扩频通信(3)n1

1、扩展频谱技术（扩展频谱技术（3）刘乃安N 西安电子科技大学综合业务网国家重点实验室扩频编码技术扩频编码技术内容提要伪随机编码概述伪随机编码概述m m序列序列GoldGold码码M M序列序列其它其它PNPN码码DSDS系统用伪码系统用伪码FHFH系统用伪码系统用伪码伪随机编码概述伪随机编码概述Shannon编码定理：只要信息速率Ra小于信道容量C，则总可以找到某种编码方法，使在码字相当长的条件下，能够几乎无差错地从遭受到高斯白噪声干扰的信号中复制出原发送信息。两个条件：1）RaC；2）编码字足够长。Shannon在证明编码定理时，提出了用具有白噪声统计特性的信号来编码。白噪声是一种随机过程，它

2、的瞬时值服从正态分布，功率谱在很宽的频带内都是均匀的，它有极其优良的相关特性。伪随机编码概述伪随机编码概述但是，真正的白噪声不能重复再现和产生，至今还无法实现对白噪声的放大、调制、检测、同步及控制等，因此，只能用具有类似于带限白噪声统计特性的伪随机码（PN码）来逼近它，并作为扩频系统的扩频码。为什么要选用随机信号或噪声性能的信号来传输信息呢？许多理论研究表明，在信息传输中各种信号之间的差别性能越大越好。这样任意两个信号不容易混淆，也就是说，相互之间不易发生干扰，不会发生误判。理想的传输信息的信号形式应是类似噪声的随机信号，因为取任何时间上不同的两段噪声来比较都不会完全相似。用它们代表两种信号，

3、其差别性就最大。 伪随机编码概述伪随机编码概述在数学上是用自相关函数来表示信号与它自身相移以后的相似性的。随机信号的自相关函数的定义为 f(t)为信号的时间函数，为时间延迟。上式的物理概念是f(t)与其相对延迟的 的f( t - )来比较: 如二者不完全重叠，即 0，则乘积的积分 a()为0； 如二者完全重叠，即0；则相乘积分后a(0)为一常数。因此，a()的大小可用来表征 f(t)与自身延迟后的f( t )的相关性，故称为自相关函数。 伪随机编码概述伪随机编码概述高斯白噪声的理想特性为)(2)(0nRn2)(0nGn伪随机编码概述伪随机编码概述设有两条长为N的序列a和b，序列中的元素分别为a

4、i和bi，i0，1，2，3，4，N-1，则序列的自相关函数Ra(j)定义为：10)(NijiiaaajR由于a为周期性序列，故有aN+1=ai。其自相关系数a(j)定义为： 101)(NijiiaaaNj伪随机编码概述伪随机编码概述PN码就是一种具有近似随机噪声这种理想二值自相关特性的码序列伪随机编码概述伪随机编码概述两个不同信号波形f(t)与g(t)之间的相似性用互相关函数来表示： 如果两个信号都是完全随机的，在任意延迟时间 都不相同，则上式（互相关函数）为0。这时称这两个信号是正交的。如果有一定的相似性，则不完全为0。通常希望两个信号的互相关值越小越好，则它们越容易被区分，且相互之间的干扰

5、也小。v有许多用户共用一个信道，要区分不同用户的信号，就得靠相互之间的区别或不相似性来区分。换句话说，就是要选用互相关性小的信号来表示不同的用户。伪随机编码概述伪随机编码概述序列a和序列b的互相关函数Rab(j)定义为 互相关系数定义为 10)(NijiiabbajR101)(NijiiabbaNj对于二进制序列，可以表示为NDAjab)( Aa和b的对应码元相同数目。 Da和b的对应码元不相同数目。若pab(j)=0，则定义序列a与序列b正交。伪随机编码概述伪随机编码概述序列a的部分相关函数和部分相关系数分别为序列a与序列b的部分互相关函数和部分互相关系数分别为 t为某一常数 111)()(

6、tPtijiiaPtPtijiiaPNPaaNjNPaajR111)()(tPtijiiabPtPtijiiabPNPbaNjNPbajR伪随机编码概述伪随机编码概述凡自相关系数具有 形式的码，称为狭义伪随机码 。10102011011)(NijiiNiiajNaaNjaNj伪随机编码概述伪随机编码概述凡自相关系数具有 形式的码，称为第一类广义伪随机码 。10102011011)(NijiiNiiajcaaNjaNj狭义伪随机码是第一类广义伪随机序列的一种特例 伪随机编码概述伪随机编码概述凡互相关系数具有 形式的码，称为第二类广义伪随机码 。0)(jabq狭义伪随机码、第一类广义伪随机码狭义伪

7、随机码、第一类广义伪随机码和第二类广义伪随机码统称为伪随机码。和第二类广义伪随机码统称为伪随机码。扩频伪随机码的特点扩频伪随机码的特点尖锐的自相关函数，而互相关函数接近于0，以利于接收时的截获与跟踪。随机性要好。足够长的码周期，以抗侦破、抗干扰。足够多的独立地址数，以实现码分多址。工程上易于产生、加工、复制和控制。伪随机码的构造伪随机码的构造双值自相关序列 若一个码长为p的周期序列，自相关函数满足11101)(paR称为双值自相关序列。属于广义伪随机码。若上式中pa1则为狭义伪随机码。伪随机码的构造伪随机码的构造双值自相关序列构造 双值自相关码由差集产生，因此，可用构造差集的方法构造双值自相关

