人教版高一数学必修一教案

1、超越中小学培训高中数学_1.1集_合11.1集合的含义与表示第一课时集合的含义集合的概念提出问题观察下列实例：(1)山东天成书业集团的所有员工；(2)平面内到定点O的距离等于定长d的所有的点；(3)不等式组的整数解；(4)方程x25x60的实数根；(5)某中学所有较胖的同学问题1：上述实例中的研究对象各是什么？提示：员工、点、整数解、实数根、较胖的同学问题2：你能确定上述实例的研究对象吗？提示：(1)(2)(3)(4)的研究对象可以确定问题3：上述哪些实例的研究对象不能确定？为什么？提示：(5)的研究对象不能确定，因为“较胖”这个标准不明确，故无法确定导入新知元素与集合的概念定义表示元素一般地

2、，我们把研究对象统称为元素通常用小写拉丁字母a，b，c，表示集合把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)通常用大写拉丁字母A，B，C，表示化解疑难准确认识集合的含义(1)集合的概念是一种描述性说明，因为集合是数学中最原始的、不加定义的概念，这与我们初中学过的点、直线等概念一样，都是用描述性语言表述的(2)集合含义中的“元素”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集合中的元素.元素的特性及集合相等提出问题问题1：上述实例(3)组成的集合的元素是什么？提示：2,3.问题2：上述实例(4)组成的集合的元素是什

3、么？提示：2,3.问题3：实例(3)与实例(4)组成的集合有什么关系？提示：相等导入新知1集合相等只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合相等2集合元素的特性集合元素的特性：确定性、互异性、无序性化解疑难对集合中元素特性的理解(1)确定性：是指作为一个集合的元素必须是明确的，不能确定的对象不能构成集合也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的(2)互异性：对于给定的集合，其中的元素一定是不同的，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素(3)无序性：对于给定的集合，其中的元素是不考虑顺序的如1,2,3与3,2,1构成的集合是同一个集合元素与集合的关系及常用

4、数集的记法提出问题某中学2013年高一年级20个班构成一集合问题1：高一(6)班、高一(16)班是这个集合的元素吗？提示：是这个集合的元素问题2：高二(3)班是这个集合中的元素吗？为什么？提示：不是高一年级这个集合中没有高二(3)班这个元素导入新知1元素与集合的关系(1)如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作aA.(2)如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作aA.2常用的数集及其记法常用的数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法NN*或NZQR化解疑难1对和的理解(1)符号“”“”刻画的是元素与集合之间的关系对于一个元素a与一个集合A而言，只有“aA”与“aA”这两种结果

5、(2)和具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R0是错误的2常用数集关系网实数集R集合的基本概念例1(1)下列各组对象：接近于0的数的全体；比较小的正整数的全体；平面上到点a的距离等于1的点的全体；正三角形的全体；的近似值的全体其中能构成集合的组数是()A2B3C4 D5(2)判断下列说法是否正确，并说明理由某个公司里所有的年轻人组成一个集合；由1，组成的集合有五个元素；由a，b，c组成的集合与由b，a，c组成的集合是同一个集合解析(1)“接近于0的数”“比较小的正整数”标准不明确，即元素不确定，所以不是集合同样，“的近似值”也不明确精确到什么程度，因此很难判定一个数，比如2是不是它的近似值

6、，所以也不是一个集合能构成集合答案A(2)解不正确因为“年轻人”没有确定的标准，对象不具有确定性，所以不能组成集合不正确由于，由集合中元素的互异性知，这个集合是由1，这三个元素组成的正确集合中的元素相同，只是次序不同，所以它们仍表示同一个集合类题通法判断一组对象能否组成集合的标准及其关注点(1)标准：判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合(2)关注点：利用集合的含义判断一组对象能否组成一个集合，应注意集合中元素的特性，即确定性、互异性和无序性活学活用下列说法正确的是()A小明身高1.78 m，则他应该是高个子的总体这一

