简单线性规划问题知识讲解

1、重庆市万州武陵中学重庆市万州武陵中学邓静邓静3.3.2-1简单线性规划简单线性规划(xin xn u hu)问题问题(一一)第一页，共37页。一一.复习复习(fx)回顾回顾1.在同一在同一(tngy)坐标系上作出下列直坐标系上作出下列直线线:2x+y=0;2x+y=1;2x+y=-3;2x+y=4;2x+y=7.02)0(2:平平行行的的直直线线与与形形如如结结论论 yxttyxxYo第二页，共37页。55x=1x-4y+3=03x+5y-25=01ABCC: (1, 4.4)A: (5, 2)B: (1, 1)Oxy问题问题(wnt)1(wnt)1：x x 有无最大（小）有无最大（小）值？值

2、？问题问题(wnt)2(wnt)2：y y 有无最大（小）有无最大（小）值？值？问题问题(wnt)3(wnt)3：2x+y 2x+y 有无最大有无最大（小）值？（小）值？1255334xyxyx2.作出下列不作出下列不等式组的所表等式组的所表示的平面区域示的平面区域2021-12-5第三页，共37页。二二.提出提出(t ch)问题问题把上面两个把上面两个(lin )问题综合问题综合起来起来:1255334xyxyx设设z=2x+y,求满足求满足(mnz)时时,求求z的最大值和最小值的最大值和最小值.2021-12-5第四页，共37页。55x=1x-4y+3=03x+5y-25=01ABCC:

3、(1.00, 4.40)A: (5.00, 2.00)B: (1.00, 1.00)Oxy.1255334. 1所表示的区域所表示的区域先作出先作出 xyxyx02 yx02:. 20 yxl作作直直线线Rttyxll ,2:. 30直线直线平行的平行的作一组与直线作一组与直线直线直线L L越往右平移越往右平移(pn(pn y),t y),t随之增随之增大大. .以经过点以经过点A(5,2)A(5,2)的直的直线线(zhxin)(zhxin)所对应所对应的的t t值最大值最大; ;经过点经过点B(1,1)B(1,1)的直线的直线(zhxin)(zhxin)所对应的所对应的t t值最小值最小.

4、.3112,12252minmax ZZ 可以通过比较可行可以通过比较可行(kxng)域域边界顶点的目标函数值大小得到。边界顶点的目标函数值大小得到。思考：还可以运用怎样的方法得到目标函数的思考：还可以运用怎样的方法得到目标函数的最大、最小值？最大、最小值？2021-12-5第五页，共37页。线性规划(guhu)问题：设z=2x+y，式中变量满足下列(xili)条件： 求z的最大值与最小值。 1255334xyxyx 目标(mbio)函数（线性目标(mbio)函数）线性约束条件象这样关象这样关于于x,yx,y一次一次不等式组不等式组的约束条的约束条件称为线件称为线性约束条性约束条件件Z=2x+

5、yZ=2x+y称为目标函数称为目标函数,( ,(因这里因这里目标函数为关于目标函数为关于x,yx,y的一次式的一次式, ,又称为线性目标函数又称为线性目标函数2021-12-5第六页，共37页。线性规划(xin xn u hu)线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题(wnt)，统称为线性规划问题(wnt) 可行(kxng)解 ：满足线性约束条件的解(x，y)叫可行(kxng)解； 可行域 ：由所有可行解组成的集合叫做可行域； 最优解 ：使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解。 可行域可行域2x+y=32x+y=12(1,1)(5,2)2021-12-5

6、第七页，共37页。1255334xyxyx设设z=2x+y,求满足求满足时时,求求z的最大值和最小值的最大值和最小值.线性目线性目标标(mbio)函数函数线性约线性约束条件束条件线性规线性规划划(xin xn u hu)问问题题任何一个任何一个(y (y )满足不等式满足不等式组的（组的（x,yx,y）可行解可行解可行域可行域所有的所有的最优解最优解目标函数所表目标函数所表示的几何意义示的几何意义在在y轴上轴上的截距或其相的截距或其相反数。反数。2021-12-5第八页，共37页。线性规划(xin xn u hu)例例1 解下列线性规划解下列线性规划(xin xn u hu)问题：问题： 求求

7、z=2x+y的最大值和最小值，使式中的最大值和最小值，使式中x、y满足下满足下列条件：列条件：11yyxxy解线性规划问题的一般步骤：第一步：在平面直角坐标系中作出可行(kxng)域；第二步：在可行(kxng)域内找到最优解所对应的点；第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值。探索结论2x+y=02x+y=-32x+y=3答案：当x=-1,y=-1时，z=2x+y有最小值3.当x=2,y=-1时，z=2x+y有最大值3. 也可以通过比较可行域边界顶点也可以通过比较可行域边界顶点的目标函数值大小得到。的目标函数值大小得到。2021-12-5第九页，共37页。线性规划(xin xn

