必修四第三章三角恒等变换复习

1、整理课件简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换整理课件1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切正切公式公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系正切公式，了解它们的内在联系.整理课件1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式两角和与差的正弦、余弦和正切公式整理课件2.二倍角的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公

2、式(1)sin2；(2)cos2；(3)tan22sincoscos2sin22cos2112sin2整理课件知识梳理整理课件整理课件思考探究思考探究你能用你能用tan表示表示sin2和和cos2吗？吗？提示：提示：sin22sincos，cos2cos2sin2整理课件整理课件考点一考点一 三角函数式求值三角函数式求值整理课件1.解决三角函数的给值求值问题的关键是把解决三角函数的给值求值问题的关键是把“所求角所求角”用用“已已 知角知角”表示表示.(1)当当“已知角已知角”有两个时，有两个时，“所求角所求角”一般表示为两个一般表示为两个“已知角已知角”的和或差的形式；的和或差的形式；(2)当

3、当“已知角已知角”有一个时，此时应着眼于有一个时，此时应着眼于“所求角所求角”与与“已知角已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角所求角”变成变成“已已 知角知角”.整理课件整理课件例例 2(2013广东高考)已知函数已知函数 f(x) 2cos x12，xR. 整理课件整理课件(1)设设cos( ) ，sin() ，且，且 ，0 ，求，求cos( ).(2)已知已知sin()sin() ，(，)，求，求sin4.思路点拨思路点拨例2整理课件课堂笔记课堂笔记(1)，0，.故由故由cos()，得，得sin().由由sin()，得，得cos().cos(

4、)cos()().cos()2cos21.整理课件(2)法一：法一：sin()sin()sin()cos()，sin(2)，即，即cos2.(，)，则，则2(，2)，sin2于是于是sin42sin2cos2.法二：法二：由条件得由条件得(cossin)(cossin)，即即(cos2sin2). cos2.由由2(，2)得得sin2， sin4.整理课件1.通过先求角的某个三角函数值来求角，在选取函数时，通过先求角的某个三角函数值来求角，在选取函数时， 遵照以下原则：遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数已知正、

5、余弦函数值，选正弦或余弦函数.若角的范围若角的范围 是是(0， )，选正、余弦皆可；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)， 选余弦较好；若角的范围为选余弦较好；若角的范围为( ， )，选正弦，选正弦较好较好.2.解给值求角问题的一般步骤为：解给值求角问题的一般步骤为：(1)求角的某一个三角函数值；求角的某一个三角函数值；(2)确定角的范围；确定角的范围；(3)根据角的范围写出所求的角根据角的范围写出所求的角.角度角度二二 给值求角给值求角 整理课件 已知已知0 ，tan，cos( ) .(1)求求sin的值；的值；(2)求求的值的值.思路点拨思路点拨例例3整理课件课堂笔记课堂笔记

6、(1)tan 所以所以又因为又因为sin2cos21,0 ，解得，解得sin .(2)因为因为0 ，所以，所以0 .因为因为cos( ) ，所以，所以sin( ) .所以所以sinsin( )sin( )coscos( )sin因为因为(,)，所以所以.整理课件保持例题条件不变，求保持例题条件不变，求cos().解：解：由例题可知由例题可知sin ，cos ，sin ，cos ，cos()coscossinsin整理课件练习练习1、已知已知 ，(0，)，且，且 tan()12，tan 17，求求 2 的值的值 角度角度二二 给值求角给值求角 整理课件整理课件角度角度二二 给值求角给值求角 2已

7、知已知 ， 为锐角，为锐角，sin 35，cos 45，求，求 2. 整理课件角度角度三三 给角求值给角求值 例例 5 (1)(2013重庆高考)4cos 50tan 40 ( ) A. 2 B.2 32 C. 3 D2 21 整理课件整理课件整理课件整理课件整理课件整理课件 两角和与差的正弦、余弦、正切公式作为解题两角和与差的正弦、余弦、正切公式作为解题工具，是每年高考的必考内容，常在选择题中以条工具，是每年高考的必考内容，常在选择题中以条件求值的形式考查件求值的形式考查.近几年该部分内容与向量的综合近几年该部分内容与向量的综合问题常出现在解答题中，并且成为高考的一个新考问题常出现在解答题中

8、，并且成为高考的一个新考查方向查方向.整理课件例例5. 若若 ，设，设 ， (sin ,),(sin3cos ,1)ax m bxx( )f xa b （1）写出函数）写出函数 f(x)的解析式，并指出它的最小正周期；的解析式，并指出它的最小正周期；（2）若）若 ， f(x)的最小值为的最小值为2，求，求m的值。的值。0,3xmxxxbaxf)cos3(sinsin)() 1 (解：mxxxcossin3sin2mxx2sin2322cos1212cos212sin23mxx21)62sin(mx2T整理课件例例5. 若若 ，设，设 ， (sin ,),(sin3cos ,1)ax m bxx

9、( )f xa b （1）写出函数）写出函数 f(x)的解析式，并指出它的最小正周期；的解析式，并指出它的最小正周期；（2）若）若 ， f(x)的最小值为的最小值为2，求，求m的值。的值。0,3x,30)2( xsin1 122226626266262x,( x)x,( x) 的的最最小小值值为为，22121)(minmxf2m整理课件(2009广东高考广东高考)(12分分)已知向量已知向量a(sin，2)与与b(1，cos)互相垂直，其中互相垂直，其中(0，).(1)求求sin和和cos的值；的值；(2)若若5cos()3cos，0，求，求cos的值的值.考题印证考题印证整理课件【解解】(1