7、集合中的一个元素B所有大于0小于10的实数可以组成一个集合，该集合有9个元素C平面上到定直线的距离等于定长的所有点的集合是一条直线D任意改变一个集合中元素的顺序，所得集合仍和原来的集合相等解析：选DA中的高个子标准不能确定，因而不能构成集合；B中对象能构成集合，但元素有无穷多个；C中对象构成的是两条直线，D反映的是集合元素的无序性.元素与集合的关系例2(1)设集合A只含有一个元素a，则下列各式正确的是()A0A BaACaA DaA(2)下列所给关系正确的个数是()R； Q；0N*；|4|N*A1 B2C3 D4解析(1)由元素与集合的关系可知，aA.(2)R显然是正确的； 是无理数，而Q表示

8、有理数集，Q，正确；N*表示不含0的自然数集，0N*，错误；|4|4N*，错误，所以是正确的答案(1)C(2)B类题通法判断元素与集合间关系的方法判断一个对象是否为某个集合的元素，就是判断这个对象是否具有这个集合的元素具有的共同特征如果一个对象是某个集合的元素，那么这个对象必具有这个集合的元素的共同特征活学活用设不等式32x<0的解集为M，下列正确的是()A0M,2M B0M,2MC0M,2M D0M,2M解析：选B从四个选项来看，本题是判断0和2与集合M间的关系，因此只需判断0和2是否是不等式32x<0的解即可当x0时，32x3>0，所以0不属于M，即0M；当x2时，32x

9、1<0，所以2属于M，即2M.集合中元素的特性及应用例3已知集合A中含有两个元素a和a2，若1A，求实数a的值解若1A，则a1或a21，即a±1.当a1时，aa2，集合A有一个元素，a1.当a1时，集合A含有两个元素1，1，符合互异性a1.类题通法关注元素的互异性根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能取值，但要时刻关注集合中元素的三个特性，尤其是互异性，解题后要注意进行检验活学活用设A表示由a22a3,2,3构成的集合，B表示由2，|a3|构成的集合，已知5A，且5B，求a的值解：5A，a22a35，解之得a2或a4.当a2时，|a3|5，当a4时，|a3|1.又5B，

10、a4.典例若集合A中有三个元素，x，x1,1，集合B中也有三个元素x，xx2，x2，且AB，则实数x的值为_解析AB，或解得x±1.经检验，x1不适合集合元素的互异性，而x1适合x1.答案1易错防范1上面例题易由方程组求得x±1后，忽视对求出的值进行检验，从而得出错误的结论2当集合中元素含字母并要求对其求值时，求出的值一定要加以检验，看是否符合集合元素的互异性成功破障若集合A中含有三个元素a3,2a1，a24，且3A，则实数a的值为_解析：(1)若a33，则a0，此时A3，1，4，满足题意(2)若2a13，则a1，此时A4，3，3，不满足元素的互异性(3)若a243，则a&

11、#177;1.当a1时，A2,1，3，满足题意；当a1时，由(2)知不合题意综上可知：a0或a1.答案：0或1随堂即时演练1下列说法正确的是()A某班中年龄较小的同学能够形成一个集合B由1,2,3和 ，1，组成的集合不相等C不超过20的非负数组成一个集合D方程(x1)(x1)20的所有解构成的集合中有3个元素解析：选CA项中元素不确定B项中两个集合元素相同，因集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等D项中方程的解分别是x11，x2x31.由互异性知，构成的集合含2个元素2若以集合A的四个元素a、b、c、d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是()A梯形B平行四边形C菱形 D矩形解析：选A由于

12、a、b、c、d四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等3下列说法中集合N与集合N是同一个集合集合N中的元素都是集合Z中的元素集合Q中的元素都是集合Z中的元素集合Q中的元素都是集合R中的元素其中正确的有_解析：因为集合N表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以中的说法不正确，中的说法正确答案：4设由2,4,6构成的集合为A，若实数aA时，6aA，则a_.解析：代入验证，若a2，则624A，符合题意；若a4，则642A，符合题意；若a6，则660A，不符合题意，舍去，所以a2或a4.答案：2或45已知集合A中含有两个元素x，y，集合B中含有两个元素

