专题四正方形中的旋转

1、也是常见的旋转类型题，所以对于这个一、学情分析初二学生在初一阶段就已经学过旋转这一节内容， 大多数学生对旋转的相关特征 应该还是比较熟悉的，同时在旋转中出现的一些相关的核心知识点 （如正方形的 性质）已经在前阶段的复习中涉及到，大多数学生已经初步具备一定的解决问题 的综合能力.鉴于此课例习题既有基础性还有一定的综合性，二、教学任务和目标通过本课的学习，学生能够进一步体悟解决双正方形旋转问题的核心知识点是旋 转的特征（性质），即旋转角等于对应边的夹角；旋转前后的图形是全等形（对 应边相等，对应角相等）.学生能够进一步理解并能熟练运用旋转的特征解决双 正方形旋转的实际问题.同时，还要让学生通过双正

2、方形的旋转领悟旋转过程中 的变与不变，变就有可能存在函数关系，不变就可能存在相等关系（或定值）， 这就是旋转问题展现给学生的数学本质的魅力，也是数学所特有的哲学价值.数学学科的本位，数学学习的本质，数学思维的本色，在本节课的复习中可以得到 充分的体现.三、学法点拨在求解或证明正方形有关的几何题时， 有时用一般常规的方法，比较困难，若变 换视角，将正方形中某一三角形绕着一个正方形中的某个点旋转90° ,可以将分散的条件汇聚起来，交错的条件分散出来，或转化成新的条件，这种变换叫旋 转变换，用这些变换可以解决一些问题，接下来的计算与证明和原先没啥两样， 只不过赋予了旋转的背景而已.如果学生

3、能够破译旋转背后的“密码”，那么以 旋转为背景的几何问题就迎刃而解了 .四、教学过程设计（一）典例引入通过课本上一道简单的习题作为切入点，引入新课，如图，在 ABC, /ACB=90 ,四边形 ABDE AGFCtB是正方形，求证：BG=EC（二）精讲例题：由于学生对课本上的这道习题非常熟悉 题目学生很快就可以处理完。即使是 学困生也能跟得上节奏。例1:如图，正方形ABCD勺对角线相 交于点。，点。又是另一个正方形 EFGO勺一个顶点，如果两个正方形的 边长相等，那么正方形EFG西点O 无论怎样旋转，两个正方形重叠部分 的面积总等于一个正方形面积的四 分之一，想一想，这是为什么？功能分析：通过

4、例1的题目，中等生不仅了解题目的题设，而且会提出一些简单 的问题（猜想），学优生则不仅能够提出一些问题（猜想），甚至可以有自己的 方法来证明自己的猜想.故在本课堂中的学情是极其丰富的，关键在于教师如何 把握与引导，通过生生和师生之间的互动反馈，让各层次的学生通过复习都能够 获得不同的进步，品尝成功的快乐.本题的设计是一个正方形绕着另一个正方形 的对角线的端点旋转，是涉及旋转相关知识的一个基础问题， 学生曾经或多或少 经历过类似的问题，情景比较熟悉，前3题都是比较基础的问题，学生比较容易 上手，也有利于学生快速进入旋转情景中.（1）、（2）主要引导学生观察、猜 想旋转过程中形成的哪些线段相等，

5、哪些角相等（双正方形自身的边、角相等则 是显而易见的，也是非常重要的条件），并能寻求证明的方法与途径（全等，等 腰三角形知识）；（3）建立在（1）的基础上主要考查学生旋转过程中形成的线 段存在平行关系，并能力求通过等腰三角形的性质或相似的判定来证明；（4）是一个比较综合的问题，建立在（1）的基础上，考查学生转化为解直角三角形 及其面积的问题.变式练习：在例题的基础上，学生已经掌握了此类题目 的做法要领，所以接着老师给出一个类似的 变式题目，学生很容易就可以得到结论。在等腰 BAC, / BAC=90 ,OP 是 / BAC的角 平分线交于点p,点P又是另一个等腰直角三 角形DPE的一个顶点，若

6、两个三角形的直角边 相等，那么三角形DPEfc绕点P无论怎样旋转， 只要 DPE的直角边与 ABC的直角边有交点， 那么两个三角形重叠部分的面积总等于什么， 想一想为什么？功能分析：本题是例1基础上的延伸与拓展，两题不管是正方形还是等腰直角三角形，共同的特征是旋转中心都在对方的某条线的中点上，不同之处在于此题设计的是 一个等腰直角三角形绕着另一个等腰直角三角形的斜边中点旋转,也是涉及旋 转相关知识的一个常见问题，学生对此旋转情景也是比较熟悉的.这种具有相似背景的例题设计避免了学生在复习时思维跨度过大，有利于学生的思维聚焦在 旋转核心知识（即旋转特征）的复习巩固上.同时由于学生已经有了例题1的基

