[物理]2测量误差和数据处理3hppt课件

1、第二章第二章 丈量误差及数据处置丈量误差及数据处置丈量误差的来源及分类丈量误差的来源及分类丈量误差的表示方法丈量误差的表示方法随机误差的估算随机误差的估算粗大误差的判别粗大误差的判别系统误差的减小系统误差的减小丈量数据的处置丈量数据的处置2.0 丈量方法丈量方法丈量方法是实现丈量过程所采用的详细方法，该当根据丈量方法是实现丈量过程所采用的详细方法，该当根据被丈量的性质、特点和丈量义务的要求来选择适当的丈被丈量的性质、特点和丈量义务的要求来选择适当的丈量方法。按照丈量手续可以将丈量方法分为直接丈量和量方法。按照丈量手续可以将丈量方法分为直接丈量和间接丈量。按照获得丈量值的方式可以分为偏向式丈量、

2、间接丈量。按照获得丈量值的方式可以分为偏向式丈量、零位式丈量和微差式丈量。此外，根据传感器能否与被零位式丈量和微差式丈量。此外，根据传感器能否与被测对象直接接触，可区分为接触式丈量和非接触式丈量。测对象直接接触，可区分为接触式丈量和非接触式丈量。而根据被测对象的变化特点又可分为静态丈量和动态丈而根据被测对象的变化特点又可分为静态丈量和动态丈量等。量等。 1. 直接丈量与间接丈量直接丈量与间接丈量直接丈量直接丈量用事先分度或标定好的丈量仪表，直接读取被丈量丈量结用事先分度或标定好的丈量仪表，直接读取被丈量丈量结果的方法称为直接丈量。例如，用温度计丈量温度，用电果的方法称为直接丈量。例如，用温度计

3、丈量温度，用电压表丈量电压等。压表丈量电压等。直接丈量是工程技术中大量采用的方法，其优点是直观、直接丈量是工程技术中大量采用的方法，其优点是直观、简便、迅速，但不易到达很高的丈量精度。简便、迅速，但不易到达很高的丈量精度。间接丈量间接丈量首先，对和被丈量有确定函数关系的几个量进展丈量，然首先，对和被丈量有确定函数关系的几个量进展丈量，然后，再将丈量值代入函数关系式，经过计算得到所需结果。后，再将丈量值代入函数关系式，经过计算得到所需结果。这种丈量方法，属于间接丈量。例如，丈量直流电功率时，这种丈量方法，属于间接丈量。例如，丈量直流电功率时，根据根据PIU的关系，分别对的关系，分别对I、U进展直

4、接丈量，再计算出进展直接丈量，再计算出功率功率P。在间接丈量中，丈量结果。在间接丈量中，丈量结果y和直接丈量值和直接丈量值xi(i1，2，3)之间的关系式可用下式表示之间的关系式可用下式表示yf(x1x2x3) (1-3-1)间接丈量手续多，破费时间长，当被丈量不便于直接丈量间接丈量手续多，破费时间长，当被丈量不便于直接丈量或没有相应直接丈量的仪表时才采用。或没有相应直接丈量的仪表时才采用。2. 偏向式丈量、零位式丈量和微差式丈量偏向式丈量、零位式丈量和微差式丈量偏向式丈量偏向式丈量(直读式丈量直读式丈量在丈量过程中，利用丈量仪表指针相对于刻度初始点的在丈量过程中，利用丈量仪表指针相对于刻度初

5、始点的位移位移(即偏向即偏向)来决议被丈量的丈量方法，称为偏向式丈来决议被丈量的丈量方法，称为偏向式丈量。在运用这种丈量方法的仪表内并没有规范量具。只量。在运用这种丈量方法的仪表内并没有规范量具。只需经过规范量具校准过的标尺或刻度盘。丈量时，利用需经过规范量具校准过的标尺或刻度盘。丈量时，利用仪表指针在标尺上的示值，读取被丈量的数值。它以间仪表指针在标尺上的示值，读取被丈量的数值。它以间接方式实现被丈量和规范量的比较。例如万用表接方式实现被丈量和规范量的比较。例如万用表偏向式丈量仪表在进展丈量时，普通利用被丈量产生的偏向式丈量仪表在进展丈量时，普通利用被丈量产生的力或力矩，使仪表的弹性元件变形

6、，从而产生一个相反力或力矩，使仪表的弹性元件变形，从而产生一个相反的作用，并不断增大到与被丈量所产生的力或力矩相平的作用，并不断增大到与被丈量所产生的力或力矩相平衡时，弹性元件的变形就停顿了，此变形即可经过一定衡时，弹性元件的变形就停顿了，此变形即可经过一定的机构转变成仪表指针相对标尺起点的位移，指针所指的机构转变成仪表指针相对标尺起点的位移，指针所指示的标尺刻度值就表示了被丈量的数值。例如体重计示的标尺刻度值就表示了被丈量的数值。例如体重计偏向式丈量简单、迅速，但精度不高，这种丈量方法广偏向式丈量简单、迅速，但精度不高，这种丈量方法广泛运用于工程丈量中。泛运用于工程丈量中。零位式丈量补偿式或

7、平衡式丈量零位式丈量补偿式或平衡式丈量在丈量过程中，用知的规范量与被丈量比较，假设有差值，在丈量过程中，用知的规范量与被丈量比较，假设有差值，那么调整规范量使差值减小，该差值用指零仪表丈量，当那么调整规范量使差值减小，该差值用指零仪表丈量，当指零仪表在零位时，阐明被丈量等于规范量。用天平丈量指零仪表在零位时，阐明被丈量等于规范量。用天平丈量物体的质量就是零位式丈量的一个简单例子。用电位差计物体的质量就是零位式丈量的一个简单例子。用电位差计丈量未知电压也属于零位式丈量，如下页图所示的电路是丈量未知电压也属于零位式丈量，如下页图所示的电路是电位差计的原理性表示图。电位差计的原理性表示图。在零位式丈