8、码。差集设有一个模v的整数集V，V=0,1,2,v-1，存在一个含有k个元的子集D，D=d1, d2, dk,且di-dj(mod v) ij恰好遍取1,2,v-1各次。称子集D为差集，记为（v,k, ）。伪随机码的构造伪随机码的构造差集例子 设v=7,k=3, =1,则在整数集V=0,1,2,3,4,5,6中存在一个含有3个元的子集D=1,2,4，D具有差集性质。d1-d2 =1-2=-16d1-d3 =1-4=-34d2-d3 =2-4=-25d2-d1 =2-1=1d3-d1 =4-1=3d3-d2 =4-2=2同样，D=0,2,3也是V中的一个差集。伪随机码的构造伪随机码的构造定理 对

9、于给定的差集(v,k, )，可以写出 V=0,1,2,v-1 D=d1, d2, dk令 X=x0, x1, x2, xv-1为一长度等于V的码，且则， X=xi;i=0,1,2,v-1 是一个双值自相关的广义伪随机码，其自相关函数为DiDixi, 1, 11,.,2 , 1)(401)(vjvkvjjRx当v+1=4(k- )时，构造的是狭义伪随机码。伪随机码的构造伪随机码的构造例子 前述，v7,k3, 1有两个差集D1=1, 2,4和D2=0, 2,3，对应的双值自相关伪随机码为1,.,2 , 1717) 13(4701)(21vjjjRXX 或6 , 5 ,4 , 3 ,2 ,1 , 0

10、*1V6 , 5 , 4 ,3 ,2 , 1 ,0*2V1, 1, 1 , 1, 1 , 1 , 11X1, 1, 1, 1 , 1 , 1, 12X它们具有相同的双值自相关函数都是狭义伪随机码伪随机码的构造伪随机码的构造结论 只要给出差集，就可以很容易写出对应的伪随机码。在给定(v,k, )的条件下，要找出差集D不容易。如果整数集V的值很大时，用计算机来完成计算。狭义伪随机码的构造狭义伪随机码的构造L(Legendre)序列 L序列又称二次（平方）剩余序列，简称方余码。设i和p互素，记作(i,p)=1，若i (mod p)有解，则称整数i为模p的二次剩余；否则称i为模p的二次非剩余。当p4t

11、-1为素数（t为正整数）时，模p的二次剩余构成一个差集。因此，存在周期为p的L序列 xi;i=0,1,2,p-12a为其它值的二次剩余为模ipixi, 1, 1v当p=4t+1为素数时， xi的自相关函数取p,1,-3三个值， xi不是伪随机码。狭义伪随机码的构造狭义伪随机码的构造L(Legendre)序列 当p为奇素数时，上面定义的xi正是勒让德符号(i/p)：为其它值的二次剩余为模ipipi, 1, 1)/(对于任意整数k都有并且规定(mp/p)=1，m为任意整数。)()(22pxkpx模所以，要检查一个整数i(0ip)是不是模p的二次剩余，只要检查i是不是在集合) 1(,.,)2( ,)

12、 1(222pppp中出现就行了。狭义伪随机码的构造狭义伪随机码的构造L(Legendre)序列 由于)()(22pxpx模所以，要检查一个整数i(0i13的奇数长度的巴克码偶数长度的巴克码的可能长度为 ，t为正整数16p 11664(2 t 54)的偶数长度巴克码不存在，t54的情况目前还不清楚。设xi（xi= 1,i=1,2,p)为一有限长度的序列，当1 p-1时，其局部自相关函数为其它1, 00)(1pxxRpiii24t巴克码巴克码p巴克码211121-1-1311-10-1411-11-1014111-110-15111-1101017111-1-11-10-10-10-111111

13、-1-1-11-1-11-10-10-10-10-10-113 11111-1-111-11-11010101010101) 1,.,2 , 1 , 0)(pR伪随机码的产生伪随机码的产生移位寄存器序列 在工程中用得最多的是二进制序列，序列中的元素只有两个取值“0”或“1”。二进制序列一般可由移位寄存器产生，故由移位寄存器产生的序列就称之为移位寄存器序列。简单型移位寄存器（SSRGSimple Shift Register Generator）模件抽头码序列发生器（MSRGMulti-return Shift Register Generator） 移位寄存器序列产生器的结构 移位寄存器序列产

14、生器的结构 简单型移位寄存器（SSRG） r级线性反馈移位寄存器 1na2na3na)1( rnarna1c2c3c1rcrc0c输出1ic说明：有反馈；0ic无反馈。一般情况下10rcc模2加移位寄存器序列产生器的结构 SSRG特点结构简单，实现方便反馈逻辑由特征多项式确定 反馈支路中的器件时延是叠加的。即等于反馈支路中所有模2加法器时延的总和。因此限制了伪随机序列的工作速度。其最高工作频率为 式中TR为一级移位寄存器的传输时延；TM为反馈网络中模2加时延的总和。提高SSRG工作速率的办法：(1)选用抽头数目少的m序列，这样，还可简化序列产生器的结构。 (2)采用MSRG型结构 。 MRTT

