高等数学微分方程学习教案

1、会计学1高等数学微分方程高等数学微分方程第一页，编辑于星期三：七点 四十五分。解解)(xyy 设所求曲线为设所求曲线为 xdxy22,1 yx时时其中其中,2Cxy 即即, 1 C求得求得.12 xy所求曲线方程为所求曲线方程为1. 微分方程的基本概念微分方程的基本概念P294-1第1页/共21页第二页，编辑于星期三：七点 四十五分。例例 2 2 列列车车在在平平直直的的线线路路上上以以 2 20 0 米米/ /秒秒的的速速度度行行驶驶, ,当当制制动动时时列列车车获获得得加加速速度度4 . 0 米米/ /秒秒2 2, ,问问开开始始制制动动后后多多少少时时间间列列车车才才能能停停住住？以以及

2、及列列车车在在这这段段时时间间内内行行驶驶了了多多少少路路程程？解解)(,tssst 米米秒钟行驶秒钟行驶设制动后设制动后,20, 0,0 dtdsvst时时14 . 0Ctdtdsv 2122 . 0CtCts P294-2第2页/共21页第三页，编辑于星期三：七点 四十五分。代入条件后知代入条件后知0,2021 CC,202 . 02tts ,204 . 0 tdtdsv故故),(504 . 020秒秒 t列列车车在在这这段段时时间间内内行行驶驶了了).(5005020502 . 02米米 s开始制动到列车完全停住共需开始制动到列车完全停住共需第3页/共21页第四页，编辑于星期三：七点 四

3、十五分。微分方程微分方程: :凡表示未知函数、凡表示未知函数、未知函数未知函数的导数或微分及自变量之间的导数或微分及自变量之间关系的方程叫关系的方程叫微分方程微分方程. .例例,xyy , 0)(2 xdxdtxt,32xeyyy , yxxz 实质实质: : 联系自变量联系自变量, ,未知函数以及未知函数的某未知函数以及未知函数的某些导数些导数( (或微分或微分) )之间的关系式之间的关系式. .第4页/共21页第五页，编辑于星期三：七点 四十五分。微分方程的阶微分方程的阶: : 微分方程中出现的未知函数的最微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的高阶导数的阶阶数称之数称之. .分类分类1 1

4、: : 常微分方程常微分方程, , 偏微分方程偏微分方程. ., 0),( yyxF一阶一阶微分方程微分方程);,(yxfy 高阶高阶( (n) )微分方程微分方程, 0),()( nyyyxF).,()1()( nnyyyxfy分类分类2:2:第5页/共21页第六页，编辑于星期三：七点 四十五分。分类分类3 3: : 线性线性与与非线性非线性微分方程微分方程. .),()(xQyxPy ; 02)(2 xyyyx分类分类4 4: : 单个微分方程与微分方程组单个微分方程与微分方程组. . ,2,23zydxdzzydxdy第6页/共21页第七页，编辑于星期三：七点 四十五分。微分方程的解微分

5、方程的解: :代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之. . ,)(阶导数阶导数上有上有在区间在区间设设nIxy . 0)(,),(),(,()( xxxxFn微分方程的解的分类：微分方程的解的分类：(1)(1)通解通解: : 微分方程的解中含有任意常数微分方程的解中含有任意常数, ,且任意常且任意常数的个数与微分方程的阶数相同数的个数与微分方程的阶数相同. .第7页/共21页第八页，编辑于星期三：七点 四十五分。(2)(2)特解特解: : 确定了通解中任意常数以后的解确定了通解中任意常数以后的解. ., yy 例例;xCey 通解通解, 0 yy;co

6、ssin21xCxCy 通解通解解的图象解的图象: : 微分方程的积分曲线微分方程的积分曲线. .通解的图象通解的图象: : 积分曲线族积分曲线族. .初始条件初始条件: : 用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件. .第8页/共21页第九页，编辑于星期三：七点 四十五分。过定点的积分曲线过定点的积分曲线; 00),(yyyxfyxx一阶一阶:二阶二阶: 0000,),(yyyyyyxfyxxxx过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题初值问题: : 求微分方程满足初始条件的解的问题求微分方程满足初始条件的解的问题. .第9页/共21