10、)ab，sin1(2)cos0sin2cos.(2分分)sin2cos21，4cos2cos21cos2 (4分分)(0， )，cos sin .(6分分)(2)由由5cos()3cos有，有，5(coscossinsin)3cos(8分分)cos2sin3cos，cossin.(10分分)0，cos(12分分)整理课件自主体验自主体验已知向量已知向量a(cos，sin)，b(cos，sin)，|ab|(1)求求cos()的值；的值；(2)若若0，0，且，且sin，求，求sin的值的值.整理课件解：解：(1)a(cos，sin)，b(cos，sin)，ab(coscos，sinsin).|ab

11、| ，即即22cos() ，cos() .整理课件(2)0 ， 0，sin ，cos ,，0 ，cos( ) ，sin( ) ，sinsin( ) sin( )cos cos( )sin 整理课件38 对于(1)，利用a/bx1y2-x2y1=0(其中a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，求出sin+cos的值；对于(2)，根据(sincos)2=1sin2实现求值，但要注意确定sin-cos的符号zxxk2(cos1)(sin1)3 02sincossin2sincos2 （1已知向量， ，与 为共线向量， 求的值； 求的值 【练习 】 ） （2）mnmn三角、向量交汇 整理课件39222

12、222(cos) 11sin0321sin2(sincos )97sin2.9(2sisinncoscos )(sincos )22(s.i163ncos )2)39(. mn因为与 为共线向量，所以，因为，所以因为，所以即（1）（2）整理课件400sincos024sincsin27sinco3s12os. 又，所以，因此，1 1sincos，sincos之间的关系为(sincos)2=12sincos，(sin+cos)2+(sin-cos)2=2，由此知三者知其由此知三者知其一，可求其二，但需注意角一，可求其二，但需注意角的范围对结果的影的范围对结果的影响响2 2从整体上看，若令sin+

13、cos=t，则sincos= ，消元常用3 3双弦齐次式可化归为切函数221-t整理课件41 12345“”sincos2sin2sin2 sincos2cos(sincos)“222(20”.()111)fxxxfxxfxxfxxxxxxfx如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则这些函数为互为生成 函数，给出；下列函数：其中 互为生【变式训成 函数有 把所有可能的函月绍兴市统考数的序练试】号都填上题 对于通过平移均可办到，而还需要纵坐标进行伸长和缩短整理课件整理课件1.(2009福建高考福建高考)函数函数f(x)sinxcosx的最小值是的最小值是 ()A.1B.C.D.1解析：解析：f

14、(x)sinxcosx sin2x，f(x)min .答案：答案：B整理课件2.(2009陕西高考陕西高考)若若3sincos0，则，则 的值为的值为 ()A.B.C.D.2整理课件解析：解析：由由3sincos0得得cos3sin，则则答案：答案：A整理课件3.sin(65x)cos(x20)cos(65x)cos(110 x)的的 值为值为 ()整理课件解析：解析：原式原式sin(65x)cos(x20)cos(65x)cos90(x20)sin(65x)cos(x20)cos(65x)sin(x20)sin(65x)(x20)sin45 .答案：答案：B整理课件4.(2010黄冈模拟黄冈

15、模拟)已知已知sin() ，则，则cos(2).解析：解析：cos(2)2cos2()1，且，且cos()sin() .所以所以cos(2) .答案：答案： 整理课件5.已知已知a(cos2，sin)，b(1,2sin1)，(，)， 若若ab ，则，则tan( )的值为的值为. 解析：解析：由由ab，得，得cos2sin(2sin1)，即即12sin22sin2sin，即，即sin.又又(，)，cos，tan，tan()答案：答案：整理课件6.(2009江苏高考江苏高考)设向量设向量a(4cos，sin)，b(sin， 4cos)，c(cos，4sin).(1)若若a与与b2c垂直，求垂直，求

16、tan()的值；的值；(2)求求|bc|的最大值；的最大值；(3)若若tantan16，求证：，求证：ab.整理课件解：解：(1)由由a与与b2c垂直垂直.a(b2c)ab2ac0，即即4sin( )8cos()0，tan( )2.(2)bc(sin cos ，4cos 4sin )，|bc|2sin2 2sin cos cos2 16cos2 32cos sin 16sin2 1730sin cos 1715sin2 ，最大值为，最大值为32，所以所以|bc|的最大值为的最大值为整理课件(3)证明：由证明：由tantan16，得，得sinsin16coscos，即即4cos4cossinsi

17、n0，故，故ab.整理课件整理课件整理课件注意事项：注意事项：（1）在运用诱导公式的过程中，常出现三角函数名变换错误、三角函数值的符号错误等情况，应加强对公式的理解，避免出现错误。（2）在利用三角恒等变换求三角函数值时不要忽略正弦、余弦函数的有界性，重视角的范围的探求。整理课件56 1.要熟练掌握三角函数的变换工具，主要是掌握基本变换公式及其作用:诱导公式用于角度之间的关系变换;同角公式用于不同三角函数名之间的变换；和、差、倍角公式则是综合变换的“纽带”. 2.要充分把握三角函数的变换规律.三角变换时，需会用“切化弦”“弦化切”“辅助角”“1的代换”等技巧,追求“名、角、式”(三角函数名、角度、运算结构)的统一,其中角的变换是三角变换的核心整理课件 例例3