15、f1max移位寄存器序列产生器的结构 模件抽头码序列发生器（MSRG） 1nb2nb3nb)1( rnbrnb1d2d3d1rdrd0d输出1id说明：有反馈；0id无反馈。一般情况下10rddSSRG与MSRG结构互换 SSRG与MSRG的结构不同，但这两种类型是可以互换的。只要知道了SSRG的序列特征多项式或反馈系数，就可得到MSRG的反馈抽头。SSRG的反馈系数与MSRG的反馈系数之间的相互关系为 ci=dr-i 移位寄存器序列产生器的结构 MSRG特点在它的每一级触发器和它相邻一级触发器之间，接入一个模2加法器反馈路径上无任何延时部件 ，反馈总延时，只是一个模2加法器的延时时间，故能提

16、高发生器的工作速度 。其最高工作频率为 TM为一级模2加法器的传输时延。这种类型的序列发生器已被模件化 MRTTf1max伪随机码的产生伪随机码的产生对于一个反馈移位寄存器来说，反馈逻辑一确定，产生的序列就确定了。序列与反馈逻辑之间的关系由上图可以看出，移位寄存器第一位的下一时刻的状态是由此时的r个移位寄存器的状态反馈后共同确定的，即有：riinirnrnnnnacacacacaca1332211由此可见，序列满足线性递归关系。riiniriininacacac010把an移到等式的右边并考虑到c0=1，上式可变为m序列与循环序列发生器序列与循环序列发生器m序列是最长线性移位寄存器序列，是伪随

17、机序列中最重要的序列中的一种，这种序列易于产生，有优良的自相关特性。在直扩系统中用于扩展要传递的信号，在跳频系统中用来控制跳频系统的频率合成器，组成随机跳频图案。 m序列由移位寄存器加反馈后形成的。其结构如上图所示。最长线性移位寄存器序列可以由反馈逻辑的递推关系求得。 m序列例子序列例子序列（生成）多项式序列（生成）多项式 一个以二元有限域的元素an(n=0,1,)为系数的多项式02210)(nnnnnxaxaxaxaaxG称之为序列的生成多项式，简称序列多项式。序列an与生成多项式G（X）是一一对应的。给定一个移位寄存器后，生成多项式就确定了，序列也就确定了。 状态转移矩阵对反馈移位寄存器，

18、可用A矩阵来描述，称为状态转移矩阵。A矩阵为rr阶矩阵，其结构为01000000100000111321rccccASR反馈逻辑(r-1)(r-1)的单位矩阵 A矩阵与移位寄存器的结构是一一对应的。A矩阵可以将移位寄存器的下一状态与现状态联系起来。状态转移矩阵移位寄存器的现状态和下一状态分别由矢量an和an+1表示，分别为 rnnnnnrnnnnnaaaaaaaaaa)1(3)1(2)1(1)1(1321及则有nnaAa1状态转移矩阵利用递推的方法，可得后m时刻的状态与现状态之间的关系为这表示反馈移位寄存器的状态与移位m次后的状态相同。由此可见，此反馈移位积存器序列的周期为m。若m2r1，则产

19、生的序列必定是m序列。nmmnaAa当IAm时有nmnaa状态转移矩阵通过A矩阵也可以找到前k个时刻移位寄存器的状态利用递推关系，可得A矩阵的逆矩阵为 nnnaaAAaA111nkknaAa1232111001000000100000010rrcccccA特征方程A矩阵的特征方程为即0|)(I xAxF010000010000110)(321xxxccxcxF特征方程或Caley-Hamiton定理：一个rr矩阵满足它自己的特征方程，即 0) 1()()()()(332211rrrrxcxcxxcxFriirirrrxcxcxcxxF0221101)(0)(AF特征多项式由A矩阵的特征方程式，

20、可以定义特征多项式f(x) 为特征多项式与序列多项式的关系1)(00rriiiccxcxf0)(nnnxaxGriininaca1an的线性递归反馈函数 an的序列多项式为则nriininxacxG)(10特征多项式)()(1110111010mimmriiimimmmmmriiimimmriiiriinniniinriinnixaxGxcxaxaxcxaxcxaxcxacxG特征多项式经整理后，并考虑c0=1，则有riiimimmriiiriiimimmriiixcxaxcxcxaxcxG011111/ 1/)(选择移位寄存器的初始状态为a-r=1, a-r+1=a-2=a-1=0，则 rm

21、immriiicxaxc11)()(0 xfcxccxGrriiir特征多项式cr只有取1时才有意义。故可得序列多项式与特征多项式之间的关系为)(1)(xfxGv对f(x)进行长除，得到序列多项式，序列多项式的系数就是所求序列。例子一个三级移位寄存器如下图所示，求该反馈移位寄存器序列。 001输出解：由图可求得特征多项式f(x)=x3+x+1，由图中可看出移位寄存器的初始状态为100，故有G(x)=1f(x)，进行长除，按升幂形式排列，有例子G(X)=1+x+x2+x4+x7+x8+x9+x11+x14对应的序列为a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a1

22、2 a13 a14 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 从上面可以看出a0a6与a7a13完全一样。因而该序列的周期为7，正好为3级最长线性移位寄存器序列，即m序列。 特征多项式如果初始条件不是前述条件，则 )()()(xfxgxG)(11mimmriiixaxcxgv只要am(m=-r,-r+1，-1)不全为零，g(x)就不会为零，产生的序列是相同的，不同的是相位偏移即位移。 特征多项式定理 如果序列an的周期为N，则f(x)可整除1+xN，即有 v证：考虑r阶反馈移位寄存器，且初始条件为a-r=1, a-r+1=a-r+2=a-1=0，则有)1/()(Nxxf特征多