13、0，x2，若AB，求实数x，y的值解：因为集合A，B相等，则x0或y0.(1)当x0时，x20，则B0,0，不满足集合中元素的互异性，故舍去(2)当y0时，xx2，解得x0或x1.由(1)知x0应舍去综上知：x1，y0.课时达标检测一、选择题1下列判断正确的个数为()(1)所有的等腰三角形构成一个集合(2)倒数等于它自身的实数构成一个集合(3)质数的全体构成一个集合(4)由2,3,4,3,6,2构成含有6个元素的集合A1 B2C3 D4解析：选C(1)正确，(2)若a，则a21，a±1，构成的集合为1，1，(2)正确，(3)也正确，任何一个质数都在此集合中，不是质数的都不在(3)正确

14、，(4)不正确，集合中的元素具有互异性，构成的集合为2,3,4,6，含4个元素，故选C.2若aR，但aQ，则a可以是()A3.14 B5C. D.解析：选D由题意知a是实数但不是有理数，故a应为无理数3下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是()AP是由元素1，构成的集合，Q是由元素，1，|构成的集合BP是由构成的集合，Q是由3.141 59构成的集合CP是由2,3构成的集合，Q是由有序数对(2,3)构成的集合DP是满足不等式1x1的自然数构成的集合，Q是方程x21的解集解析：选A由于A中P、Q元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而B、C、D中元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合故选A

15、.4下列四个说法中正确的个数是()集合N中的最小数为1；若aN，则aN；若aN，bN，则ab的最小值为2；所有小的正数组成一个集合；Q；0N；3Z；R.A0 B1C2 D3解析：选C错，因为N中最小数是0；错，因为0N，而0N；错，当a1，b0时，ab1；错，小的正数是不确定的；错，因为不是有理数；错，因为0是自然数；正确，因为3是整数；正确，因为是实数5由实数a，a，|a|，所组成的集合最多含有()个元素A1 B2C3 D4解析：选B当a0时，这四个数都是0，所组成的集合只有一个元素0.当a0时，|a|所以一定与a或a中的一个一致故组成的集合中有两个元素，故选B.二、填空题6方程x22x30

16、的解集与集合A相等，若集合A中的元素是a，b，则ab_.解析：方程x22x30的解集与集合A相等，a，b是方程x22x30的两个根，ab2.答案：27已知集合A是由偶数组成的，集合B是由奇数组成的，若aA，bB，则ab_A，ab_A(填或)解析：a是偶数，b是奇数，ab是奇数，ab是偶数，故abA，abA.答案：8若集合A是不等式xa>0的解集，且2A，则实数a的取值范围是_解析：2A，2a0，即a2.答案：a2三、解答题9设集合A中含有三个元素3，x，x22x.(1)求实数x应满足的条件；(2)若2A，求实数x.解：(1)由集合中元素的互异性可知，x3，且xx22x，x22x3.解之得

17、x1且x0，且x3.(2)2A，x2或x22x2.由于x22x(x1)211，x2.10数集M满足条件：若aM，则M(a±1且a0)若3M，则在M中还有三个元素是什么？解：3M，2M，M，M.又3M，在M中还有元素2，.第二课时集合的表示列举法提出问题观察下列集合：(1)中国古代四大发明组成的集合；(2)20的所有正因数组成的集合问题1：上述两个集合中的元素能一一列举出来吗？提示：能(1)中的元素为造纸术、印刷术、指南针、火药，(2)中的元素为：1,2,4,5,10,20.问题2：如何表示上述两个集合？提示：用列举法表示导入新知列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示