8、量中，规范量具处于丈量系统中，它提供一个在零位式丈量中，规范量具处于丈量系统中，它提供一个可调理的规范量，被丈量可以直接与规范量相比较，丈量可调理的规范量，被丈量可以直接与规范量相比较，丈量误差主要取决于规范量具的误差。因此，可获得比较高的误差主要取决于规范量具的误差。因此，可获得比较高的丈量精度。另外，示零机构越灵敏，平衡的判别越准确，丈量精度。另外，示零机构越灵敏，平衡的判别越准确，愈有利于提高丈量精度。但是这种方法需求平衡操作，丈愈有利于提高丈量精度。但是这种方法需求平衡操作，丈量过程较复杂，破费时间长，即使采用自动平衡操作，反量过程较复杂，破费时间长，即使采用自动平衡操作，反响速度也遭

9、到限制，因此只能适用于变化缓慢的被丈量，响速度也遭到限制，因此只能适用于变化缓慢的被丈量，而不适于变化较快的被丈量。而不适于变化较快的被丈量。 电位差计原理图电位差计原理图I丈量时首先丈量时首先k k置于位置置于位置1 1，调理，调理RpRp时指零仪表指零，这时：时指零仪表指零，这时：然后将开关置于位置然后将开关置于位置2 2，此是丈，此是丈量位置，调理量位置，调理RxRx使指零仪表指零，使指零仪表指零，阐明整个系统平衡，即：阐明整个系统平衡，即：NNIRE标准电阻标准电池电动势NNXNNXXRERREIRE 微差式丈量微差式丈量 这是综合零位式丈量和偏向式丈量的优点而提出的一种丈量方法，根这

10、是综合零位式丈量和偏向式丈量的优点而提出的一种丈量方法，根本思绪是将被丈量本思绪是将被丈量x的大部分作用先与知规范量的大部分作用先与知规范量N的作用相抵消，剩余的作用相抵消，剩余部分即两者差值部分即两者差值xN，这个差值再用偏向法丈量。微差式丈量中，这个差值再用偏向法丈量。微差式丈量中，总是设法使差值很小，因此可选用高灵敏度的偏向式仪表丈量之。总是设法使差值很小，因此可选用高灵敏度的偏向式仪表丈量之。即使差值的丈量精度不高，但最终结果仍可到达较高的精度。即使差值的丈量精度不高，但最终结果仍可到达较高的精度。 例如，测定稳压电源输出电压随负载电阻变化的情况时，输出电压认例如，测定稳压电源输出电压

11、随负载电阻变化的情况时，输出电压认可表示为可表示为U0可表示可表示U0=U+U，其中，其中U是负载电阻变化所引起的输是负载电阻变化所引起的输出电压变化量，相对出电压变化量，相对U来讲为一小量。假设采用偏向法丈量，仪表必来讲为一小量。假设采用偏向法丈量，仪表必需有较大量程以满足需有较大量程以满足U0的要求，因此对的要求，因此对U，这个小量呵斥的，这个小量呵斥的U0的变的变化就很难测准。当然，可以改用零位式丈量，但最好的方法是如以下化就很难测准。当然，可以改用零位式丈量，但最好的方法是如以下图所示的微差式丈量。图所示的微差式丈量。 图中运用了高灵敏度电压表图中运用了高灵敏度电压表毫伏表和电位差计，

12、毫伏表和电位差计，RrRr和和E E分别表示稳压分别表示稳压电源的内阻和电动势，电源的内阻和电动势，RLRL表示稳压电源的负载，表示稳压电源的负载，E1E1、R1R1和和RwRw表示电位差计的参表示电位差计的参数。在丈量前调整数。在丈量前调整R1R1使电位差计任务电流使电位差计任务电流I1I1为规范值。然后，使稳压电源负载为规范值。然后，使稳压电源负载电阻电阻RLRL为额定值。调整为额定值。调整RPRP的活动触点，使毫伏表指示为零，这相当于事先用零的活动触点，使毫伏表指示为零，这相当于事先用零位式丈量出额定输出电压位式丈量出额定输出电压U U。正式丈量开场后，只需添加或减小负载电阻。正式丈量开

13、场后，只需添加或减小负载电阻RLRL的的值，负载变动所引起的稳压电源输出电压值，负载变动所引起的稳压电源输出电压U0U0的微小动摇值的微小动摇值U U，即可由毫伏表，即可由毫伏表指示出来。根据指示出来。根据U0=U+U0=U+U U，稳压电源输出电压在各种负载下的值都可以准确地，稳压电源输出电压在各种负载下的值都可以准确地丈量出来。微差式丈量法的优点是反响速度快，丈量精度高，特别适宜于在线丈量出来。微差式丈量法的优点是反响速度快，丈量精度高，特别适宜于在线控制参数的丈量。控制参数的丈量。 EE1R1RPRwRmRLRr微差式丈量原理图微差式丈量原理图2.1.1 丈量误差的概念及其表示方法丈量误

14、差的概念及其表示方法1. 丈量误差：对某一参数进展丈量时，由于各种要素的影响，丈量误差：对某一参数进展丈量时，由于各种要素的影响，使丈量值与被测参数的真值之间存在一定的差值，此差值就使丈量值与被测参数的真值之间存在一定的差值，此差值就是丈量误差。是丈量误差。2.丈量误差的来源：丈量误差的来源：1丈量方法丈量方法方法误差是指由于丈量方法不合理所引起的误差。如用电压方法误差是指由于丈量方法不合理所引起的误差。如用电压表丈量电压时，没有正确的估计电压表的内阻对丈量结果的表丈量电压时，没有正确的估计电压表的内阻对丈量结果的影响而呵斥的误差。在选择丈量方法时，应思索现有的丈量影响而呵斥的误差。在选择丈量