23、项式NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNnnnxxaxxaxaxaaxxxxaxaxaaxxaxaxaaxxaxaxaaxxaxaxaaxaxaxaaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaaxaxfxG1)(1)1)()()()()()(1)(112210321122103112210211221011221011221013132222121222121222111122100特征多项式即有NNxxaxf1)()(1或)()(1xaxfxNN由此可见1xN可被f(x)整除，得到的商正好是所求移位寄存器序列。对上式进行变换，可得)()()(1)(

24、xfxxaxfxGNNv上式表明，用f(x)去除1，当运算到余式为xN时得到的商便是所求序列aN(x)，而余式xN的幂N为该序列的周期。产生m序列的条件v条件一：条件一：r级移位寄存器产生的码，周期级移位寄存器产生的码，周期N2r1，其特征多项式必然是不可约的。，其特征多项式必然是不可约的。即不能再因式分解而产生最长序列。因此，即不能再因式分解而产生最长序列。因此，反馈抽头不能随便决定，否则将会产生短反馈抽头不能随便决定，否则将会产生短码。码。产生m序列的条件证明：采用反证法来证明。设f(x)为一长为N2r1的m序列的特征多项式，而f(x)可以分解，有)()()(21xfxfxf由序列多项式与

25、特征多面式的关系，有)()()()()()()()(1)(1)(212121xGxGxfxxfxxfxfxfxG设f1(x)的阶数为r1, f2(x)的阶数r2，则r=r1+r2,(x)与(x)的阶数分别小于等于r1与r2。由上式可见，产生的序列是由两个子序列组合而成的，这两个子序列的特征多项式分别为f1(x)和f2(x)。假设这两个特征多项式产生的序列也为m序列，则其周期分别为N12r11和N22r21，组合序列的最大长度为两个序列的长度的乘积。即有组合序列的为NN1N2。产生m序列的条件前已假设f(x)产生的序列的长度为N2r1但f(x)可约，产生的复合序列的长度最长为N2r3。因此假设不

26、成立。由此可知f(x)不可约。 NNrrrrrrrrrrr12321)22(2122212)(12(21212121）产生m序列的条件v条件二：条件二：所有的阶数所有的阶数r r1 1的不可约多项式的不可约多项式f(x)f(x)必然能除尽必然能除尽1 1x xN N，因为，因为a aN N(x(x)=(1+x)=(1+xN N) )f(x)f(x)。 如r3，N7令则f1(x)和f2(x)均为不可约式项式，都可以产生N7的序列，产生的序列分别为1110100和1011100。这样也为我们找到产生m序列的特征多项式提供了方便。)1)(1)(1 (13237xxxxxx322311)(1)(xxx

27、fxxxf产生m序列的条件v条件三：条件三：如果如果N=2r1是一个素数，则所是一个素数，则所有有r次不可约多项式产生的线性移位寄存器次不可约多项式产生的线性移位寄存器序列，一定是序列，一定是m序列，产生这个序列，产生这个m序列的不序列的不可约多项式称为本原多项式。可约多项式称为本原多项式。由此可见，如果长度N2r-1为素数，则对1xN进行因式分解，分解出来的次数为r的不可约因式一定为m序列的特征多项式，由此可产生一条m序列，能分解出多少个r阶的不可约因式，就可产生多少条m序列。反之，若N不为素数，则因式分解后阶数为r的不可约多项式不一定都能成为m序列的特征多项式。 产生m序列的条件不可约多项

28、式的个数不可约多项式的个数N NI I由1xN分解出的所有的阶数为r的不可约多项式的条数NI 。r级移位寄存器序列的r阶不可约多项式为 rddIdrrN/)(21这里的求和是对所有能整除r的正整数d的求和，包括1在内。产生m序列的条件唯一分解定理唯一分解定理任一个大于1的正整数n，都可以表示为素数的乘积，即式中pi为素数；i是正的幂数。 如n=56=78=723,p1=7,1=1,p2=2,2=3 kiiipn1产生m序列的条件MobiusMobius 函数函数 如果p和q是两个不同的素数，则有(p)=-1(pq)=1 (p2)=0 个不同素数的乘积是knnnkkii) 1(1011)(1产生

29、m序列的条件例子例子 如r=6,则d=1,2,3,6,因此96484261)1 (2)2(2)3(2)6(261632IN即r6的移位寄存器的不可约多项式有9条，但N26163不是素数。故这9条6阶的不可约多项式不一定都能成为m序列的特征多项式。 产生m序列的条件Euler Euler 函数函数 如果p和q为两个不同的素数，则有为一素数pnpnppnnkiiii11) 1(11)(11kiikiippcpppbqppqa112) 1()(.) 1()(.) 1)(1()(.产生m序列的条件能产生能产生m m序列的特征多项式的条数序列的特征多项式的条数N Nm m rNrm) 12(由上面的例子