18、集合的方法叫做列举法化解疑难使用列举法表示集合的四个注意点(1)元素间用“，”分隔开，其一般形式为a1，a2，an；(2)元素不重复，满足元素的互异性；(3)元素无顺序，满足元素的无序性；(4)对于含有有限个元素且个数较少的集合，采取该方法较合适；若元素个数较多或有无限个且集合中的元素呈现一定的规律，在不会产生误解的情况下，也可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示.描述法提出问题观察下列集合：(1)不等式x23的解集；(2)函数yx21的图象上的所有点问题1：这两个集合能用列举法表示吗？提示：不能问题2：如何表示这两个集合？提示：利用描述法导入新知描述法(1)定义：用集合所含元素的共

19、同特征表示集合的方法(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征化解疑难1描述法表示集合的条件对于元素个数不确定且元素间无明显规律的集合，不能将它们一一列举出来，可以将集合中元素的共同特征描述出来，即采用描述法2描述法的一般形式它的一般形式为xA|p(x)，其中的x表示集合中的代表元素，A指的是元素的取值范围；p(x)则是表示这个集合中元素的共同特征，其中“|”将代表元素与其特征分隔开来一般来说集合元素x的取值范围A需写明确，但若从上下文的关系看，xA是明确的，则xA可以省略，只写元素x.用列举法表示集

20、合例1若集合A(1,2)，(3,4)，则集合A中元素的个数是()A1B2C3 D4(2)用列举法表示下列集合不大于10的非负偶数组成的集合；方程x2x的所有实数解组成的集合；直线y2x1与y轴的交点所组成的集合；方程组的解(1)解析集合A(1,2)，(3,4)中有两个元素(1,2)和(3,4)答案B(2)解因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是0,2,4,6,8,10方程x2x的解是x0或x1，所以方程的解组成的集合为0,1将x0代入y2x1，得y1，即交点是(0,1)，故两直线的交点组成的集合是(0,1)解方程组得用列举法表示方程组的解集为(

21、0,1)类题通法用列举法表示集合的步骤(1)求出集合的元素；(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；(3)用花括号括起来活学活用已知集合A2，1,0,1,2,3，对任意aA，有|a|B，且B中只有4个元素，求集合B.解：对任意aA，有|a|B.因为集合A2，1,0,1,2,3，由1，2,0,1,2,3A，知0,1,2,3B.又因为B中只有4个元素，所以B0,1,2,3.用描述法表示集合例2(1)用符号“”或“”填空：Ax|x2x0，则1_A，1_A；(1,2)_(x，y)|yx1(2)用描述法表示下列集合：正偶数集；被3除余2的正整数的集合；平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合(1

22、)解析将1代入方程成立，将1代入方程不成立，故1A，1A.将x1，y2代入yx1成立，故填.答案(2)解偶数可用式子x2n，nZ表示，但此题要求为正偶数，故限定nN*，所以正偶数集可表示为x|x2n，nN*设被3除余2的数为x，则x3n2，nZ，但元素为正整数，故x3n2，nN，所以被3除余2的正整数集合可表示为x|x3n2，nN坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy0，故坐标轴上的点的集合可表示为(x，y)|xy0类题通法利用描述法表示集合应关注五点(1)写清楚该集合代表元素的符号例如，集合xR|x<1不能写成x<1(2)所有描述的内容都要写在花括号内例

23、如，xZ|x2k，kZ，这种表达方式就不符合要求，需将kZ也写进花括号内，即xZ|x2k，kZ(3)不能出现未被说明的字母(4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写例如，方程x22x10的实数解集可表示为xR|x22x10，也可写成x|x22x10(5)在不引起混淆的情况下，可省去竖线及代表元素，如直角三角形，自然数等活学活用下列三个集合：Ax|yx21；By|yx21；C(x，y)|yx21(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义分别是什么？解：(1)由于三个集合的代表元素互不相同，故它们是互不相同的集合(2)集合Ax|yx21的代表元素是x，且xR，所以