15、方法时，应思索现有的丈量设备及丈量的精度要求，并根据被丈量本身的特性来确定采设备及丈量的精度要求，并根据被丈量本身的特性来确定采用何种丈量方法和选择哪些丈量设备。正确的丈量方法，可用何种丈量方法和选择哪些丈量设备。正确的丈量方法，可以得到准确的丈量结果，否那么还能够损坏仪器、设备、元以得到准确的丈量结果，否那么还能够损坏仪器、设备、元器件等。器件等。2.1 误差的来源及分类误差的来源及分类2实际误差实际误差实际误差是由于丈量实际本身不够完善而采用近似公式或实际误差是由于丈量实际本身不够完善而采用近似公式或近似值计算丈量结果时所引起的误差。例如，传感器输入近似值计算丈量结果时所引起的误差。例如，

16、传感器输入输出特性为非线性但简化为线性特性，传感器内阻大而转输出特性为非线性但简化为线性特性，传感器内阻大而转换电路输入阻抗不够高，或是处置时采用略去高次项的近换电路输入阻抗不够高，或是处置时采用略去高次项的近似阅历公式，以及简化的电路模型等都会产生实际误差。似阅历公式，以及简化的电路模型等都会产生实际误差。3丈量安装误差丈量安装误差丈量安装误差是指丈量仪表本身以及仪表组成元件不完善丈量安装误差是指丈量仪表本身以及仪表组成元件不完善所引入的误差。如仪表刻度不准确或非线性，丈量仪表中所引入的误差。如仪表刻度不准确或非线性，丈量仪表中所用的规范量具的误差，丈量安装本身电气或机械性能不所用的规范量具

17、的误差，丈量安装本身电气或机械性能不完善，仪器、仪表的零位偏移等。为了减小丈量安装误差完善，仪器、仪表的零位偏移等。为了减小丈量安装误差应该不断地提高仪表及组成元件本身的质量。应该不断地提高仪表及组成元件本身的质量。4环境误差环境误差环境误差是丈量仪表的任务环境与要求条件不一致所呵环境误差是丈量仪表的任务环境与要求条件不一致所呵斥的误差。如温度、湿度，大气压力，振动，电磁场干斥的误差。如温度、湿度，大气压力，振动，电磁场干扰，气流扰动等引起的误差。扰，气流扰动等引起的误差。5人身误差人身误差人身误差是由于丈量者本人不良习惯、操作不熟练或忽人身误差是由于丈量者本人不良习惯、操作不熟练或忽略大意所

18、引起的误差。如念错读数、读刻度示值时总是略大意所引起的误差。如念错读数、读刻度示值时总是偏大或偏小等。偏大或偏小等。在丈量任务中，对于误差的来源必需仔细分析，采取相在丈量任务中，对于误差的来源必需仔细分析，采取相应措施，以减小误差对丈量结果的影响。应措施，以减小误差对丈量结果的影响。3. 研讨丈量误差的意义研讨丈量误差的意义 正确认识丈量误差的性质与分析丈量误差产生的缘正确认识丈量误差的性质与分析丈量误差产生的缘由，寻求最大限制地减小与消除丈量误差的途径。寻求由，寻求最大限制地减小与消除丈量误差的途径。寻求正确处置丈量数据的实际和方法，以便在同样条件下，正确处置丈量数据的实际和方法，以便在同样

19、条件下，能获得最准确最可靠地反映真值的丈量结果。能获得最准确最可靠地反映真值的丈量结果。 俗话说，差之毫厘，失之千里，一个小数点的错位，俗话说，差之毫厘，失之千里，一个小数点的错位，一个量纲的不正确，有能够导致宏大的浪费、失败、甚一个量纲的不正确，有能够导致宏大的浪费、失败、甚至呵斥人员伤亡等。至呵斥人员伤亡等。 2.1.2 丈量误差的分类丈量误差的分类对某一参数在一样条件下进展多次丈量时，以确定的规对某一参数在一样条件下进展多次丈量时，以确定的规律影响各次丈量值的误差。律影响各次丈量值的误差。 (system error) 引起系差的缘由是仪器仪表作用原理不完善；仪表本身引起系差的缘由是仪器

20、仪表作用原理不完善；仪表本身的资料、零部件、工艺有缺陷；测试中运用仪器仪表的的资料、零部件、工艺有缺陷；测试中运用仪器仪表的方法不正确；丈量者有不良的习惯等。系统误差是有规方法不正确；丈量者有不良的习惯等。系统误差是有规律的误差。故可以经过实际分析采用修正值或补偿校正律的误差。故可以经过实际分析采用修正值或补偿校正等方法来减小或消除。等方法来减小或消除。1.系统误差系统误差对某一参数在一样条件下进展多次反复丈量，误差的符号及大小变对某一参数在一样条件下进展多次反复丈量，误差的符号及大小变化无规律，呈现随机性的误差。产生缘由：仪器仪表内部某些零件化无规律，呈现随机性的误差。产生缘由：仪器仪表内部

21、某些零件的热噪声、机械部件的间隙、摩擦、电源电压和温度的频繁变化、的热噪声、机械部件的间隙、摩擦、电源电压和温度的频繁变化、电磁场干扰等引起的误差均属于随机误差。电磁场干扰等引起的误差均属于随机误差。2.随机误差随机误差随机误差就个体而言并无规律可循，但其总体却服从统计规律，总随机误差就个体而言并无规律可循，但其总体却服从统计规律，总的来说随机误差具有以下特性：的来说随机误差具有以下特性：(1) 对称性：绝对值相等、符号相反的误差在多次反复丈量中出现的对称性：绝对值相等、符号相反的误差在多次反复丈量中出现的能够性相等。能够性相等。(2) 有界性：在一定丈量条件下，随机误差的绝对值不会超出某一限

22、有界性：在一定丈量条件下，随机误差的绝对值不会超出某一限制。制。(3) 单峰性：绝对值小的随机误差比绝对值大的随机误差在多次反复单峰性：绝对值小的随机误差比绝对值大的随机误差在多次反复丈量中出现的时机多。丈量中出现的时机多。(4) 抵偿性：随机误差的算术平均值随丈量次数的添加而趋于零。抵偿性：随机误差的算术平均值随丈量次数的添加而趋于零。随机误差的变化通常难以预测，因此也无法经过实验方法随机误差的变化通常难以预测，因此也无法经过实验方法确定、修正和去除。但是，经过多次丈量比较可以发现随确定、修正和去除。但是，经过多次丈量比较可以发现随机误差服从某种统计规律机误差服从某种统计规律(如正态分布、均

