“卓越联盟”自主招生模拟卷

1、2014年自主招生考试数学模拟试卷（一）一、选择题:1.在中,的对边分别是,若且,则内角为 A. B. C. D.2.设,则 A. B. C. D.与无法比较大小3.在中,是锐角,且,则是 A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形4.设椭圆与轴交于两点,已知对椭圆上不同于的任意一点,直线与直线的斜率之积为,则该椭圆的离心率为 A. B. C. D.5.在半径为1的球面上有不共面的四个点且,则等于 A.2 B.4 C.8 D.166.如果曲线的两条互相垂直的切线交于点,则点坐标不可能是 A. B. C. D.7.如果不等式的解集是区间的子集,则实数的取值范围是A. B. C

2、. D.8.复数满足,则的最大值是 A.1 B.2 C.3 D.49.设,则等于 A.1952 B.1953 C.1954 D.195510.已知定义在上的函数为单调函数,且,则 A.1 B.或 C. D.三、解答题11.已知在中,的一个外角平分线交的外接圆于点,过作,垂足为,求证:.12.已知数列,满足:.()求数列和的通项公式;()若不等式对所有恒成立,求实数的取值范围.13.在平面直角坐标系中,设是曲线上三个不同的点,分别是的中点,求证:的外接圆经过原点.14.设为实数,为正整数,且.()求证:,并给出等号成立的条件;()求证:.15.电脑每秒钟以相同的概率输出一个数字1或2,将输出的前

3、个数字之和被3整除的概率记为.()求证:;()求证:.2014年自主招生考试数学模拟试卷（二）一、选择题:1.已知复数满足,则 A. B. C. D.2.如果的某个非空子集中所有元素之和是3的倍数,则称该子集为 “忐忑”子集,那么“忐忑”子集的个数是 A.133 B.134 C.173 D.1753.设是定点,且都不在平面上,动点在平面上且,那么点的轨迹是 A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.椭圆,双曲线,抛物线皆有可能4. A. B. C. D.5.设复数是虚数单位)满足的实部与虚部之比为,则的最大值是 A. B. C. D.6.已知为的外心,若,则 A. B. C. D.7.设数列满足,

4、则 A. B. C. D.8.已知是边长为2013的正三角形,点分别在边上,且,若与交于是线段的中点,则长是 A.670 B.671 C.672 D.6739.抛物线的焦点为,已知点为抛物线上的两个动点,且满足,过弦的中点作抛物线准线的垂线,垂足为,则的最大值是 A. B. C. D.10.设表示不超过的最大整数,则 A.2012 B.2013 C.2014 D.2015二、解答题:11.在中,角的对边分别为,若角的大小成等比数列,且,求的弧度数.12.定义函数其导函数记为.()求证:()数列满足,求证;()求证:对 13.如图,在直三棱柱中,点在棱上,且.()求证:; ()当为何值时,二面角

5、的大小为?14.已知函数.()若函数在区间上单调递增,求实数的取值范围;()若在区间上,函数的图形恒在曲线的下方,求实数的取值范围.15.在椭圆中定义:过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦叫做椭圆的通径,如图,已知椭圆的左,右焦点分别为其离心率为,通径长为3,过的直线交椭圆于两点,分别为的内心,延长交椭圆于点.()求该椭圆的方程;()求四边形与的面积的比值;()在轴上是否存在点,使为常数,若存在,求出点的坐标和这个常数,若不存在,请说明理由.2014年自主招生考试数学模拟试卷（三）一、选择题:1.设,则在复平面内所对应的区域的面积是 A. B. C. D.2.设双曲线的右焦点为,过点作与轴垂

6、直的直线交两条渐近线于两点,是与双曲线的一个交点,设为坐标原点,若有实数使得且,则该双曲线的离心率是 A. B. C. D.3.在中,为的中点,的面积是3,则的大小是 A. B. C. D.4.函数的最大值为 A. B. C. D.35.正三棱锥的底面的边长均为6,各侧棱长均为5,点是侧面的内心,则四面体的体积是 A. B. C. D.6.表示不超过的最大整数,则的值是 A.18084 B.18094 C.18104 D.181147.各项均为正数的等比数列中,则的最小值为 A.18 B.36 C.54 D.728.设函数满足:且对任意都有,则的值是 A.2013 B.2014 C.2015