24、x|yx21R，即AR；集合By|yx21的代表元素是y，满足条件yx21的y的取值范围是y1，所以y|yx21y|y1集合C(x，y)|yx21的代表元素是(x，y)，是满足yx21的数对可以认为集合C是坐标平面内满足yx21的点(x，y)构成的集合，其实就是抛物线yx21的图象.集合表示的应用例3(1)集合A1，3,5，7,9，用描述法可表示为()Ax|x2n±1，nNBx|x(1)n(2n1)，nNCx|x(1)n(2n1)，nNDx|x(1)n1(2n1)，nN(2)设集合B.试判断元素1,2与集合B的关系；用列举法表示集合B.(1)解析观察规律，其绝对值为奇数排列，且正负相

25、间，且第一个为正数，故应选C.答案C(2)解当x1时，2N.当x2时，N.所以1B,2B.N，xN，2x只能取2,3,6.x只能取0,1,4.B0,1,4类题通法判断元素与集合间关系的方法(1)用列举法给出的集合，判断元素与集合的关系时，观察即得元素与集合的关系例如，集合A1,9,12，则0A,9A.(2)用描述法给出的集合，判断元素与集合的关系时就比较复杂此时，首先明确该集合中元素的一般符号是什么，是实数？是方程？，其次要清楚元素的共同特征是什么，最后往往利用解方程的方法判断所给元素是否满足集合中元素的特征，即可确定所给元素与集合的关系活学活用定义集合A，B的一种运算：A*Bx|xx1x2，

26、其中x1A，x2B，若A1,2,3，B1,2，试用列举法表示出集合A*B.解：当x11时，x2可以取1或2，则x1x22或3；当x12时，x2可以取1或2，则x1x23或4；当x13时，x2可以取1或2，则x1x24或5.A*B2,3,4,5典例集合Ax|ax22x10，aR中只有一个元素，求a的取值范围解当a0时，原方程变为2x10，此时x，符合题意；当a0时，方程ax22x10为一元二次方程，44a0，即a1，原方程的解为x1，符合题意故当a0或a1时，原方程只有一个解，此时A中只有一个元素多维探究解答上面例题时，a0这种情况极易被忽视，对于方程“ax22x10”有两种情况：一是a0，即它

27、是一元一次方程；二是a0，即它是一元二次方程，也只有在这种情况下，才能用判别式来解决问题求解集合与方程问题时，要注意相关问题的求解，如：(1)在本例条件下，若A中至多有一个元素，求a的取值范围解：A中至多含有一个元素，即A中有一个元素或没有元素当A中只有一个元素时，由本例可知，a0或1.当A中没有元素时，44a<0，即a>1.故当A中至多有一个元素时，a的取值范围为a0或a1.(2)在本例条件下，若A中至少有一个元素，求a的取值范围解：A中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素由例题可知，当a0或a1时，A中有一个元素；当A中有两个元素时，44a>0，即a<1.A中至少

28、有一个元素时，a的取值范围为a1.(3)若1A，则a为何值？解：1A，a210，即a3.(4)是否存在实数a，使A1，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由解：A1，1A，a210，即a3.又当a3时 ，由 3x22x10，得x或x1，即方程ax22x10存在两个根和1，此时A，1，与A1矛盾故不存在实数a，使A1随堂即时演练1方程组的解集是()A(5,4)B(5，4)C(5,4) D(5，4)解析：选D解方程组得故解集为(5，4)，选D.2下列四个集合中，不同于另外三个的是()Ay|y2 Bx2C2 Dx|x24x40解析：选B集合x2表示的是由一个等式组成的集合，其它选项所表示的集合都是含

29、有一个元素2.3给出下列说法：直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为(x，y)|xy>0；方程|y2|0的解集为2，2；集合(x，y)|y1x与x|y1x是相等的其中正确的是_(填写正确说法的序号)解析：直角坐标平面内，第一、三象限的点的横、纵坐标是同号的，且集合中的代表元素为点(x，y)，故正确；方程|y2|0等价于即解为有序实数对(2，2)，解集为(2，2)或(x，y)|，故不正确；集合(x，y)|y1x的代表元素是(x，y)，集合x|y1x的代表元素是x，前者是有序实数对，后者是实数，因此这两个集合不相等，故不正确答案：4若A2,2,3,4，Bx|xt2，tA，用列举法表示集合B