23、匀分布、泊松分如正态分布、均匀分布、泊松分 布等布等)。由于某些缘由呵斥的使丈量值遭到显著歪曲的误差，可在由于某些缘由呵斥的使丈量值遭到显著歪曲的误差，可在反复丈量比较分析后消除。反复丈量比较分析后消除。产生缘由：粗大误差普通是由于操作人员大意大意、操作产生缘由：粗大误差普通是由于操作人员大意大意、操作不当或实验条件没有到达预定要求就进展实验等呵斥的。不当或实验条件没有到达预定要求就进展实验等呵斥的。如读错、测错、记错数值、运用有缺陷的丈量仪表等。如读错、测错、记错数值、运用有缺陷的丈量仪表等。含有粗大误差的丈量值称为坏值或异常值，一切的坏值在含有粗大误差的丈量值称为坏值或异常值，一切的坏值在

24、数据处置时应剔除掉。数据处置时应剔除掉。 3.粗大误差粗大误差2.2 误差的表示方法误差的表示方法2.2.1绝对误差绝对误差绝对误差是指丈量结果的丈量值与被丈量实践值之间的绝对误差是指丈量结果的丈量值与被丈量实践值之间的差值，即差值，即Axx被丈量实践值可用以下两种方法获得：被丈量实践值可用以下两种方法获得：1、用比所用仪表的精度等级高一级或数级的仪表的指、用比所用仪表的精度等级高一级或数级的仪表的指示值作为被丈量的实践值。示值作为被丈量的实践值。2、在丈量此数足够多时，仪表示值的算术平均值作为、在丈量此数足够多时，仪表示值的算术平均值作为被丈量的实践值。被丈量的实践值。2.2.2 相对误差相

25、对误差相对误差定义为绝对误差与真值之比的百分数，即相对误差定义为绝对误差与真值之比的百分数，即 %100AxA通常，用绝对误差来评价一样被丈量丈量精度的高低，用通常，用绝对误差来评价一样被丈量丈量精度的高低，用相对误差来评价不同被丈量丈量精度的高低。例如，用两相对误差来评价不同被丈量丈量精度的高低。例如，用两种方法丈量质量为种方法丈量质量为100kg的物体，其绝对误差的物体，其绝对误差X分别为分别为 0.1kg和和 0.2kg，显然第一种丈量方法的精度高些。假，显然第一种丈量方法的精度高些。假设用第三种方法丈量一质量为设用第三种方法丈量一质量为10kg的物体，其绝对误差的物体，其绝对误差分别为

26、分别为 0.1kg，此时要判别三种丈量的精度，用绝对，此时要判别三种丈量的精度，用绝对误差就不好判别了，由于被丈量不同。为判别丈量的精度，误差就不好判别了，由于被丈量不同。为判别丈量的精度，计算三者的相对误差分别为计算三者的相对误差分别为%1101 . 03%2 . 01002 . 02%1 . 01001 . 01AAA显然，第一种方法最好，第二种次之，第三种最差。显然，第一种方法最好，第二种次之，第三种最差。2.2.3 援用误差援用误差相对误差可以评价不同被丈量的丈量精度，却不能用相对误差可以评价不同被丈量的丈量精度，却不能用来评价不同仪表的质量。由于同一仪表在整个丈量范来评价不同仪表的质

27、量。由于同一仪表在整个丈量范围内的相对误差不是定值，由相对误差的定义可知，围内的相对误差不是定值，由相对误差的定义可知，在绝对误差一样的情况下，随着被丈量的减小，相对在绝对误差一样的情况下，随着被丈量的减小，相对误差逐渐增大。为合理的评价仪表的丈量质量，引入误差逐渐增大。为合理的评价仪表的丈量质量，引入援用误差的概念。援用误差定义为绝对误差与丈量仪援用误差的概念。援用误差定义为绝对误差与丈量仪表的满量程的百分比，即表的满量程的百分比，即引引X /100% 称丈量值为时的援用误差。式中为满刻度值。称丈量值为时的援用误差。式中为满刻度值。援用误差有最大值：援用误差有最大值： 按国家规范规定，用最大

28、援用误差来定义和划分仪器仪表按国家规范规定，用最大援用误差来定义和划分仪器仪表的精度等级，共的精度等级，共7级：级：0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5.0。仪表的精度等级通常以仪表的精度等级通常以S来表示。来表示。%100mmomxx1.0精度等级普通用精度等级普通用一定的符号方式一定的符号方式表示在仪外表板表示在仪外表板上如右图所上如右图所示：示：1.5精度等级数值小于等于精度等级数值小于等于0.05的仪表通常用来作为规范表，的仪表通常用来作为规范表，而工业用表的精度等级数值普通大于等于而工业用表的精度等级数值普通大于等于0.5。在工程丈量中，通常只做一次直接丈量而获得丈量结

29、果，此在工程丈量中，通常只做一次直接丈量而获得丈量结果，此时如何从仪器仪表的精度等级来确定丈量误差呢？时如何从仪器仪表的精度等级来确定丈量误差呢？设只需根本误差的情况下，仪器仪表的最大绝对误差为：设只需根本误差的情况下，仪器仪表的最大绝对误差为： 与与 示值之比，即为最大示值相对误差示值之比，即为最大示值相对误差mmxsx%mxxxxsxxmmxm%100例：丈量一个约例：丈量一个约80V的电压。现有二块电压表，一块量程为的电压。现有二块电压表，一块量程为300V，0.5级，另一块量程级，另一块量程100V，1.0级，问选择哪一块为级，问选择哪一块为好？好？解：根据式解：根据式1 运用运用30

