue;公众号：数学第六感；公众号：数学资料库解：即在 ac 上求一点 p，使 pe+pd 的值最小。点 d 关于直线ac 的对称点是点b， 连接 be 交 ac 于点 p，则 be = pb+pe = pd+pe， be 的长就是 pd+pe 的最小值be=ab =2

7、 33在边长为2 的正方形abcd 中，点q 为 bc 边的中点，点p 为对角线ac 上一动点，连接pb、pq，则 pbq 周长的最小值为_（结果不取近似值）. 解：在 ac 上求一点p，使 pb+pq 的值最小点 b 关于 ac 的对称点是d 点，连接 dq，与 ac 的交点 p 就是满足条件的点dq = pd+pq = pb+pq ，故 dq 的长就是 pb+pq 的最小值在直角 cdq 中， cq=1 ，cd=2，根据勾股定理，得，dq=54如图，四边形abcd 是正方形，ab = 10cm，e 为边 bc 的中点， p 为 bd 上的一个动点，求pc+pe的最小值；解：连接 ae，交

8、bd 于点 p，则 ae 就是 pe+pc 的最小值在直角 abe 中，求得ae 的长为5 5part 3、矩形1如图，若四边形abcd 是矩形，ab = 10cm，bc = 20cm，e 为边 bc 上的一个动点，p 为 bd 上的一个动点，求pc+pd 的最小值；qq教研群： 391979252；微信号： abc-shuxue;公众号：数学第六感；公众号：数学资料库qq 教研群： 391979252；微信号： abc-shuxue;公众号：数学第六感；公众号：数学资料库解：作点 c 关于 bd 的对称点 c ，过点 c ，作 c bbc，交 bd 于点 p，则 c e 就是 pe+pc 的

9、最小值直角 bcd 中， ch=205直角 bch 中， bh=8 5bcc 的面积为： bhch = 160 c e bc = 2160 则 ce = 16part 4、菱形1如图，若四边形abcd 是菱形，ab=10cm， abc=45， e 为边 bc 上的一个动点，p 为 bd 上的一个动点，求pc+pe 的最小值；解：点 c 关于 bd 的对称点是点a，过点 a 作 aebc， 交 bd 于点 p，则 ae 就是 pe+pc 的最小值在等腰 eab 中，求得ae 的长为5 2part 5、直角梯形1已知直角梯形abcd 中，adbc，abbc，ad=2，bc=dc=5，点 p 在 b

10、c 上秱动，则当pa+pd 取最小值时，apd 中边 ap 上的高为（）a、21717b、41717c、81717d、3解：作点 a 关于 bc 的对称点a ，连接 a d，交 bc 于点 p则 a d = p a+ pd = pa+pd a d 的长就是pa+pd 的最小值sapd = 4在直角 abp 中， ab = 4，bp = 1 ，根据勾股定理，得ap=17ap 上的高为：48 1721717qq教研群： 391979252；微信号： abc-shuxue;公众号：数学第六感；公众号：数学资料库qq 教研群： 391979252；微信号： abc-shuxue;公众号：数学第六感；公

11、众号：数学资料库part 6、圆形1已知 o 的直径 cd 为 4， aod 的度数为60，点 b 是ad的中点，在直径cd 上找一点p，使bp+ap 的值最小，并求bp+ap 的最小值解：在直线cd 上作一点p，使 pa+pb 的值最小作点 a 关于 cd 的对称点a ，连接 a b， 交 cd 于点 p，则 a b 的长就是pa+pb 的最小值连接 oa ，ob，则 a ob=90，oa = ob = 4 根据勾股定理， a b=4 22如图， mn 是半径为1 的 o 的直径，点a 在 o 上， amn30， b 为 an 弧的中点， p 是直径 mn 上一动点，则papb 的最小值为

12、( ) a. 2 2b. 2c. 1d. 2解：mn 上求一点p，使 pa+pb 的值最小作点 a 关于 mn 的对称点a ，连接 a b，交 mn 于点 p， 则点 p 就是所要作的点a b 的长就是 pa+pb 的最小值连接 oa 、ob，则 oa b 是等腰直角三角形a b=2part 7、一次函数20一次函数y=kx+b 的图象与 x、y 轴分别交于点a（2，0） ，b（0，4） （1）求该函数的解析式；（2）o 为坐标原点，设oa、ab 的中点分别为c、d，p 为 ob 上一动点，求pcpd 的最小值，并求取得最小值时p 点坐标qq教研群： 391979252；微信号： abc-sh