7、页第十页，编辑于星期三：七点 四十五分。例例 3 3 验证验证:函数函数ktCktCxsincos21 是微分是微分方程方程0222 xkdtxd的解的解. 并求满足初始条件并求满足初始条件0,00 ttdtdxAx的特解的特解.解解,cossin21ktkCktkCdtdx ,sincos221222ktCkktCkdtxd ,22的表达式代入原方程的表达式代入原方程和和将将xdtxdP297-3第10页/共21页第十一页，编辑于星期三：七点 四十五分。. 0)sincos()sincos(212212 ktCktCkktCktCk.sincos21是原方程的解是原方程的解故故ktCktCx

8、 , 0,00 ttdtdxAx. 0,21 CAC所求特解为所求特解为.cosktAx 第11页/共21页第十二页，编辑于星期三：七点 四十五分。答案：不是所有的微分方程都存在通解。答案：不是所有的微分方程都存在通解。22210 400,0yyyyyy 例例如如方方程程 和和 都都不不存存在在实实函函数数解解，而而方方程程 只只有有解解 。以上三个方程，有的没有实函数解；有的有解，但解中不含任意常数。所以，上述三个方程都不存在通解以上三个方程，有的没有实函数解；有的有解，但解中不含任意常数。所以，上述三个方程都不存在通解。第12页/共21页第十三页，编辑于星期三：七点 四十五分。答：微分方程

9、的通解不一定包含它所有的解。答：微分方程的通解不一定包含它所有的解。2240 )0yyyxcy 例例如如方方程程 有有通通解解 （，但但它它不不能能包包含含方方程程的的解解。特殊的：未知函数的最高阶导数的系数为特殊的：未知函数的最高阶导数的系数为1的线性的线性微分方程的通解能包含所有的解。微分方程的通解能包含所有的解。第13页/共21页第十四页，编辑于星期三：七点 四十五分。微分方程；微分方程；微分方程的阶；微分方程的阶；微分方程的解；微分方程的解；通解通解; ;初始条件；初始条件；特解；特解；初值问题；初值问题；积分曲线积分曲线本节基本概念：本节基本概念：第14页/共21页第十五页，编辑于星

10、期三：七点 四十五分。思考题思考题 函函数数xey23 是是微微分分方方程程04 yy的的什什么么解解?第15页/共21页第十六页，编辑于星期三：七点 四十五分。思考题解答思考题解答,62xey ,122xey yy4, 0341222 xxeexey23 中不含任意常数中不含任意常数,故为微分方程的故为微分方程的特特解解.第16页/共21页第十七页，编辑于星期三：七点 四十五分。三三、设设曲曲线线上上点点),(yxP处处的的法法线线与与x轴轴的的交交点点为为Q, ,且且线线段段PQ被被y轴轴平平分分, ,试试写写出出该该曲曲线线所所满满足足的的微微分分方方程程. .一、一、 填空题填空题:

11、: 1 1、022 yxyyx是是_阶微分方程；阶微分方程；2 2、022 cQdtdQRdtQdL是是_阶微分方程；阶微分方程；3 3、 2sin dd是是_阶微分方程；阶微分方程；4 4、一个二阶微分方程的通解应含有、一个二阶微分方程的通解应含有_个任意常数个任意常数 . .二、确定函数关系式二、确定函数关系式)sin(21CxCy 所含的参数所含的参数, ,使使 其满足初始条件其满足初始条件1 xy, ,0 xy. .练练 习习 题题第17页/共21页第十八页，编辑于星期三：七点 四十五分。四四、已已知知函函数数1 xbeaeyxx, ,其其中中ba ,为为任任意意常常 数数, ,试试求求函函数数所所满满足足的的微微分分方方程程 . .第