30、0V，0.5级电压表时级电压表时2 运用运用100V，1.0级电压表时级电压表时 可见，用可见，用100V，1.0级电压表丈量该电压时，精度比较级电压表丈量该电压时，精度比较高，应选用高，应选用100V，1.0级电压表较好。级电压表较好。%88. 180300%5 . 01x%25. 180100%0 . 12xxxsxxmmxm%100 随机误差的存在导致每次丈量结果有些不同，将丈量值进展分组统计随机误差的存在导致每次丈量结果有些不同，将丈量值进展分组统计(直直方图法方图法)，将最大值与最小值之间进展，将最大值与最小值之间进展N等分，在直角坐标系中横轴表示等分，在直角坐标系中横轴表示丈量值，

31、纵轴表示丈量值落在每一等分内的个数即频数，便可作出直方丈量值，纵轴表示丈量值落在每一等分内的个数即频数，便可作出直方图，此图显现中间多、两边低，两边对称的特点。具有这种分布特点的图，此图显现中间多、两边低，两边对称的特点。具有这种分布特点的随机变量称之为服从正态分布。随机变量称之为服从正态分布。 2. 3 随机误差的估算和粗大误差的判别准那么随机误差的估算和粗大误差的判别准那么1lim0Nini 1lim0Nini 1lim0Nini2.3.1 随机误差的正态分布规律随机误差的正态分布规律随机误差的随机误差的正态分布曲线正态分布曲线2.3.2 真实值与算术平均值真实值与算术平均值设对某一物理量

32、进展直接多次丈量，丈量值分别为设对某一物理量进展直接多次丈量，丈量值分别为x1,x2,x3,x4,xn,各次丈量值的随机误差为各次丈量值的随机误差为将随机误差相加将随机误差相加两边同除两边同除n得得01111nniiiixxxnn用用 代表丈量列的算术平均值样本平均值代表丈量列的算术平均值样本平均值 011niixxxn0 xxxii01101)(nxxxxxniniiiniiniinxnxxxnx1211).(1xx0为真实为真实值值(A0) 根据随机误差的抵偿特征，即根据随机误差的抵偿特征，即 11lim0ninixn 于是于是 0 xx可见，当丈量次数很多时，算术平均值趋于真实值，可见，

33、当丈量次数很多时，算术平均值趋于真实值，也就是说，算术平均值受随机误差影响比单次丈量小。也就是说，算术平均值受随机误差影响比单次丈量小。且丈量次数越多，影响越小。因此可以用多次丈量的且丈量次数越多，影响越小。因此可以用多次丈量的算术平均值替代真实值，并称为最可信任值。算术平均值替代真实值，并称为最可信任值。抵偿性：随机误差的算术平均值随丈量次数的添加而趋于零。抵偿性：随机误差的算术平均值随丈量次数的添加而趋于零。2.3.3 随机误差的估算随机误差的估算 规范差规范差规范差规范差定义为定义为 201()niixxn它是一定丈量条件下随机误差最常用的估计值。其物它是一定丈量条件下随机误差最常用的估

34、计值。其物理意义为随机误差落在理意义为随机误差落在(，)区间的概率为区间的概率为68.3%。区间区间(，)称为置信区间，相应的概率称为置信概称为置信区间，相应的概率称为置信概率。显然，置信区间扩展，那么置信概率提高。置信率。显然，置信区间扩展，那么置信概率提高。置信区间取区间取(2，2) 、 (3，3)时，相应的置信时，相应的置信概率概率 P(2)=95.4%,P(3)=99.7%. 如图是不同如图是不同值时的概率密度曲线。值时的概率密度曲线。值越小，曲线陡且峰值高，阐明值越小，曲线陡且峰值高，阐明丈量值的随机误差集中，小误差丈量值的随机误差集中，小误差占优势，各丈量值的分散性小，占优势，各丈

35、量值的分散性小，反复性好。反之，反复性好。反之，值越大，曲线值越大，曲线较平坦，各丈量值的分散性大，较平坦，各丈量值的分散性大，反复性差。反复性差。 定义定义3为极限误差，其概率含义是在为极限误差，其概率含义是在1000次丈量中只需次丈量中只需3次次丈量的误差绝对值会超越丈量的误差绝对值会超越3。由于在普通丈量中次数很少。由于在普通丈量中次数很少超越几十次，因此，可以以为丈量误差超超越几十次，因此，可以以为丈量误差超 3出范围的概出范围的概率是很小的，故称为极限误差，普通可作为可疑值取舍的断率是很小的，故称为极限误差，普通可作为可疑值取舍的断定规范。定规范。 不同不同的概率密度曲线的概率密度曲

36、线 规范差的物理意义规范差的物理意义2.3.4 贝塞尔公式贝塞尔公式 iixx 211()11nniiiixxnn由于真值未知时，随机误差由于真值未知时，随机误差 不可求，可用各次丈量值与不可求，可用各次丈量值与算术平均值之差算术平均值之差剩余误差剩余误差ix替代误差替代误差 来估算有限次丈量中的规范差，得到的结来估算有限次丈量中的规范差，得到的结果就是单次丈量的规范差，用果就是单次丈量的规范差，用 表示，它只是表示，它只是的一个的一个估算值。由误差实际可以证明估算值。由误差实际可以证明n次丈量的规范差的计算次丈量的规范差的计算式为式为ix2.3.5 算术平均值的规范差算术平均值的规范差21(

37、)(1)niiS xn nn 在丈量中用算术平均值作为最可信任值，它比单次丈量得在丈量中用算术平均值作为最可信任值，它比单次丈量得到的结果可靠性高。由于丈量次数有限，因此到的结果可靠性高。由于丈量次数有限，因此 也不等也不等于于 。也就是说，。也就是说， 还是存在随机误差的，可以证明，算还是存在随机误差的，可以证明，算术平均值的规范差术平均值的规范差 是单次丈量值的规范差是单次丈量值的规范差 的的 倍，倍，即即x0 xx)(xsn/1上式阐明，在上式阐明，在n 较小时，添加丈量次数较小时，添加丈量次数n，可明显减小丈量结果的规，可明显减小丈量结果的规范差，提高丈量的精细度。但随着范差，提高丈量