30、，r6，可得66366)37(6)63(6) 12(26mN即9条6阶不可约多项式中，只有6条能作为m序列的特征多项式。换句话说，r6的移位寄存器只能产生6条m序列。 m序列长度、不可约多项式条数和序列长度、不可约多项式条数和m序列的条数序列的条数 r2r-1NmNi123456789101112131415161718192021222324 13a7a1531a6312725551110232,0474,0958,191a16,38332,76765,535131,071a262,143524,287a1,048,5752,098,1514,194,3038,388,60716,777,2

31、15112266181648601761446307561,8002,0487,7108,06427,59424,00084,672120,032356,960276,480212369183056991863356301,1612,1824,0807，71014，53227，59452，37799，858190，557364，722698，870产生m序列的条件v条件四条件四：除了第除了第r阶以外，如果还有偶数阶以外，如果还有偶数个抽头的反馈结构，则产生的序列就不是个抽头的反馈结构，则产生的序列就不是最长线性移位寄存器序列。最长线性移位寄存器序列。证：m序列为最长线性移位寄存器序列，经历了除

32、全“0”以外的所有的移位寄存器状态。若反馈结构的抽头包括r级共有奇数个的话，那么当移位寄存器处于全“1”状态时，经反馈模2加后，仍然为“1”，这样移位寄存器就停留在全“1”状态。若要得到最长线性移位寄存器序列就必须扣除全“1”状态，这样剩下的状态数为2r-22r-1,不再是m序列。由此可见，从移位寄存器的结构看，其总的反馈抽头数必为偶数。m序列的反馈系数v一个线性反馈移位寄存器能否产生一个线性反馈移位寄存器能否产生m序列，决定于它的电路序列，决定于它的电路反馈系数反馈系数ci，也就是它的递归关系式。从不同的反馈系数，可，也就是它的递归关系式。从不同的反馈系数，可以得到相对于反馈系数的产生以得到

33、相对于反馈系数的产生m序列的特征多项式，进而产序列的特征多项式，进而产生不同的移位寄存器序列。生不同的移位寄存器序列。 如r9，反馈系数为11578，转换成二进制数，并与移位寄存器相对应，可得：C9 C8 C7 C6 C5 C4 C3 C2 C1 C0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1即C9C6C5C3C2C1C01有反馈，C8C7C40无反馈。同时可以得到产生m序列的特征多项式相对于1157的反馈系数。特征多项式为f(x)=x9+x6+x5+x3+x2+x+1m序列的反馈系数级数r长度N反馈系数3456789101112131415161718192071531631272255111

34、,0232,0474,0958,19116,38332,76765,535131,071262,143524,2871,048,575132345,67,75103,147,155203,211,217,235,277,313,325,345,367435,453,537,543,545,551,703,7471021,1055,1131,1157,1167,11752011,2033,2157,2443,2745,34714005,4445,5023,5263,6211,736310123,11417,12515,13505,14127,1505320033,23261,24633,3074

35、1,32535,3750542103,51761,55753,60153,71147,67401100003,110013,120265,133663,142305,164705210013,233303,307572,311405,347433,375213400011,411335,444257,527427,646775,71430310000201,1002241,1025711,17036012000047,2020471,2227023,2331067,2570103,36103534000011,4001151,4004515,442235,6000031m序列的反馈系数通过反馈

36、系数，还可以求出对应的镜像序列的反馈抽头和特征多项式。镜像序列是与原序列相反的序列。如r3的序列1110100，镜像序列为0010111。可以通过下式，由原序列的特征多项式f(x)求镜像序列的特征多项式f（R）(x)。 )1()()(xfxxfrRm序列的反馈系数如r7，反馈系数为235的序列，对应的特征多项式为 f(x)=x7+x4+x3+x2+1镜像序列的特征多项式为 1) 1()1(3457234777)(xxxxxxxxxxfxfR对应的反馈系数为271。 m序列的性质q均衡性在m序列的一个周期内，“1”和“0”的数目基本相等。准确地说：“1”的个数比“0”的个数多一个。这是由m序列经

37、历了r级移位寄存器的除全“0”以外的所有2r1个状态，排除了输出序列中的r个连“0”。因而输出序列的“1”比“0”多一个。如r3，反馈系数15，序列为0101110，4个“1”，3个“0”，“1”比“0”多一个。由此可见，在输出序列的2r1个元素中，“1”的个数为2r-1，“0”的个数为2r11。 m序列的均衡性可减小调制后的载漏，使得信号更加隐蔽，更能满足系统要求。m序列的性质q游程分布把一个序列中取值相同的那些相继元素合称一个游程。在一个游程中，元素的个数称为游程长度。在m序列中，游程总数为2r-1个，其中长度为1的游程占游程总数的12；长度为2的游程占游程总数的14；长度为3的占18；即

38、长度为k的游程数占游程总数的2k，其中1k(r-2)。而且在长度为k的游程中（1kr-2）连“1”和连“0”的游程各占一半，r1个连“0”和r个连“1”的游程各一个。 m序列的性质q移位相加性一个序列an与其经m次迟延移位产生的另一不同序列an+m模2加，得到的仍然是an的某次迟延移位序列an+k，即 an+an+m=an+k 利用此性质可产生指定延迟的m序列。例SR特征多项式 ,初始状态为（1000）。要得到相对于SR输入序列右移12位的新序列，如何添加模二加法器？41)(xxxFm序列的性质解以 表示右移算子，右移12位以 表示。 被F（x）除得余项x12x12x321)(xxxxrr(x