30、为_解析：由题意可知集合B是由A中元素的平方构成的，故B4,9,16答案：4,9,165用适当的方法表示下列集合：(1)一年中有31天的月份的全体；(2)大于3.5小于12.8的整数的全体；(3)梯形的全体构成的集合；(4)所有能被3整除的数的集合；(5)方程(x1)(x2)0的解集；(6)不等式2x1>5的解集解：(1)1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月(2)3，2，1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12(3)x|x是梯形或梯形(4)x|x3n，nZ(5)1,2(6)x|2x1>5课时达标检测一、选择题1下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是

31、()AM，N3.141 59BM2,3，N(2,3)CMx|1<x1，xN，N1DM1，N，1，|解析：选D选项A中两个集合的元素互不相等，选项B中两个集合一个是数集，一个是点集，选项C中集合M0,1，只有D是正确的2已知x，y，z为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是()A0M B2MC4M D4M解析：选D当x，y，z都大于零时，代数式的值为4，所以4M，故选D.3集合xN*|x3<2的另一种表示法是()A0,1,2,3,4 B1,2,3,4C0,1,2,3,4,5 D1,2,3,4,5解析：选Bx3<2，xN*，x<5，xN*，x1,2,3,4

32、.故选B.4已知集合Ax|x2m1，mZ，Bx|x2n，nZ，且x1、x2A，x3B，则下列判断不正确的是()Ax1·x2A Bx2·x3BCx1x2B Dx1x2x3A解析：选D集合A表示奇数集，B表示偶数集，x1、x2是奇数，x3是偶数，x1x2x3应为偶数，即D是错误的5设P1,2,3,4，Q4,5,6,7,8，定义P*Q(a，b)|aP，bQ，ab，则P*Q中元素的个数为()A4 B5C19 D20解析：选C由题意知集合P*Q的元素为点，当a1时，集合P*Q的元素为：(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7)，(1,8)共5个元素同样当a2,3时集合P*Q的元素

33、个数都为5个，当a4时，集合P*Q中元素为：(4,5)，(4,6)，(4,7)，(4,8)共4个因此P*Q中元素的个数为19个，故选C.二、填空题6设集合A1，2，a21，B1，a23a,0，若A，B相等，则实数a_.解析：由集合相等的概念得解得a1.答案：17已知集合Ax|2xa>0，且1A，则实数a的取值范围是_解析：1x|2xa>0，2×1a0，即a2.答案：a28已知5x|x2ax50，则集合x|x24xa0中所有元素之和为_解析：由5x|x2ax50得(5)2a×(5)50，所以a4，所以x|x24x402，所以集合中所有元素之和为2.答案：2三、解答

34、题9已知集合M2,3x23x4，x2x4，若2M，求x.解：当3x23x42时，即x2x20，则x2或x1.经检验，x2，x1均不合题意当x2x42时，即x2x60，则x3或2.经检验，x3或x2均合题意x3或x2. 10(1)已知集合MxN|Z，求M；(2)已知集合CZ|xN，求C.解：(1)xN，Z，1x应为6的正约数1x1,2,3,6，即x0,1,2,5.M0,1,2,5(2)Z，且xN，1x应为6的正约数，1x1,2,3,6，此时分别为6,3,2,1，C6,3,2,111.2集合间的基本关系子集提出问题具有北京市东城区户口的人组成集合A，具有北京市户口的人组成集合B.问题1：A中元素与