8、 u hu) 例例2 解下列解下列(xili)线性规划问题：线性规划问题： 求求z=300 x+900y的最大值和最小值，的最大值和最小值，使式中使式中x、y满足下列满足下列(xili)条件：条件：探索(tn su)结论x+3y=0300 x+900y=0300 x+900y=112500答案：当x=0,y=0时，z=300 x+900y有最小值0.当x=0,y=125时，z=300 x+900y有最大值112500.0025023002yxyxyx2021-12-5第十页，共37页。课前练习课前练习(linx)(1)已知已知求求z=2x+y的最大值和最小值。的最大值和最小值。01y01-yx

9、0y-x2021-12-5第十一页，共37页。551Oxyy-x=0 x+y-1=01-1y+1=0A(2,-1)B(-1,-1)3max zmin3z 2021-12-5第十二页，共37页。例例1: 某工厂用某工厂用A,B两种配件生产甲两种配件生产甲,乙两种产品乙两种产品,每生产一件甲种产品使用每生产一件甲种产品使用4个个A配件耗时配件耗时1h,每生产一件乙种产品使用每生产一件乙种产品使用4个个B配件耗时配件耗时2h,该厂每天最多可从配件该厂每天最多可从配件厂获得厂获得(hud)16个个A配件和配件和12个个B配件配件,按每天工作按每天工作8小时计算小时计算,该厂所有可能的该厂所有可能的日生

10、产安排是什么日生产安排是什么? 若生产若生产1件甲种产品获利件甲种产品获利2万元万元,生产生产1 件乙种产品获利件乙种产品获利3万元万元,采用采用(ciyng)哪种生产安排利润最大哪种生产安排利润最大?把例把例1的有关的有关(yugun)数据列表表数据列表表示如下示如下:32利润(万元)821所需时间1240B种配件1604A种配件资源限额 乙产品 (1件)甲产品 (1件)产产品品消消 耗耗 量量资资 源源2021-12-5第十三页，共37页。2841641200 xyxyxy 0 xy4348将上面不等式组表示成平面上的区域将上面不等式组表示成平面上的区域, ,区域内区域内所有坐标所有坐标(

11、zubio)(zubio)为整数的点为整数的点P(x,y),P(x,y),安排生产任务安排生产任务x,yx,y都是有意义的都是有意义的. .解：设甲解：设甲, ,乙两种产品乙两种产品(chnpn)(chnpn)分别生产分别生产x,yx,y件件, ,由己知条件可得由己知条件可得: :问题问题(wnt)：求利润：求利润2x+3y的最大值的最大值.线性约束条件线性约束条件2021-12-5第十四页，共37页。2841641200 xyxyxy 0 xy434823yx M（4，2）142yx 问题问题(wnt)：求利润：求利润z=2x+3y的最大值的最大值.143224max Z变式：若生产一件甲产

12、品获利变式：若生产一件甲产品获利1万元，生产一件乙产万元，生产一件乙产品获利品获利3万元，采用哪种生产安排万元，采用哪种生产安排(npi)利润最大？利润最大？2021-12-5第十五页，共37页。2841641200 xyxyxy 0 xy434813yx N N（2 2，3 3）142yx 变式：求利润变式：求利润(lrn)z=x+3y的最大值的最大值.max23 311z 2021-12-5第十六页，共37页。解线性规划解线性规划(xin xn u hu)应用应用问题的一般步骤：问题的一般步骤：2）设好变元并列）设好变元并列(bngli)出不等式组和目标函出不等式组和目标函数数3）由二元一

13、次不等式表示的平面）由二元一次不等式表示的平面(pngmin)区域作出可行域；区域作出可行域；4）在可行域内求目标函数的最优解）在可行域内求目标函数的最优解1）理清题意，列出表格：）理清题意，列出表格：5)还原成实际问题还原成实际问题( (准确作图，准确计算准确作图，准确计算) )画出线性约束条件所表示的可行域，画图力保准确；画出线性约束条件所表示的可行域，画图力保准确；法法1 1：移在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法：移在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线； 法法2 2：算

14、线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，：算线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得（当两顶点的目标函数值相等时最优解落在一条也可能在边界处取得（当两顶点的目标函数值相等时最优解落在一条边界线段上）。此法可弥补作图不准的局限。边界线段上）。此法可弥补作图不准的局限。2021-12-5第十七页，共37页。例例2 2、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1 1车皮甲种车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐肥料的主要原料是磷酸盐4t4t、硝酸盐、硝酸盐18t18t；生产；生产1 1车皮乙种肥车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐

15、料需要的主要原料是磷酸盐1t1t、硝酸盐、硝酸盐15t15t。现库存磷酸盐。现库存磷酸盐10t10t、硝酸盐、硝酸盐66t66t，在此基础上生产这两种混合肥料。列出满，在此基础上生产这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学足生产条件的数学(shxu)(shxu)关系式，并画出相应的平面区域。关系式，并画出相应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利并计算生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？润？分析：设分析：设x x、y y分别分别(fnbi)(fnbi)为计划生产甲、乙两种混合肥料为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：的车皮数，于是满足以下

16、条件：xyo4 4 x x y y 1 1 0 01 1 8 8 x x 1 1 5 5 y y 6 6 6 6x x 0 0y y 0 02021-12-5第十八页，共37页。解：设生产甲种肥料解：设生产甲种肥料x x车皮、乙种肥料车皮、乙种肥料y y车皮，车皮， 能够产生利润能够产生利润Z Z万元。目标万元。目标(mbio)(mbio)函数为函数为Z Zx x0.5y0.5y，约束条件为下例不等式组，可行域如图红色阴影部分：约束条件为下例不等式组，可行域如图红色阴影部分：xyo答：生产甲种、乙种肥料答：生产甲种、乙种肥料(filio)(filio)各各2 2车皮，车皮，能够产生最大利润，最

17、大利润为能够产生最大利润，最大利润为3 3万元。万元。M容易容易(rngy)(rngy)求得求得MM点的坐标点的坐标为为（2 2，2 2），则），则ZmaxZmax3 34y1018x15y66x0y0 x线性约束条件线性约束条件2021-12-5第十九页，共37页。例例3 3、要将两种大小不同、要将两种大小不同(b tn)(b tn)规格的钢板规格的钢板截成截成A A、 B B、C C三种规格，每张钢板可同时三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示截得三种规格的小钢板的块数如下表所示 ： 规格类型规格类型钢板类型钢板类型第一种钢板第一种钢板第二种钢板第二种钢板A A规格规

18、格B B规格规格C C规格规格2 21 12 21 13 31 1今需要今需要A,B,CA,B,C三种规格的成品分别三种规格的成品分别(fnbi)(fnbi)为为1515，1818，2727块，问各截这两种钢板多少张可得所需块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少。三种规格成品，且使所用钢板张数最少。解：设需截第一种钢板解：设需截第一种钢板(gngbn)x(gngbn)x张、第二种钢板张、第二种钢板(gngbn)y(gngbn)y张，可得张，可得2021-12-5第二十页，共37页。x0y2x+y=15x+3y=27x+2y=18x+y =02x+y15,x+2y1

19、8,x+3y27,x0, xN*y0 yN* 经过可行域内的整点经过可行域内的整点B(3,9)和和C(4,8)且和原点距离且和原点距离最近最近(zujn)的直线是的直线是x+y=12，它们是最优解，它们是最优解.答答:(略略)作出一组平行作出一组平行(pngxng)直线直线z= x+y，目标目标(mbio)(mbio)函数函数z=x+yz=x+yB(3,9)C(4,8)A(18/5,39/5)打网格线法打网格线法在可行域内打出网格线，在可行域内打出网格线，当直线经过点当直线经过点A A时时z=x+y=11.4,z=x+y=11.4,但它不是最优整数解，但它不是最优整数解，将直线将直线x+y=1

20、1.4继续向上平移继续向上平移,2021-12-5第二十一页，共37页。2x+y=15x+3y=27x+2y=18x+y =0直线直线x+y=12x+y=12经过的整点经过的整点(zhn din)(zhn din)是是B(3,9)B(3,9)和和C(4,8)C(4,8)，它们是，它们是最优解最优解. . 作出一组平行作出一组平行(pngxng)(pngxng)直线直线z = z = x+yx+y，目标目标(mbio)(mbio)函函数数z = x+yz = x+yB(3,9)C(4,8)A(18/5,39/5)当直线经过点当直线经过点A A时时z=x+y=11.4,z=x+y=11.4,但它不

21、是最优整数解但它不是最优整数解. .作直线作直线x+y=12x+y=12x+y=12解得交点解得交点B,C的坐标的坐标B(3,9)和和C(4,8)调整优值法调整优值法2x+y15,x+2y18,x+3y27,x0, xN*y0 yN*x0y2021-12-5第二十二页，共37页。1. 1. 线性规划的讨论范围：教材中讨论了线性规划的讨论范围：教材中讨论了两个变量两个变量(binling)(binling)的线性规划问题，的线性规划问题，这类问题可以用图解法来求最优解，但涉这类问题可以用图解法来求最优解，但涉及更多变量及更多变量(binling)(binling)的线性规划问题的线性规划问题不能