39、)表示要从4级SR引出连线添加模二加法器。如图。0001nana.nana01111010110010011010110010001112位m序列的性质q周期性m序列的周期为N2r1，r为反馈移位寄存器的级数。q保密性由于m序列的周期性，其功率谱的各谱线相隔频率1/NTc的整数倍。通过测量接收的m序列的功率谱很容易确定此序列的周期，进而可确定SR的级数。只要找到SR的反馈逻辑，此m序列就可较容易地复制出来。因此，m序列的保密性较差。增加保密性的方法:(1)增加SR的级数；(2) 反馈逻辑除采用模二加外还采用模二乘，得到非线性码。m序列的性质q相关特性对于取值为“1”和“0”的二进制码序列an，

40、自相关函数值为10)(NijiiaajR其相关系数为NDAaaNjNijii101)( 式中 A为序列an与移位序列an+i在一个周期内对应元素相同的数目；D为序列an与移位序列an+i在一个周期内对应元素不相同的数目。N为序列an的周期。 上式中的A相当于两个序列中对应位模2加为“0”的个数(ai ai+j=0), D相当于”1”的个数(ai ai+j=1) 。m序列的性质由m序列的移位相加特性可得，上式分子就等于m序列一个周期内“0”的个数与“1”的个数的差值，由均衡性可知“1”比“0”多一个。故有)1()0(1)(的个数的个数jiijiiaaaaNj1, 3 , 2 , 11)(NjNj

41、当j=0时，显然(0)=1。所以，m序列的自相关系数为0101)(jNjj周期为N的偶函数双值自相关函数m序列的性质qm序列波形的连续相关函数R（） 当周期NTC很长及码元宽度TC很小时，R（）近似于冲激函数（）的形状。互相关和部分相关函数复杂，这里不讨论。参见扩谱技术。cccTNTNTNR|1|11)(m序列的性质q伪随机性由于m序列的均衡性、游程分布、自相关函数及功率谱与上述随机序列的基本性质很相似，所以通常认为m序列属于伪随机序列，是一种常见的伪随机序列。m序列可供使用的跳频图案少，互相关特性不理想，又因它采用的是线性反馈逻辑，就容易被敌人破译码的序列，即保密性、抗截获性差。由于这些原因

42、，在跳频系统中不采用m序列作为跳频指令码。 截短m序列实现产生给定的任意长度的序列常常采用截取m序列某一段子序列，从而得到其长度缩短了的m序列，称为截短m序列。截短m序列已不是m序列了。从一个长度为p的m序列中截取出一段长度为pp的截短序列，只要设法截去m序列中的一段长度为p=p-p的子序列就行了。从SR状态图上看，就是当m序列从初始状态出发，经过p个状态后，整个SR状态发生跳跃，跳过p个状态，使p1状态按长度为p循环运行，而得到长度为p的截短序列。跳跃点的选择很重要。附加反馈逻辑修正项实现状态跳跃。查表法更简单。Gold码序列q为什么要用Gold码序列？当选用伪随机序列作为码分多址通信的地址

43、码时，m序列有很大的局限性。m序列虽然性能优良，但同样长度的m序列个数不多，且序列之间的互相关值并不都好。例如，9级移位寄存器产生的m序列有48个，取出一个序列，只能找到12个m序列与其相关的互相关值最大值等于33。但找不到多于3个序列的组，其中任意两序列之间的互相关最大值等于33。如果要求的地址数多，只有降低对互相关的要求。例如，当互相关值不超过65时，可以从48个序列中挑选出几组由6个m序列组成的集。Gold码序列q为什么要用Gold码序列？RGold于1967年提出了一种基于m序列的码序列,称为Gold码序列。这种序列有较优良的自相关和互相关特性，而且可以用作地址码的数量比m序列要多得多

44、，一对m序列优选对可产生2r1条Gold码。这种码发生器结构简单，易于实现，因此，Gold码在码分多址通信，组网工作的雷达及报警系统等许多工程领域得到了广泛的应用。地址码的选择码分多址在于信号波形的分割。扩频通信就是用码的形状差异来区分通信地址的一种选 址通信方式。故地址码性能的好坏，直接关系到系统性能的优劣。一般来说，对于不同的网其地址码是不同的，不同网的地址码的互相关值应为零即地址码正交，有 Tjijijidttctc01)()(正交码型就是不同的码的互相关值很小。这类码就是第二类广义伪随机码。码分多址通信的重要问题q可用的地址码数量要多；互相关值要小；有一定的抗干扰能力；码发生器的结构简

45、单等。由此可见，m序列的抗干扰能力较强；有优良的相关特性；易产生。但不足的是m序列的数目少，为（2r-1）/r条，不能满足作为地址码的要求。Gold码是在m序列的基础上得到的，但它的条数远远超过了m序列。目前多采用Gold码作为地址码。对地址码的一般要求有良好的自相关、互相关和部分相关特性。即要求码的自相关旁瓣、互相关和部分相关值要尽可能的小，以便在检测地址码时有最大的分辨率。码序列要多。可用的码序列的多少，直接关系到系统的组网能力及频谱利用率的高低。在保证第一个要求的基础上，这样的码序列越多越好。有一定的长度。码序列越长，越接近于随机序列，因而抗干扰的性能越强。易于实现系统的同步，捕捉时间要