7、D.20169.在中,边上的高为3,当最小时,的值是 A. B. C. D.10.设两点在以线段为直径的半圆弧上,线段和线段相交于点 ,则的面积为 A. B. C. D.二、解答题：11.已知焦点在轴上的椭圆内含圆,圆的切线与椭圆交于两点,且满足为坐标原点.()求的值;()求的取值范围.12.设递增数列满足:.()求数列的通项公式;()求证:.13. 的内切圆分别切于点直线交于点,求证:.14.如图所示,在矩形中,是对角线,过点作,垂足为,交于点,以为折痕将向上折起,使点到点的位置.()若平面与平面所形成的二面角的大小为,求四棱锥的体积;()若,求二面角的余弦值.15.已知函数其中()当时,求

8、的最小值;()若时,恒成立,求实数的取值范围; 2014年自主招生考试数学模拟试卷（四）一、选择题:1.设为一对不相等的共轭复数,且为实数,则的值为 A. B. C.3 D.2.设满足约束条件,若恒成立,则实数的最大值是 A.1 B.4 C. D.3.函数的值域是 A. B. C. D.4.已知点在的内部,且,记的面积为的面积为,则的值为 A.2 B.3 C.4 D.55.在中,是的中点,若,则的值为 A. B.0 C. D.16.若锐角满足,则角的度数为 A. B. C. D.7.将11个完全相同的小球放入6个各不相同的盒子中,使得至多有三个空盒子的放法种数是 A.3112 B.3912 C

9、.4212 D.45128.已知分别为双曲线的左,右焦点,点的坐标为,则的平分线与轴交点的坐标为 A.(2,0) B. C. D.9.在长方体中,已知,则长方体的体积最大时,等于 A. B. C. D.10.方程在区间内的所有实数解的和为 A.8 B.10 C.12 D.14二、解答题:11.如图,四边形是圆内接四边形,且是对角线上的一点.()若是的中点,求证:;()若,试问是否为的中点?说明理由.12.已知函数.()当时,求证:;()当且时,不等式恒成立,求实数的取值集合.13.如图,已知四棱锥的底面是菱形,且()求证:平面平面; ()求二面角的余弦值.14.数列中,且.()设,求数列的通项

10、公式;()设,数列的前项和为,求证:.15.已知椭圆是圆上任意一点,过作椭圆的切线,切点分别为,求的最大值和最小值.2014年自主招生考试数学模拟试卷（五）一、选择题:1.设实数,如果复平面上的动点满足,则动点的轨迹是 A.焦距为4的椭圆 B.焦距为2的椭圆 C.焦距为的椭圆 D.焦距为的椭圆2.设是函数的图象上任意一点,过点分别向直线和轴作垂线,垂足分别是,则的值是 A. B. C. D.3.设的内角所对的边分别是且满足,则的值是 A.2 B.3 C.4 D.54.设,则的最大值是 A. B.1 C.2 D.5.某情报站有四种互不相同的密码,每周使用其中的一种密码,且每周都是从上周末使用的三

11、种密码中等可能地随机选用一种,设第一周使用密码,那么第七周也使用密码的概率是 A. B. C. D.6.半径为的球内部装有4个相同半径为的小球,则小球半径的可能的最大值是 A. B. C. D.7.表示不超过实数的最大整数,则在平面直角坐标系中,满足的所有点组成的图形的面积是 A.8 B.16 C.1007 D.20148.若实数满足,则的值是 A. B. C. D.9.设,则 A. B. C. D.10.已知平面两两垂直,点,点到平面的距离都是3,是平面上的动点,点到平面的距离是到点距离的2倍,则点到平面的距离的最小值是 A. B. C. D.二、解答题：11.在锐角中,分别是上的高,以为直

12、径作圆交于点,在上取点,使,求证:. 12.已知函数.()若函数的导函数在上是增函数,试求实数的最大值;()求证:.13.已知为非零实数,抛物线的焦点在直线上.()若,求抛物线的方程;()设直线与抛物线交于两点,过分别作抛物线的准线的垂线,垂足分别为,的重心分别为求证:对任意非零实数,抛物线的准线与轴的交点在以线段为直径的圆外.14.已知数列满足;,记求证:当时,()() () 15.设的三个角所对的边的长分别为,求证: 2014年自主招生考试数学模拟试卷（六）一、选择题:1.函数的最大值是 A. B. C. D.2.设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形,在此容器内注入水,并放入半径为的一个