38、的精细度。但随着n的增大，减小的程度越来越小；的增大，减小的程度越来越小；当当n大到一定数值时大到一定数值时 就几乎不变了。就几乎不变了。)(xs可用可用 来评定丈量结果来评定丈量结果的分散性的分散性)(xs因此在实践丈量中，普通因此在实践丈量中，普通n取取1020次就可以。要提高次就可以。要提高丈量结果的精细度，不能单纯靠添加丈量次数，而应该丈量结果的精细度，不能单纯靠添加丈量次数，而应该在添加丈量次数的同时，减小规范差在添加丈量次数的同时，减小规范差 ，这就意味着，这就意味着要改善丈量方法，采用精度较高的仪器仪表，才干进一要改善丈量方法，采用精度较高的仪器仪表，才干进一步提高丈量的精细度。

39、步提高丈量的精细度。2.3.6 粗大误差的判别准那么粗大误差的判别准那么 由于随机误差具有有界性，因此，丈量结果明显不同由于随机误差具有有界性，因此，丈量结果明显不同于期望值的丈量值含粗大误差于期望值的丈量值含粗大误差(疏失误差疏失误差)，应该予以，应该予以剔除。判别粗大误差的准那么很多，下面引见两种。剔除。判别粗大误差的准那么很多，下面引见两种。1. 莱特准那么莱特准那么 准那么准那么当丈量数据中，某数据当丈量数据中，某数据 的剩余误差满足的剩余误差满足ix3iv3那么该丈量数据含有粗大误差，应予以剔除。那么该丈量数据含有粗大误差，应予以剔除。在丈量次数足够多在丈量次数足够多n20时，按莱特

40、准那么剔除坏值是客观合理的。时，按莱特准那么剔除坏值是客观合理的。但是丈量次数较少但是丈量次数较少n20时，其结果不一定可靠，这时应采用格罗时，其结果不一定可靠，这时应采用格罗布斯布斯(Grubbs)准那么。准那么。2. 格罗布斯格罗布斯(Grubbs)准那么准那么当丈量数据中，某数据当丈量数据中，某数据 的剩余误差满足的剩余误差满足 那么该丈量数据含有粗大误差，应予以剔除。那么该丈量数据含有粗大误差，应予以剔除。 式中式中G为格罗布斯系数，它与丈量次数为格罗布斯系数，它与丈量次数n和显著性程度和显著性程度a有关，见有关，见下表。显著性程度下表。显著性程度a普通取普通取0.01或或0.05，置

41、信概率，置信概率 。ix1pa Gvi剔除坏值以后，对剩下的丈量数据重新计算算术平均值和规范差剔除坏值以后，对剩下的丈量数据重新计算算术平均值和规范差的估算值，重新再作判别，直到丈量数据无坏值为止。的估算值，重新再作判别，直到丈量数据无坏值为止。iixx0.010.050.010.0531.151.15172.782.4841.491.46182.822.5051.751.67192.852.5361.941.82202.882.5672.101.94212.912.5882.222.03222.942.6092.232.11232.962.62102.412.18242.992.64112.

42、482.23253.012.66122.552.28303.102.74132.612.33353.182.81142.662.37403.242.87152.702.41503.342.96162.752.441003.593.17格罗布斯系数表格罗布斯系数表na2. 4 系统误差及其减小的方法系统误差及其减小的方法由于系统误差对丈量精度的影响较大，必需消除系统误差由于系统误差对丈量精度的影响较大，必需消除系统误差的影响才干有效地提高丈量精度，由于它不易被发现，故的影响才干有效地提高丈量精度，由于它不易被发现，故更应该注重其影响，由于它不具备抵偿性，所以不能用求更应该注重其影响，由于它不具备

43、抵偿性，所以不能用求平均值的方法加以消除，但是系统误差是有规律的误差，平均值的方法加以消除，但是系统误差是有规律的误差，因此可以采用一些技术措施减弱或消除其对丈量结果的准因此可以采用一些技术措施减弱或消除其对丈量结果的准确度的影响。确度的影响。 2.4.1 系统误差的分类系统误差的分类1. 恒值定值系统误差：这类恒值定值系统误差：这类误差是大量存在的。在丈量中误误差是大量存在的。在丈量中误差的大小和符号是固定不变的，差的大小和符号是固定不变的，例如仪器仪表的根本误差；仪表例如仪器仪表的根本误差；仪表的零点偏高或偏低等均属恒值系的零点偏高或偏低等均属恒值系统误差。统误差。2. 变值系统误差：它是

44、按照一定变值系统误差：它是按照一定规律变化的系统误差，例如按线规律变化的系统误差，例如按线性、周期性或比较复杂的规律变性、周期性或比较复杂的规律变化。化。系统误差表示图系统误差表示图 其中其中1为定值系差，为定值系差，2 为线性系统误差，为线性系统误差，3为周期系统误差，为周期系统误差，4为按复杂规律变化为按复杂规律变化的系统误差。的系统误差。2.4.2 系统误差的判别系统误差的判别 1. 定值系统误差的发现定值系统误差的发现1) 实验对比法实验对比法对于定值系统误差，通常采用实验对比法发现和确定。实验对比法又可对于定值系统误差，通常采用实验对比法发现和确定。实验对比法又可分为规范器件法分为规

45、范器件法(简称规范件法简称规范件法)和规范仪器法和规范仪器法(简称规范表法简称规范表法)两种。两种。规范器件法就是用丈量仪表对高精度的规范器件规范器件法就是用丈量仪表对高精度的规范器件(如规范砝码如规范砝码)进展多次进展多次反复丈量。假设定值系差存在那么丈量值与规范器件的差值为固定值。反复丈量。假设定值系差存在那么丈量值与规范器件的差值为固定值。该差值的相反数即可作为仪表的修正值。该差值的相反数即可作为仪表的修正值。规范仪器法是用精度等级高于被标定仪器规范仪器法是用精度等级高于被标定仪器(即需求检验能否具有系统误即需求检验能否具有系统误差的仪表差的仪表)的规范仪器和被标定仪器同时丈量被丈量。将