13、uxue;公众号：数学第六感；公众号：数学资料库qq 教研群： 391979252；微信号： abc-shuxue;公众号：数学第六感；公众号：数学资料库解： ( 1) 由题意得： 0=2x+b，4=b解得k=- 2，b=4， y=- 2x+4( 2) 作点 c 关于 y 轴的对称点c ，连接 c d，交 y 轴于点 p则 cd=c p+pd = pc+pdc d 就是 pc+pd 的最小值连接 cd，则 cd=2，cc=2在直角 c cd 中，根据勾股定理cd=2 2求直线 c d 的解析式，由c(-1， 0) ，d(1，2) 有 0=- k+b，2=k+b解得k=1，b=1， y=x+1当

14、 x=0 时， y = 1，则 p( 0，1) part 8、二次函数1如图，在直角坐标系中，点a 的坐标为（ - 2，0） ，连结 0a，将线段oa 绕原点 o 顺时针旋转120。 ，得到线段 ob. （1）求点 b 的坐标；（2）求经过a、o、b 三点的抛物线的解析式；（3）在（ 2）中抛物线的对称轴上是否存在点c，使 boc 周长最小？若存在求出点c 坐标；若不存在，请说明理由 . 解： ( 1) b( 1，3) ( 2) y = 232 333xx( 3) 点 o 关于对称轴的对称点是点a，则连接ab，交对称轴于点c，则 boc 的周长最小y =232 333xx，当 x=- 1 时，

15、 y =33c(- 1，33 ) 2如图，在直角坐标系中，a，b，c 的坐标分别为（- 1，0） ， （3，0） ， （0， 3） ，过a， b，c 三点的抛物线的对称轴为直线l，d 为直线 l 上的一个动点，qq教研群： 391979252；微信号： abc-shuxue;公众号：数学第六感；公众号：数学资料库qq 教研群： 391979252；微信号： abc-shuxue;公众号：数学第六感；公众号：数学资料库( 1) 求抛物线的解析式；( 2) 求当 ad+cd 最小时点d 的坐标；( 3) 以点 a 为圆心，以ad 为半径作圆a；解： （ 1）证明：当ad+cd 最小时，直线bd 与

16、圆 a 相切；写出直线bd 与圆 a 相切时，点d 的另一个坐标。（ 2）连接 bc，交直线l 于点 d，则 da+dc = db+dc = bc，bc 的长就是ad+dc 的最小值bc：y=-x+3则直线 bc 与直线 x=1 的交点 d( 1，2) ，3抛物线y = ax2+bx+c( a0) 对称轴为x = - 1，与 x 轴交于 a、b 两点，与y 轴交于点c，其中 a(- 3，0) 、c( 0，- 2) （1）求这条抛物线的函数表达式（2）已知在对称轴上存在一点p，使得 pbc 的周长最小请求出点p 的坐标（3）若点 d 是线段 oc 上的一个动点（不与点o、点 c 重合）过点 d

17、作 de/ pc 交 x 轴于点 e，连接 pd、pe设 cd 的长为 m，pde 的面积为s求 s 与 m 之间的函数关系式试说明 s 是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由qq教研群： 391979252；微信号： abc-shuxue;公众号：数学第六感；公众号：数学资料库qq 教研群： 391979252；微信号： abc-shuxue;公众号：数学第六感；公众号：数学资料库 ( 1) 由题意得129302baabcc, 解得23432abc抛物线的解析式为224233yxx( 2) 点 b 关于对称轴的对称点是点a，连接 ac 交对称轴于点p，则 pbc 的周长最小 . 设直线 ac 的解析式为y= kx + b， a(- 3，0) ， c( 0， - 2)，则032kbb, 解得k=23，b=- 2直线 ac 的解析式为y =23x2把 x=- 1 代入得 y =43， p(- 1，43) ( 3) s 存在最大值de/ pc， oe/ oa = od/ oc ，即 oe/ 3 = ( 2- m)/ 2oe=3-32m ，ae=oaoe=32m方法一，连接