22、用图解法来解；不能用图解法来解；2. 2. 求线性规划问题的最优整数解时，常求线性规划问题的最优整数解时，常 用用打网格线和调整优值的方法，这要求作图打网格线和调整优值的方法，这要求作图必须精确，线性目标必须精确，线性目标(mbio)(mbio)函数对应的函数对应的直线斜率与其他直线的斜率关系要把握准直线斜率与其他直线的斜率关系要把握准确确2021-12-5第二十三页，共37页。在在x,yx,y的的值值都都是是不不小小于于0 0的的整整数数 点点（x,y)x,y)中中，满满足足x+yx+y4 4的的 点点的的个个数数为为_Ex.Ex._15152021-12-5第二十四页，共37页。线性规划线

23、性规划(xin xn u hu)在实在实际中的应用：际中的应用：线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到(d do)应用应用:一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务的人力、物力、资金等资源来完成该项任务下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用：下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用： 2021-12-5第二十五页，共

24、37页。例4.营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物(shw)A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1食物(shw)B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物(shw)A和食物(shw)B多少kg？食物kg碳水化合物kg蛋白质/kg脂肪kgA0.1050.070.14B0.1050.140.07分析(fnx)：将已知数据列成表格2021-12-5第二十六页，

25、共37页。解：设每天食用解：设每天食用(shyng)xkg食物食物A，ykg食物食物B，总成本，总成本为为z，那么，那么00671461475770006.007.014.006.014.007.0075.010.0105.0yxyxyxyxyxyxyxyx目标目标(mbio)函数为：函数为：z28x21y作出二元一次不等式组所表示的平面作出二元一次不等式组所表示的平面(pngmin)区域，即可区域，即可行域行域2021-12-5第二十七页，共37页。把目标(mbio)函数z28x21y 变形为xyo5/75/76/73/73/76/72834zxy 它表示斜率为它表示斜率为随随z变化变化(b

26、inhu)的一组平的一组平行直线系行直线系34 是直线(zhxin)在y轴上的截距，当截距最小时，z的值最小。28zM 如图可见，当直线如图可见，当直线z28x21y 经过可行域经过可行域上的点上的点M时，截距最小，时，截距最小，即即z最小。最小。43yx 2021-12-5第二十八页，共37页。M点是两条直线点是两条直线(zhxin)的交点，解方程组的交点，解方程组6714577yxyx得得M点的坐标点的坐标(zubio)为：为：7471yx所以所以(suy)zmin28x21y16 由此可知，每天食用食物由此可知，每天食用食物A143g，食物，食物B约约571g，能，能够满足日常饮食要求，

27、又使花费最低，最低成本为够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元。元。2021-12-5第二十九页，共37页。例例6.某人准备投资某人准备投资1200万元兴办一所完全万元兴办一所完全(wnqun)中学。中学。对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位）班级为单位） 分别用数学关系式和图形表示分别用数学关系式和图形表示(biosh)上述限制条件。上述限制条件。若根据有关部门的规定，初中每人每年可收学费若根据有关部门的规定，初中每人每年可收学费1600元，元，高中每人每年可收学费高中每人每年可收学费2700元。那么开设初中班

28、和高中元。那么开设初中班和高中班多少个？每年收费的学费总额最多？班多少个？每年收费的学费总额最多？ 学段班级学生配备教师初中45226班2人高中40354班2人万元硬件建设万元教师年薪2021-12-5第三十页，共37页。把上面把上面(shng min)四个不等式四个不等式合在一起，合在一起，得到得到0y0 x042yx30yx20yx2030402030o 另外另外(ln wi)，开设的班级不能为负，则，开设的班级不能为负，则x0，y0。而由于而由于(yuy)资金限制，资金限制，26x54y22x23y1200 解：设开设初中班解：设开设初中班x个，高中班个，高中班y个。因办学规模以个。因办

29、学规模以2030个班为宜，所以，个班为宜，所以， 20 xy302021-12-5第三十一页，共37页。yx2030402030o 由图可以看出由图可以看出(kn ch)，当直线当直线Z7.2x10.8y经过经过可行域上的点可行域上的点M时，截距最时，截距最大，即大，即Z最大。最大。 设收取的学费总额为设收取的学费总额为Z万元，则目标万元，则目标(mbio)函函数数Z0.1645x0.2740y7.2x10.8y。Z7.2x10.8y变形为变形为它表示它表示(biosh)斜率为斜率为 的直线系，的直线系，Z与这条直线的截距有关。与这条直线的截距有关。54532zxy32M 易求得易求得M（20，10），则