46、快。易于实现、设备简单、成本低等。Gold码的产生qGold码是基于m序列优选对产生的。qm序列优选对在m序列集中，其互相关函数最大值的绝对值|Rab|max小于某个值（互相关函数的绝对值有界）的二条m序列。设序列a是对应于r阶本原多项式f(x)产生的m序列；序列b是对应于r阶本原多项式g(x)产生的m序列；当它们的互相关函数值Rab()满足不等式整除但不被为偶数为奇数4,1212| )(|2221rrRrrab则f(x)和g(x)产生的m序列a和b构成一优选对。 Gold码的产生方法产生Gold码的方法有两种，它是用一对优选的周期和速率均相同的m序列的移位寄存器串联或并联后得到的。通常多使用

47、并联结构，即将两个m序列进行模2和后输出。Gold码的产生方法设序列a和序列b为长N2r1的m序列优选对。以a序列为参考序列，对b序列进行移位i次，得到b的移位序列bi,(i=0,1,，N1)，然后与a序列模2加后得到一新的长度为N的序列ci。则此序列就是Gold序列，即ci=a+bi i=0,1,N 对不同的i，得到不同的Gold序列，这样可得2r1条Gold码，加上a序列和b序列，共得到2r1条Gold。把这2r1条Gold码称为一Gold码族。Gold码的产生方法q串联成2r级线性移位寄存器r6 m序列的本原多项式分别为f(x)=1+x+x6和g(x)=1+x+x2+x5+x6，串联成1

48、2级线性移位寄存器，将两序列的本原多项式相乘，可得阶数为12的多项式为 f(x)g(x)=x12+x11+x8+x6+x5+x3+1，由此可得串联的12级线性移位寄存器如下图所示。 m序列1m序列2Gold码输出Gold码的产生方法q两个r级移位寄存器并联m序列1m序列1Gold码输出Gold码的产生方法Gold码的相关特性q由m序列优选对模2加产生的Gold码族中的2r1条Gold码序列已不再是m序列，也不具有m序列的游程特性和二值相关特性。但Gold码序列具有三值互相关特性，如下表所示。q由表中可以看出，由于码序列的互相关值可以看成两个序列对应位的元素的相同和不同的码元数的差值。因而得到的

49、Gold码族中的码序列出现了平衡（序列“1”和“0”之间差为1）与非平衡码。 Gold码的相关特性寄存器长度r 码长N归一化互相关函数值出现概率r为奇数 -1/N0.500.250.25r为偶数，但不被4整除 -1/N0.750.1250.12512 r12 rNr/ ) 12(21Nr/ ) 12(21Nr/ ) 12(22Nr/ ) 12(22Gold码的自相关函数同互相关函数一样，也是三值函数，只是出现的概率是不同的。 m序列和Gold序列互相关函数旁瓣的最大值平衡Gold码vr为奇数的平衡码与非平衡码的数量 类别码序列中“1”的个数码族中这种序列数1平衡码2非平衡码312r121r21

50、122rr21122rr23222rr23222rr平衡Gold码v码的平衡性与载波抑制度的关系 级数r 码长N归一化相关函数载波抑制（dB）371/75/78.45 平衡码1.46 非平衡码5311/319/3114.9 平衡码5.37 非平衡码71271/12717/12721.04 平衡码8.73 非平衡码95111/51133/51127.08 平衡码11.9 非平衡码1120471/204765/204733.11 平衡码15.00 非平衡码平衡Gold码产生方法v特征相位 为了寻找平衡Gold码，首先确定特征相位。每一条最长线性移位寄存器序列都具有特征相位。当序列处于特征相位时，序

51、列每隔一位抽样后得到的序列与原序列完全一样，这是序列处于特征相位的特征。 设序列的特征多项式f(x)为一r级线性移位寄存器产生m序列的本原多项式。序列的特征相位由g(x)/f（x）的比值确定。g(x)为生成函数，为一阶数等于或小于r的多项式。g(x)的计算方法如下 为偶数为奇数rdxxxfdxfxgrdxxxfdxg)()()()()(平衡Gold码产生方法序列多项式为 )()()(xfxgxG长除后就可得到处于特征相位的m序列。例r3的m序列的特征多项式为 f（x）=1+x+x3由此可得出生成多项式g(x)为242421)()(xxdxxxxddxxxfdxg经模2处理后，可得 987423

52、111)()()(1)(xxxxxxxxxfxgxGxg平衡Gold码产生方法可得产生的序列为111010011101001则序列的特征相位为111。我们对产生的序列隔位抽样，得到抽样序列。1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1由此可见，抽样序列与原序列完全一样，故原序列处于特征相位上，其特征相位111即为产生m序列的初始相位，即a1=a2=a3=1。平衡Gold码产生方法v相对相位令序列a和序列b为处于特征相位的m序列优选对。当r为奇数时，其序列生成多项式可表示为 )(1)(1)(xdxcxG这里d(x)的阶数为r，

53、c(x)的阶数小于r。进行长除后的结果将是1，这样处于特征相位的序列的第一位必定是“1”。因此，处于特征相位上的序列a和b序列，以a序列为参考序列，移动b序列，使之第一位为“0”，对应于a序列第一位“1”。两序列相加后得到的序列必定是平衡Gold码。那么，移动序列b的第一位为“0”的序列的前r位，就是产生平衡Gold码的相对相位。 平衡Gold码产生方法例 r3，m序列优选对的本原多项式分别为 f1(x)=1+x+x3和f2(x)=1+x2+x3，则212111)()(1)()(xdxxxfdxgdxxxfdxg可得序列a和序列b为a=1110100和b=1001011将b序列分别左移1、2、