46、规范仪器的丈的规范仪器和被标定仪器同时丈量被丈量。将规范仪器的丈量值作为相对真值。假设两丈量仪表的丈量值存在固定差值那么可判别量值作为相对真值。假设两丈量仪表的丈量值存在固定差值那么可判别有定值系差，并将差值的相反数作为修正值。有定值系差，并将差值的相反数作为修正值。当无法经过规范器件或规范仪器来发现并消除定值系差时，还可以经过当无法经过规范器件或规范仪器来发现并消除定值系差时，还可以经过多台同类或相近的仪器进展相互对比，察看丈量结果的差别，以便提供多台同类或相近的仪器进展相互对比，察看丈量结果的差别，以便提供一致性的参考数据。一致性的参考数据。2) 改动外界丈量条件改动外界丈量条件 有些检测

47、系统，一旦丈量环境或被测参数值发生变化，其有些检测系统，一旦丈量环境或被测参数值发生变化，其系统误差往往也从一个固定值变化到另一个固定值。利用这系统误差往往也从一个固定值变化到另一个固定值。利用这一特性，可以有认识地改动丈量条件，来发现和确定仪器在一特性，可以有认识地改动丈量条件，来发现和确定仪器在不同条件下的系统误差。例如，改换丈量人员或改动丈量方不同条件下的系统误差。例如，改换丈量人员或改动丈量方法等。分别测出两组或两组以上数据，然后比较其差别，便法等。分别测出两组或两组以上数据，然后比较其差别，便可判别能否含有定值系差，同时还可设法消除系统误差。留可判别能否含有定值系差，同时还可设法消除

48、系统误差。留意，在改动丈量条件进展丈量时，应该判别在条件改动后能意，在改动丈量条件进展丈量时，应该判别在条件改动后能否引入新的系统误差。否引入新的系统误差。3) 实际计算及分析实际计算及分析 因丈量原理或检测方法等方面存在缺乏而引入的定值系差，因丈量原理或检测方法等方面存在缺乏而引入的定值系差，可经过原理分析与实际计算来加以修正。对此需求有针对性可经过原理分析与实际计算来加以修正。对此需求有针对性地仔细研讨和计算、评价实践值与实际值之间的差别，然后地仔细研讨和计算、评价实践值与实际值之间的差别，然后设法补偿和消除系统误差。设法补偿和消除系统误差。2. 变值系统误差的发现变值系统误差的发现 1)

49、 剩余误差察看法残差察看法剩余误差察看法残差察看法当系统误差与随机误差相比较大时，经过察看丈量数据的各个剩当系统误差与随机误差相比较大时，经过察看丈量数据的各个剩余误差大小和符号的变化规律来判别有无变值系统误差。余误差大小和符号的变化规律来判别有无变值系统误差。假设剩余误差数值有规律的递增或递减，且剩余误差序列减去其假设剩余误差数值有规律的递增或递减，且剩余误差序列减去其中值后的新数列在以中值为原点的数轴上呈正负对称分布，那么中值后的新数列在以中值为原点的数轴上呈正负对称分布，那么阐明丈量存在线性变化的系统误差。阐明丈量存在线性变化的系统误差。假设发现剩余误差序列呈有规律交替反复变化，那么阐明

50、丈量存假设发现剩余误差序列呈有规律交替反复变化，那么阐明丈量存在周期性系统误差。在周期性系统误差。当系统误差比随机误差小或相当时，那么不能经过察看来发现系当系统误差比随机误差小或相当时，那么不能经过察看来发现系统误差，必需经过专门的判别准那么才干较好地发现和确定。这统误差，必需经过专门的判别准那么才干较好地发现和确定。这些判别准那么本质上是检验误差的分布能否偏离正态分布，常用些判别准那么本质上是检验误差的分布能否偏离正态分布，常用的有马利科夫准那么和阿贝的有马利科夫准那么和阿贝-赫梅特准那么等。赫梅特准那么等。无系统误差无系统误差线性系统误差线性系统误差周期性系统误差周期性系统误差线性和周期性

51、误差线性和周期性误差同时存在同时存在2) 马利科夫准那么马利科夫准那么马利科夫准那么适用于判别、发现和确定线性系统误差。设对某一马利科夫准那么适用于判别、发现和确定线性系统误差。设对某一被丈量进展次等精度丈量，按丈量先后顺序得到被丈量进展次等精度丈量，按丈量先后顺序得到X1,X2Xi,Xn等等数值。令这些数值的算术平均值为数值。令这些数值的算术平均值为1() /niixxn相应的剩余误差为：相应的剩余误差为： (1,2, )iixx in将前面一半以及后面一半数据的剩余误差分别求和，然后取其差值，将前面一半以及后面一半数据的剩余误差分别求和，然后取其差值，有有:11kniiii iM 假设假设

52、M近似为零，那么阐明上述丈量列中不含线性系统误差；假设近似为零，那么阐明上述丈量列中不含线性系统误差；假设M与与vi 相当或更大，那么阐明丈量列中存在线性系统误差。相当或更大，那么阐明丈量列中存在线性系统误差。3) 阿贝阿贝-赫梅特赫梅特(Abbe-Helmert)准那么准那么 111niiiA 阿贝阿贝-赫梅特准那么用于发现周期性系统误差。此准那么的实践操作方赫梅特准那么用于发现周期性系统误差。此准那么的实践操作方法也是将在等精度反复丈量下得到的一组丈量值法也是将在等精度反复丈量下得到的一组丈量值 , X1,X2Xi,Xn按按顺序陈列，并求出相应的剩余误差顺序陈列，并求出相应的剩余误差 。然

53、后计算。然后计算i假设存在假设存在 成立成立 为丈量数据序列的规范差，为丈量数据序列的规范差，那么以为丈量序列中含有周期性系统误差。那么以为丈量序列中含有周期性系统误差。12nA2211()11nniiiixxnn2.4.3 减小系统误差的方法减小系统误差的方法分析和研讨系统误差的最终目的是减小和消除系统误差。分析和研讨系统误差的最终目的是减小和消除系统误差。下面引见一些常用的消除系统误差的方法。下面引见一些常用的消除系统误差的方法。1. 消除系统误差产生的根源消除系统误差产生的根源为减小系统误差的影响，应该从测试系统的设计时入手。为减小系统误差的影响，应该从测试系统的设计时入手。选用适宜的丈