35、集合B有关系吗？提示：有关系，A中每一个元素都属于B.问题2：集合A与集合B有什么关系？提示：集合B包含集合A.导入新知子集的概念定义一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集记法与读法记作AB(或BA)，读作“A含于B”(或“B包含A”)图示结论(1)任何一个集合是它本身的子集，即AA. (2)对于集合A，B，C，若AB，且BC，则AC化解疑难对子集概念的理解(1)集合A是集合B的子集的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由xA能推出xB.例如0,11,0,1，则00,1,01,0,1(2)如果

36、集合A中存在着不是集合B的元素，那么集合A不包含于B，或B不包含A.此时记作AB或BA.(3)注意符号“”与“”的区别：“”只用于集合与集合之间，如0N.而不能写成0N，“”只能用于元素与集合之间如0N，而不能写成0N.集合相等提出问题设Ax|x是有三条边相等的三角形，Bx|x是等边三角形问题1：三边相等的三角形是何三角形？提示：等边三角形问题2：两集合中的元素相同吗？提示：相同问题3：A是B的子集吗？B是A的子集吗？提示：是，是导入新知集合相等的概念如果集合A是集合B的子集(AB)，且集合B是集合A的子集(BA)，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作AB.化解

37、疑难对两集合相等的认识(1)若AB，又BA，则AB；反之，如果AB，则AB，且BA.这就给出了证明两个集合相等的方法，即欲证AB，只需证AB与BA同时成立即可(2)若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关.真子集提出问题给出下列集合：Aa，b，c，Ba，b，c，d，e问题1：集合A与集合B有什么关系？提示：AB.问题2：集合B中的元素与集合A有什么关系？提示：集合B中的元素a，b，c都在A中，但元素d，e不在A中导入新知真子集的概念定义如果集合AB，但存在元素xB，且xA，我们称集合A是集合B的真子集记法记作AB(或BA)图示结论(1)AB且BC，则AC；(2)AB且AB，则

38、AB化解疑难对真子集概念的理解(1)在真子集的定义中，AB首先要满足AB，其次至少有一个xB，但xA.(2)若A不是B的子集，则A一定不是B的真子集.空集提出问题一个月有32天的月份组成集合T.问题1：含有32天的月份存在吗？提示：不存在问题2：集合T存在吗？是什么集合？提示：存在，是空集导入新知空集的概念定义我们把不含任何元素的集合，叫做空集记法规定空集是任何集合的子集，即A特性(1)空集只有一个子集，即它的本身，(2)A，则A化解疑难与0的区别(1)是不含任何元素的集合；(2)0是含有一个元素的集合，0集合间关系的判断例1(1)下列各式中，正确的个数是()00,1,2；0,1,22,1,0

39、；0,1,2；0；0,1(0,1)；00A1B2C3 D4(2)指出下列各组集合之间的关系：A1,1，B(1，1)，(1,1)，(1，1)，(1,1)；Ax|x是等边三角形，Bx|x是等腰三角形；Mx|x2n1，nN*，Nx|x2n1，nN*(1)解析对于，是集合与集合的关系，应为00,1,2；对于，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于，空集是任何集合的子集；对于，0是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以0；对于，0,1是含有两个元素0与1的集合，而(0,1)是以有序数组(0,1)为元素的单元素集合，所以0,1与(0,1)不相等；对于，0与0是

40、“属于与否”的关系，所以00故是正确的，应选B.答案B(2)解集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB.法一：两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于nN*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM.法二：由列举法知M1,3,5,7，N3,5,7,9，所以NM.类题通法判断集合间关系的方法(1)用定义判断首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则AB，否则A不是B的子集；其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则BA，否则B不是A的子集；若既

41、有AB，又有BA，则AB.(2)数形结合判断对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍活学活用能正确表示集合MxR|0x2和集合NxR|x2x0关系的Venn图是()解析：选B解x2x0得x1或x0，故N0,1，易得NM，其对应的Venn图如选项B所示.有限集合子集的确定例2(1)集合M1,2,3的真子集个数是()A6 B7C8 D9(2)满足1,2M1,2,3,4,5的集合M有_个解析(1)集合M的真子集所含有的元素的个数可以有0个，1个或2个，含有0个为，含有1个有3个真子集1，2，3，含有2个元素有3个真子集1,21,3和2,3，共有7个真子集，