13、实心球,此时,球与容器壁及水面恰好都相切,则取出球后水面高为 A. B. C. D.3.任作椭圆的一条切线,与椭圆的两条对称轴分别交于两点,则线段的长度的最小值是 A.6 B.8 C.10 D.124.已知数列满足为正整数),若,则的所有可能的取值的和为 A.9 B.10 . C.56 D.655.设均为非零复数,令,若,则的值为 A.1 B. C.或或 D.或或6.函数,若互不相等且,则的取值范围是 A. B. C. D.7.方程在区间内的所有解之和为 A.4 B.6 C.8 D.108.将各位数字之和为7的正整数按从小到大的顺序排成一个数列,则2014是该数列的第( )项 A.64 B.6

14、5 C.66 D.679.设,其中表示不超过的最大整数,若方程有三个不同的实数解,则实数的取值范围是 A. B. C. D.10.设为内一点,角的对边分别是为的面积,则的最小值为 A.2 B.3 C.4 D.5二、解答题11.过直线上的点作椭圆的切线,切点分别为,连结()当点在直线上运动时,证明：直线恒过定点；()当时，定点平分线段12.的内切圆分别切于点直线交于点,求证:.13.在四面体中,.()求证:四面体的每个面的三角形都是锐角三角形;()设三个面与底面所成的角分别为求证:14.函数.()若函数在其定义域内是单调递增函数,求实数的取值范围;()设,当时,若存在,使得,求实数的取值范围.1

15、5.已知函数是方程的两个根是的导数,设.()求的值;()证明:对任意的正整数,都有()记,求数列的前项和.2014年自主招生考试数学模拟试卷（七）一、选择题:1.已知,则 A. B. C. D. 2.若为正数,表示的整数部分,如果按照某种顺序组成等比数列,则的值是 A. B. C. D.3.已知且,则满足条件的所有的和是 A. B. C. D.4.已知数列满足为正整数),若,则的值为 A.3 B.4 . C.5 D.65.若自椭圆中心到焦点,长轴顶点,以及到准线的距离之长可以组成一个直角三角形,则该椭圆的离心率是 A. B. C. D.6.正四棱锥中,是的重心,则四面体的体积是 A. B. C

16、. D.7.已知为上的单调递增函数,且对任意,都有,则的值是 A.8 B.9 C.10 D.118.设函数,若实数使得对任意恒成立,则的值是 A.1 B. C.0 D.1或 9.已知实数满足,则的最小值是 A. B. C. D.10.7个花色不同的小球放到编号分别为1,2,3的三个盒子内,要求各盒子内的小球数不小于其编号数,则不同的放法种数为 A.105 B.140 C.210 D.455二、解答题:11.锐角三角形的三条高分别为,求证:的周长不超过的周长的一半.12.数列满足.()求证:()求证:()令判断与的大小,并说明理由.13.已知为一定点,是轴上的一动点,点满足,若点满足.()求点的

17、轨迹曲线的方程;()求曲线的任何两条互相垂直的切线的交点轨迹.14.在长方体中,已知.()若对角线上存在一点,使得,求实数的取值范围;()当对角线上存在唯一一点,使得时,求平面与平面所成锐二面角的余弦值.15.已知函数()求在区间上的最小值;()求证:()2014年自主招生考试数学模拟试卷（八）一、选择题:1.的值是 A. B. C. D.2.在中,点为的中点,过点的直线分别交直线于不同的两点,若,则的值是 A.2 B.3 C. D.3.已知且,则的最小值是 A.31 B. C. D.4.内接于单位圆,三个内角平分线延长后分别交圆于,则 A.1 B.2 C.3 D.45.一个球的内接圆锥的最大

18、体积与这个球的体积之比为 A. B. C. D.6.设直线与曲线有三个不同的交点且,则直线的方程是 A. B. C. D.7.从1,2,3,20中任取5个不同的数,其中至少有两个是相邻的数的概率为 A. B. C. D.8.实数满足,且的图象上存在两条互相垂直的切线,则实数的取值范围是 A. B. C.0 D.9.设是椭圆上的动点,点和的坐标分别是和,则的最大值是 A.1 B. C. D.210.设是定义在上的单调函数,且对于任意都有,若是方程的一个根,且,则的值为 A.1 B.2 C.3 D.4二、解答题：11.在等腰中,设分别在边上且,记的外心为的中点为,求证:.12.已知函数设数列满足:,数列满足()求数列的通项公式;()求证:.13