7、 础，巩固提升：如图，/ABC=90 , /ABC的平分线上一点 P,且满足/EPF=90 , WJ线段PE与PF的关系如何？功能分析：此题其实是例1、例2的变式拓展题，学生的解法应该有很多种。此题对于大多数学生来说应该不成问题.变式提高：中间还有一个变式题，我是想让学生把弦图的知识也想融进来， 想通过本节 课的学习和学生已经掌握的弦图有一个更深的联系，以后在做习题的时候能够去把知识转化和类比，这也是初中学生对于转化和类比 思想的重要体现。自我提升：最后还有一个自我提升，是我对我们班学生的 一个数学综合素养的培养，让学生把正方形的知识 融进平面直角坐标系的知识里面去。更深层次挖 知识之间的联系

8、。为之后初三的学习打下坚实的3 210 11 X.y654321五、设计思路和意图本节课是八年级数学下册学习完特殊的平行四边形之后的复习课，我把它设计成一个小专题的课型，是想让学生对正方形有一个更深层次的认识， 同时有意识的 去向中考靠拢，有意识的去设计了一些探究题和变式题， 目的是想通过此次的训 练让学生先感受一下中考，同时让学生接触一下中考题中的类比探究题， 再个是 把正方形和等腰直角三角形紧密的联系起来，让学生的新旧知识有一个更大的联 系，学生心目中就有了一个系统的学习数学的方法。 虽要以基础为主，但也要兼 顾综合，体现“基础+综合”的复习思路，这样才能满足各个层次学生的学习需 求.本节

9、课选自图形变换一章的复习，针对不同学习层次的学生展开教学过程的 设计，体现“起点低（注重基础，下要保底），步子紧（小步子式逐步提高要求）， 落点高（上不封顶）”的设计要求，利用几何画板的动画功能演绎旋转过程中的 变与不变.这其中围绕某一核心知识背景（本节课是旋转）来设计”套题（题组）” 式训练是一条行之有效的途径.1、要精心设计有效的复习课教学环节.通过“典例引入一精讲例题一巩固提升一 变式巩固-自我提升”等几个环节来解决相关问题.引导学生预学提问（猜想）， 师生合作梳理问题，学生先独立尝试，再互动解决问题 .在此基础上教师再提出 预设中的问题，有些虽然和学生提出的问题重复，但更能激发提出问题

10、的学生的 成就感.而对于学生没有猜想到的新问题可以让学生再次独立及合作互动解决， 反馈在尝试和互动中生成.教师在教学时，要对所遇到的数学知识进行拓展，一 题多问，一题多变，一图多变，一图多用，多图归一，多解归一，使同一个教学 内容发挥其最大的教学功能.在这样的有效训练中才能真正提升学生解决问题的 智慧.2、要让散落的“珍珠”串成美丽的“项链”.例题即训练题，改编例题和习题的 界限，总共6个例习题已经足够学生课内外的训练和思考了 .每个例习题的设计 都是安排两个完全相同的旋转，这样做的目的一方面因其旋转要素已经涵盖了图 形旋转的类型和特征，另一方面是因为正方形是四边形中最特殊的四边形，它集中了矩

11、形菱形的所有性质，而两个完全相同的正方形通过旋转会产生性质叠加， 不仅结论会更加丰富多彩，而且解决问题的方法也是多样化的， 从而使得旋转变 换更具魅力.每一个例习题都以问题用的形式出现，每一个例习题都以双正方形 的旋转为背景，每一个例习题都可以看作是一粒 “珍珠”.题组中的每个例习题， 前一个都是后一题的基础与铺垫，后一题都是前一题的提升和拓展，我中有你， 你中有我，这就是“套题（题组）”式训练方式 .总共6题的旋转都是围绕正方 形的对角线上的点展开（端点、中点、任意点），由浅入深，层层推开，串成“珍 珠”的线就是旋转.要突出旋转过程中的变化，更体现不变的数学本质，强化数 学思想方法的渗透.复习课如果坚持这样做了，学生才能真正“聪明”起来，才 能真正达到“以少胜多”的最大功效，才能让散落的“珍珠”（零散的知识点） 串成美丽的“项链”（内化的知识结构和学生内生的智慧）.可见，组织的教学内容要突出其与其他的数学知识和方法间的联系.一个数学知识与其他数学知识 的联系越多，说明该知识越重要，它的拓展性就越强 .3、值得课后进一步思考的问题.如