42、故选B.(2)由题意可得1,2M1,2,3,4,5，可以确定集合M必含有元素1,2，且含有元素3,4,5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有三个元素：1,2,31,2,41,2,5；含有四个元素：1,2,3,41,2,3,51,2,4,5；含有五个元素：1,2,3,4,5故满足题意的集合M共有7个答案(1)B(2)7类题通法公式法求有限集合的子集个数(1)含n个元素的集合有2n个子集(2)含n个元素的集合有(2n1)个真子集(3)含n个元素的集合有(2n1)个非空子集(4)含有n个元素的集合有(2n2)个非空真子集(5)若集合A有n(n1)个元素，集合C有m(m1)个元素，且A

43、BC，则符合条件的集合B有2mn个活学活用非空集合S1,2,3,4,5且满足“若aS，则6aS”，则这样的集合S共有_个解析：由“若aS，则6aS”知和为6的两个数都是集合S中的元素，则()集合S中含有1个元素：3；集合S中含有2个元素：2,4，1,5；集合S中含有3个元素：2,3,4，1,3,5；集合S中含有4个元素：1,2,4,5；集合S中含有5个元素：1,2,3,4,5故满足题意的集合S共有7个答案：7集合间关系的应用例3已知集合Ax|x<1或x>4，Bx|2axa3，若BA，求实数a的取值范围解当B时，只需2a>a3，即a>3；当B时，根据题意作出如图所示的数轴

44、，可得或解得a<4或2<a3.综上可得，实数a的取值范围为a<4或a>2.类题通法利用集合关系求参数应关注三点(1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误一般含“”用实心点表示，不含“”用空心点表示(3)此类问题还要注意“空集”的情况，因为空集是任何集合的子集活学活用已知集合Ax|1<ax<2，Bx|1<x<1，求满足AB的实数a的取值范围解：(1)当a0时，A，满足AB.(2)当a>0时，Ax|<x<又Bx|1&

45、lt;x<1且AB，如图作出满足题意的数轴：a2.(3)当a<0时，Ax|<x<AB，如图所示，a2.综上所述，a的取值范围是a|a0或a2或a2典例已知集合Ax|2x5，Bx|m6x2m1，若AB，求实数m的取值范围解AB，解得故3m4.m的取值范围是m|3m4多维探究1本例中，若BA，求实数m的取值范围解：(1)当B时，m6>2m1，即m<5当B时，即m.故实数m的取值范围是m|m<52在本例中，若将“AB”改为“AB”，求实数m的取值范围解：AB，两不等式端点不可能同时成立，故答案与本例一致3若将本例中的不等式变为方程，试解决如下问题：已知集合A

46、x|x24x0，Bx|x22(a1)xa210，aR，若BA，求实数a的取值范围解：Ax|x24x00，4，BA，B或B0或B4或B0，4(1)当B时，方程x22(a1)xa210无实根，则<0，即4(a1)24(a21)<0.a<1.(2)当B0时，有a1.(3)当B4时，有无解(4)当B0，4时，由韦达定理得a1.综上所述，a1或a1.随堂即时演练1给出下列四个判断：0；空集没有子集；任何一个集合必有两个或两个以上的子集；空集是任何一个集合的子集其中，正确的有()A0个B1个C2个 D3个解析：选B由空集的性质可知，只有正确，均不正确2已知Ax|x是菱形，Bx|x是正方形，Cx|x是平行四边形，那么A，B，C之间的关系是()AABC BBACCABC DABC解析：选B集合A，B，C关系如图3已知集合A1,3，m，B3,4，若BA，则实数m_.解析 ：BA，B3,4，A1,3，mmA，m4.答案：44集合Ax|0x<3且xN的真子集的个数为_解析：由题意得A0,1,2，故集合A有