GCT考研极限连续

1、1会计学GCT考研极限连续考研极限连续考试内容及要求考试内容及要求一、掌握函数的概念及表示法一、掌握函数的概念及表示法1、函数的定义，会求函数的定义域及函数值。、函数的定义，会求函数的定义域及函数值。2、会判别函数的特征：、会判别函数的特征： 有界性、单调性、周期性、奇偶性。有界性、单调性、周期性、奇偶性。3、掌握函数的分类：、掌握函数的分类：第一类、第一类、 基本初等函数（六类含基本初等函数（六类含16个式个式 子）子）熟悉掌握：熟悉掌握：-名称、表达式、定义域、值域、特征、图形。名称、表达式、定义域、值域、特征、图形。 32sinln6xyxex531 lnsin1 lnxxyxx ex2

2、2ln()yxax含四项，有加、减、乘运算含四项，有加、减、乘运算含三项，有加、减、乘、除、复合运算含三项，有加、减、乘、除、复合运算含一项，有复合、加法运算含一项，有复合、加法运算 均为初等函数均为初等函数如：如： 由基本初等函数经有限次的四则运算及复合运算，由基本初等函数经有限次的四则运算及复合运算，并用一个式子表示的函数，统称为初等函数。并用一个式子表示的函数，统称为初等函数。 第二类、初等函数第二类、初等函数2100 xexyxx 21nyxxx 23( )xyf t dt(3)、非初等函数、非初等函数不是初等函数的一切函数，统称为非初等函数。不是初等函数的一切函数，统称为非初等函数。

3、如：（如：（1）分段函数）分段函数不能用一个式子表示的函数不能用一个式子表示的函数（2）无穷项相加）无穷项相加-由级数表示的函数由级数表示的函数 (3) 由积分表示的函数由积分表示的函数（4）由极限表示的函数）由极限表示的函数221lim1nnnxx约占约占48分分二、理解极限的概念，并会求各种形式的极限二、理解极限的概念，并会求各种形式的极限1、数列极限：、数列极限： 2、函数极限：、函数极限：（1）按自变量的变化趋势分为六种：）按自变量的变化趋势分为六种：00000lim( )(0)lim( )lim( )(0)xxxxxxf xf xf xf xf x的说法的说法lim( )lim( )

4、lim( )xxxf xf xXf x的说法的说法（2）按因变量的变化趋势分为七种：）按因变量的变化趋势分为七种：0,0, 0,1 ,000 , 4、理解无穷小（大）的概念，、理解无穷小（大）的概念， 掌握无穷小的性质及比较。掌握无穷小的性质及比较。3、掌握极限的运算法则、性质、两个重要极限、掌握极限的运算法则、性质、两个重要极限 及两个极限存在准则。及两个极限存在准则。三、理解函数连续与间断的概念，三、理解函数连续与间断的概念， 及闭区间上连续函数的性质及闭区间上连续函数的性质0 x的连续性：极限值的连续性：极限值=函数值函数值)()(lim00 xfAxfxx1、在点、在点2、单侧连续、单

5、侧连续000(0)lim( )()xxf xf xf x 0)()(limlim0000 xfxxfyxx形式一形式一形式二形式二000(0)lim( )()xxf xf xf x左连续左连续右连续右连续xy1sin 3 3、会求函数间断点及判别的类型、会求函数间断点及判别的类型: :可去型可去型第一类间断点第一类间断点跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第二类间断点第二类间断点oyx0 xoyx0 xoyx0 xGCT历年真题分析历年真题分析0,10,)().2008( 1xxxxxf，则有，则有 )()(.)()(.2xfxffBxfxffA)()(.)()(.xfxffDxfxffC)(

6、)(, 0)(:xfxffxf所以因为解故选取故选取 B, 4)(lim).2007(21则有若xfx处无定义在1)(.4)(.xxfBxfA2)(1.xfxC的某去心邻域在4)(1.xfxD的某去心邻域在2)(1xfx的某去心邻域在由保号性有因为解, 24)(lim:1xfx故选取故选取 C典型例子分析典型例子分析一一. 函数（归结为三个方面）函数（归结为三个方面）1. 求函数的定义域求函数的定义域2. 讨论函数的特征讨论函数的特征3. 函数符号的运用函数符号的运用例例1：设函数：设函数f xxtgxex( )sin ,则则f x( )是是 (A)偶函数偶函数 (B) 无界函数无界函数 (C

7、)周期函数周期函数 (D)单调函数单调函数B 222222lim(35)lim3limlim5xxxxxxxx254104)3(3)3(1)3(431lim2322323xxxx二、求极限的方法与技巧二、求极限的方法与技巧关键：判别类型，然后选择相应方法关键：判别类型，然后选择相应方法,消除不定因素。消除不定因素。 1. 定式的极限定式的极限(1)代值法代值法 (2)运算法则运算法则 (3)无穷小的性质无穷小的性质例例1:例例2:223 253 2、00（1）因式分解或有理化去零因子）因式分解或有理化去零因子型的求解方法型的求解方法61)3)(3(3lim93lim30023xxxxxxx1)