54、5位，使b序列的第一位为“0”。然后与a序列模2加。 1110100 1110100 1110100 0010111 0101110 0111001 1100011 1011010 1001101得到了平衡Gold码。 平衡Gold码产生方法对于其它的位移，即位移后第一位不为“0”时，产生的Gold序列为 1110100 1110100 1110100 1110100 1001011 1011100 1110010 1100101 0111111 0101000 0000110 0010001由此可以看出，产生平衡Gold码的相对相位为001，010，011，其它的相位不能产生平衡Gold码。

55、r3的Gold码共有9条。平衡码5条（3条由a与b的位移产生，2条为a与b自身）和非平衡码4条。平衡Gold码产生方法v产生平衡Gold码的一般步骤为：1）选一参考序列，其本原多项式为fa(x)，求出生成多项式ga(x)；2）由G(x)ga(x)/fa(x)求出序列多项式，使得序列a处于特征相位上；3）求位移序列b，使位移序列的初始状态的第一位为“0”，即处于相对相位，对应于a的第一位“1”；4）将处于特征相位的a序列与处于相位的b序列模2加，就可得到平衡Gold码序列。平衡Gold码产生方法v在某些应用场合，需同时产生两条Gold码序列，且是同族的。一般采用两个Gold码序列发生器。如美国国

56、家航空和宇宙航空局（NASA）研制的跟踪和数据中继卫星系统（TDRSS）的正交信号发生器就是一例。r11产生的Gold序列长为2047，m序列优选对为4445和4005。两个移位序列发生器的相对相位不同，因而产生的Gold码序列不同，但又同为一族。I通道Q通道Kasami 序列q由于m 序列良好的伪随机性，为其他序列的生成奠定了基础。Gold 码就是选用两个互为优选对的m 序列模二加而形成的。qKasami 序列也是一种在m 序列基础上构造出来的扩频序列。它继承了m 序列良好的伪随机性,同时又具有自、互相关特性均较好的特点（特别是互相关值小），且序列数量也很可观。q把m 序列、Gold 码、G

57、old-like 序列、Kasami 序列统称为m 系列扩频码，因为后3 个码型都是由m 序列经过各种取样和变换生成的。q常用于随机扩频多址（RSSMA）系统中，降低MAI，如在IS-95、UMTS-CDMA和CDMA2K 系统中所使用的就是Kasami小集合序列。Kasami 序列完全剩余系q设p 是一个大于1 的整数，把能被p 整除的所有整数(即形如pq 的所有整数,其中q = 0 , 1 , 2 , ) 划成一类;把被p 除后余数是p - 1 的所有整数(即形如pq + p - 1 的所有整数,其中q = 0 , 1 , 2 , ) 划成一类；以此类推，就把所有整数共划分为p类，用一个统

58、一的公式表示为pq + k ( k = 0 ,1 ,2 , , p - 1) 。如果从每一类中各取出一个整数，把取出的p 个整数叫做“模p 的一个完全剩余系”，把0 ,1 , p - 1 称为“模p 的非负最小完全剩余系”。m系列扩频码分类q取p=4 ,则0 ,1 ,2 ,3 是模4 的非负最小完全剩余系。这样取是根据m 系列扩频码的码长N均为 , n 是移位寄存器的阶数。m 序列就是直接由移位寄存器生成的,而其他的扩频序列可分别归到以下4 类中去:q当n = 1 (模4) 时,包括的序列类型只有Gold 序列;q当n = 2 (模4) 时,包括Gold 序列、Kasami 小集合序列和大集合

59、序列;q当n = 3 (模4) 时,只包括Gold 序列;q当n = 0 (模4) 时,包括Gold-like 序列、Kasami 小集合和大集合序列。.q这样,对于大于3 的所有自然数n ,都有相应的序列和它对应,从而构成了一个体系。Kasami 小集合序列Kasami 小集合序列Kasami 小集合序列相关函数 自相关函数（N=1023）互相关函数 (N=1023)Kasami 大集合序列M序列vr级移位寄存器的状态有2r个，它产生的序列的最大长度为2r。vM序列称为最长非线性移位寄存器序列，其码长为2r，达到了r级移位寄存器所能达到的最长周期，故又称为全长序列。vM序列不仅比m序列的在相

60、同级数移位寄存器的长度多一位，而且产生的序列数远远超过了m序列，故M序列在实际中应用较广。v目前对非线性移位寄存器的研究尚未找到足够有效的数学工具及系统的研究方法，随着科学技术的发展，这个科学难题将会得以解决。M序列构造方法v在m序列的基础上增加全“0”状态获得v用搜索的方法获得无论何种方法，只要满足对r级移位寄存器所有的2r个状态都要经历一次，而且仅经历一次，同时要满足移位寄存的关系即可。由m序列构成M序列 vm序列已包含了2r1个非零的状态，缺少由r个“0”组成的一个全“0”状态。由m序列构成M序列时，只要在适当的位置插入一个零状态（r个“0”），即可使码长为2r1的m序列增长至码长为2r