54、量方法以防止方法误差；选择最正确的丈量选用适宜的丈量方法以防止方法误差；选择最正确的丈量仪表与合理的装配工艺，以减小工具误差；应选择适宜的仪表与合理的装配工艺，以减小工具误差；应选择适宜的丈量环境以减小环境误差。此外，还需定期的检查、维修丈量环境以减小环境误差。此外，还需定期的检查、维修和校正丈量仪器以保证丈量的精度。和校正丈量仪器以保证丈量的精度。2. 2. 引入更正值法修正值引入更正值法修正值该方法主要用于消除定值系统误差。在丈量之前，经过对该方法主要用于消除定值系统误差。在丈量之前，经过对丈量仪表进展校准，可以得到更正值，将更正值参与丈量丈量仪表进展校准，可以得到更正值，将更正值参与丈量

55、值中，即得到被丈量的真值。应该留意的是，更正值本身值中，即得到被丈量的真值。应该留意的是，更正值本身的误差应小于所要求的丈量误差。由于更正值本身也存在的误差应小于所要求的丈量误差。由于更正值本身也存在误差，因此系统误差并没有完全消除，只是大大地被消弱误差，因此系统误差并没有完全消除，只是大大地被消弱了。适用于工程丈量。了。适用于工程丈量。更正值普通用更正值普通用C C 表示，它是与丈量误差的绝对值相等而符表示，它是与丈量误差的绝对值相等而符号相反的值。更正值给出的方式不一定是详细的数值，也号相反的值。更正值给出的方式不一定是详细的数值，也可以是一条曲线、公式或数表。在某些自动检测系统中，可以是

56、一条曲线、公式或数表。在某些自动检测系统中，预先将更正值储存于计算机的内存中，这样可对丈量结果预先将更正值储存于计算机的内存中，这样可对丈量结果中的系统误差自动进展修正。中的系统误差自动进展修正。 3. 采用特殊丈量方法消除系统误差采用特殊丈量方法消除系统误差 1) 直接比较法零位法直接比较法零位法 直接比较法即零位式丈量法，用于消除定值系统误差。该方法的优点直接比较法即零位式丈量法，用于消除定值系统误差。该方法的优点在于当指示器的灵敏度足够高时，丈量的准确度取决于规范的知量，在于当指示器的灵敏度足够高时，丈量的准确度取决于规范的知量，而规范量具的误差是很小的。而规范量具的误差是很小的。零位法

57、原理图零位法原理图 电位差计原理图电位差计原理图 2) 替代法替代法 替代法主要用于消除定值系统误差，其操作方法为用可替代法主要用于消除定值系统误差，其操作方法为用可调的规范量具取代被丈量调的规范量具取代被丈量 接入丈量仪表，经过调理规接入丈量仪表，经过调理规范量具范量具A的值使丈量仪表的示值与被丈量接入时一样，于的值使丈量仪表的示值与被丈量接入时一样，于是有是有 。xxA替代法的特点是被丈量与规范量具经过丈量安装进展比替代法的特点是被丈量与规范量具经过丈量安装进展比较，丈量安装的系统误差不带给丈量结果，它只起区分较，丈量安装的系统误差不带给丈量结果，它只起区分有无差别的作用，因此丈量安装的灵

58、敏度应该足够高，有无差别的作用，因此丈量安装的灵敏度应该足够高，否那么不能得到期望的结果。否那么不能得到期望的结果。例如，丈量某未知电阻例如，丈量某未知电阻Rx，要求误差小于，要求误差小于0.1%。首先将它接入一个电桥中。首先将它接入一个电桥中(如图如图)，该电，该电桥的误差为桥的误差为1%。调整桥臂电阻。调整桥臂电阻 、 使使电桥平衡；然后取下电桥平衡；然后取下 ，换上规范电阻箱，换上规范电阻箱 (电阻箱为电阻箱为0.01级级)。坚持。坚持 不动，调理不动，调理 的大小，使电桥再次平衡，此时被测电阻的大小，使电桥再次平衡，此时被测电阻 。只需丈量灵敏度足够，根据这种方法丈量。只需丈量灵敏度足

59、够，根据这种方法丈量 的准确度与规范电阻箱的准确度相当，而与检的准确度与规范电阻箱的准确度相当，而与检流计流计 和电阻和电阻 的恒值误差无关，因此的恒值误差无关，因此可以满足丈量要求。可以满足丈量要求。1R2RxRsR1R2RsRsxRR1R2RxR3) 交换法交换法这种方法是指当丈量仪表内部存在固定方向的误差要素时，这种方法是指当丈量仪表内部存在固定方向的误差要素时，将丈量中的某些条件将丈量中的某些条件(如被测物的位置或被丈量的极性等如被测物的位置或被丈量的极性等)相互交换，使产生系差的缘由对先后两次丈量结果起反作相互交换，使产生系差的缘由对先后两次丈量结果起反作用，将这两次丈量结果加以适当

60、的数学处置用，将这两次丈量结果加以适当的数学处置(通常取其算术通常取其算术平均值或几何平均值平均值或几何平均值)，即可消除系统误差。，即可消除系统误差。例如，以等臂天平丈量质量时，由于天平左右两臂长的微例如，以等臂天平丈量质量时，由于天平左右两臂长的微小差别，会引起丈量的定值系统误差。假设将被称物与砝小差别，会引起丈量的定值系统误差。假设将被称物与砝码在天平左右两盘上分别各称量一次，取两次丈量平均值码在天平左右两盘上分别各称量一次，取两次丈量平均值作为被称物的质量，这时丈量结果中就不含有因天平不等作为被称物的质量，这时丈量结果中就不含有因天平不等臂引起的系统误差。臂引起的系统误差。 4) 微差