8、 1)(2(2lim232lim20022xxxxxxxx例例3：61)39(99lim39lim222200220 xxxxxxx-分子或分母中含有根式时用分子或分母中含有根式时用 I、常用式子、常用式子0 x当当时，时，sinxxtan;xx21 cos2xx1;ln(1) ;11xnxexxxxnII、推广：、推广：lim( )0 xXf x若若当当xX时，时，sin( ) ( ) ;fxfx( )1( );ln1( )( );f xef xf xf xarcsin;arctanxxxx22sinxx1xex1x 22sin(1) 1xxx 11ln(1) ;xx2111 cos2xx如

9、：当如：当时时，时，时，时，时，33ln1xx 0 x 231x221x.1cos1)1 (lim3120 xxx解解:,0时当 x1)1 (312 x231x1cosx221x0limx原式32机动 目录 上页 下页 返回 结束 又如：又如：00333limlimln(12 )22xxarctg xxxx（2 2）（3 3）xxxcos13sinlim20 2/3lim220 xxx .6 20cossin1limxxxxx )cossin1(cossin1lim20 xxxxxxxx 2020sinlim21cos1lim21xxxxxxx .43 共轭因子法共轭因子法拆拆项项)()(li

10、m)()(limxFxfxFxfaxax（4）变量替换法）变量替换法（5）洛必塔法则）洛必塔法则0sinlim1xxx（3）重要公式）重要公式I20sin2()limsinxxxtxdttxx304(sin) (sin)limxxxxxxx例例5：2222002sin22()2(sin)limlim1 cos2xxxxxxxxx201 cos44(1 1)lim33xxx型未定式型未定式)()(limxFxfax)()(limxFxfax机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1)化为无穷小讨论化为无穷小讨论（2）洛必达法则）洛必达法则.125934lim22xxxxx解解: x时时,分子分子.

11、22111125934limxxxxx分子分母同除以分子分母同除以,2x则则54分母分母“ 抓大头抓大头”原式原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 型型如：如：求求（处理（处理 型）型）（3）看阶法）看阶法为非负常数为非负常数 )nmba,0(00mn 当mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,0,机动 目录 上页 下页 返回 结束 mn 当mn 当推广二：若在某一过程中为推广二：若在某一过程中为“分母同除以绝对值最大的项。分母同除以绝对值最大的项。”型，则分子，型，则分子，4、“”型及型及“0这种类型不能直接求极限，应先化为这种类型不能直接求极限，应先化为“00”或

12、或“然后再求极限，常用方法：然后再求极限，常用方法：”型不定式型不定式”型，型，（1）通分；（）通分；（2）有理化；）有理化；（3）变量替换法；（）变量替换法；（4）下放。）下放。例例6：2112(1) lim()11xxx11 21lim(1)(1)2xxxx 02100lim50100 xxxx22220tanlim()tanxxxxx2(2) lim(100)xxxx22011(3) lim()tanxxx23200tantansec12lim()2lim33xxxxxxxxxx1、利用导数定义、利用导数定义例例7：（：（1）设）设( )fa存在，则存在，则0()()limxf axf

13、axIx（2）设）设( )f x可微，可微，22400( )(0)0,(0)1,( )(),lim.xxF xffF xtf xtdtx求()( )fa220430011()() 222limlim4xxxf u duf xxIxx220(0)(0)1lim(0)44xfxffx1. 函数连续的等价形式函数连续的等价形式)()(lim00 xfxfxx0lim0yx)()()(000 xfxfxf,0,0,0时当 xx有)()(0 xfxf2. 函数间断点函数间断点第一类间断点第一类间断点第二类间断点第二类间断点可去间断点可去间断点跳跃间断点跳跃间断点无穷间断点无穷间断点振荡间断点振荡间断点机

14、动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质有界定理有界定理 ; 最值定理最值定理 ; 零点定理零点定理 ; 介值定理介值定理 .例例8. 设函数设函数)(xf,2)cos1 (xxa0 x,10 x, )(ln2xb0 x在在 x = 0 连续连续 , 则则 a = , b = .解解:20)cos1 (lim)0(xxafx2a221cos1xx)(lnlim)0(20 xbfxblnbaln122e机动 目录 上页 下页 返回 结束 常见题型常见题型:连续的逆问题连续的逆问题二、理解极限的概念，并会求各种形式的极限二、理解极限的概念，并会求各种形式

15、的极限1、数列极限：、数列极限： 2、函数极限：、函数极限：（1）按自变量的变化趋势分为六种：）按自变量的变化趋势分为六种：00000lim( )(0)lim( )lim( )(0)xxxxxxf xf xf xf xf x的说法的说法lim( )lim( )lim( )xxxf xf xXf x的说法的说法例例1：设函数：设函数f xxtgxex( )sin ,则则f x( )是是 (A)偶函数偶函数 (B) 无界函数无界函数 (C)周期函数周期函数 (D)单调函数单调函数B I、常用式子、常用式子0 x当当时，时，sinxxtan;xx21 cos2xx1;ln(1) ;11xnxexxxxnII、推广：、推广：lim( )0 xXf x若若当当xX时，时，sin( ) ( ) ;fxfx( )1( );ln1(