一元一次方程应用题

1、一元一次方程应用题归类汇集：（一）行程问题：行程问题是指有关匀速运动的应用题这类问题可分为：基本行程问题；相遇问题；追及问题；航行问题；环行问题等等。数学运算之行程问题专题行程问题的“三原色”路程、 速度、时间。问题千变万化， 归根结底就是这三者之间的变化。行测问题细分来看有四大类：一是相遇问题；二是追及问题；三是流水问题；四是相关问题。1、相遇问题： 相遇问题是行程问题的一种典型应用题, 也是相向运动的问题 . 无论是走路 , 行车还是物体的移动 , 总是要涉及到三个量 -路程、速度、时间。相遇问题的核心就是速度和。路程、速度、时间三者之间的数量关系, 不仅可以表示成 : 路程= 速度时间

2、, 还可以变形成下两个关系式: 速度= 路程时间 , 时间= 路程速度 . 一般的相遇问题 : 甲从 a地到 b地, 乙从 b地到 a地, 然后两人在 a地到 b地之的某处相遇 , 实质上是甲 , 乙两人一起了 ab这段路程 , 如果两人同时出发 , 那有: (1) 甲走的路程 +乙走的路程 = 全程(2) 全程= ( 甲的速度 +乙的速度 ) 相遇时间 = 速度和相遇时间一. 相遇问题一、相遇问题的基本题型1、同时出发（两段）2、不同时出发（三段 ）相问题的等量关系s 甲+s 乙=s总（全程）s 先+s 甲+s乙=s总（全程）例1. 电气机车和磁悬浮列车从相距298 千米的两地同时出发相对而

3、行，磁悬浮列车的速度比电气机车的 5 倍还快 20千米/时，半小时后两车相遇，两车的速度各是多少？例 2: 上午 9 时, 小宇和弟弟同时从家出发去学校参加活动, 小宇骑自行车 , 每分钟行 300 米; 弟弟步行、每分钟行 70米. 小宇到达学校后 , 呆了 30 分钟后立即返回家中、 途中遇到正前往学校的弟弟时是 10时 10 分. 你知道从家到学校有多远吗? 2:追及问题： 两个速度不同的人或车，慢的先行（领先）一段，然后快的去追，经过一段时间快的追上慢的。 这样的问题一般称为追及问题。 有时，快的与慢的从同一地点同时出发， 同向而行，经过一段时间快的领先一段路程，我们也把它看作追及问题

4、，因为这两种情况都满足速度差 时间=追及（或领先的）路程。追及问题的核心就是速度差。二. 追及问题追及问题的基本题型不同地点同时出发同一地点不同时出发追及问题的等量关系1、追及时快者行驶的路程慢者行驶的路程相距的路程2、追及时快者行驶的路程慢者行驶的路程或慢者所用时间 =快者所用时间 +多用时间追击问题的等量关系：1）同时不同地：慢者行的距离 +两者之间的距离 =快者行的距离2）同地不同时：甲行距离 =乙行距离或慢者所用时间 =快者所用时间 +多用时间：1、两地相距 28 公里，小明以 15 公里/小时的速度。小亮以30 公里/小时的速度，分别骑自行车和开汽车从同一地前往另一地，小明先出发1

5、小时，小亮几小时后才能追上小明？例 2. 跑得快的马每天走240 里，跑得慢的马每天走150 里，慢马先走 12 天，快马几天可以追上慢马？例 2 小刚和小强租一条小船， 向上游划去， 不慎把水壶掉进江中， 当他们发现并调过船头时，水壶与船已经相距2 千米，假定小船的速度是每小时4 千米，水流速度是每小时2千米，那么他们追上水壶需要多少时间 ? 四. 环形跑道问题注：同时同向出发：快车走的路程环行跑道周长=慢车走的路程 (第一次相遇 ) 同时反向出发：甲走的路程 +乙走的路程 =环行周长（第一次相遇）例 4. 运动场的跑道一圈长400m，甲练习骑自行车，平均每分骑350m，乙练习跑步平均每分跑

6、 250m，两人从同一处同时同向出发，经过多长时间两人首次相遇？火车过桥问题1. 一列火车长 200米, 它以每秒 10米的速度穿过 200 米长的隧道 , 从车头进入隧道到车尾离开隧道共需要多少时间 . 2. 一列火车长 700米, 以每分钟 400米的速度通过一座长900 米的大桥 . 从车头上桥到车尾离要多少分钟 . 2. 一座铁路桥全长1200 米, 一列火车开过大桥需花费75 秒; 火车开过路旁电杆 , 只要花费15 秒, 那么火车全长是多少米 . 4. 铁路沿线的电杆间隔是40 米, 某旅客在运行的火车中 , 从看到第一根电线杆到看到第51根电线杆正好是2 分钟, 火车每小时行多少

7、千米 . 3、流水问题。船在江河里航行时， 除了本身的前进速度外， 还受到流水的推送或顶逆， 在这种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程，叫做流水行船问题。流水行船问题，是行程问题中的一种，因此行程问题中三个量（速度、时间、路程）的关系在这里将要反复用到. 此外，流水行船问题还有以下两个基本公式：顺水速度 =船速+水速， （1）逆水速度 =船速- 水速. （2）例1. 一艘轮船从甲地逆水航行到乙地，然后顺水航行返回甲地。已知水流速度是2 千米/ 时，回来时所需的时间是去时的时间的4/5 ，求轮船在静水中的速度。例 1 甲、乙两港间的水路长208 千米，一只船从甲港开往乙港，顺水8 小时到

8、达，从乙港返回甲港，逆水13 小时到达，求船在静水中的速度和水流速度。例 2 某船在静水中的速度是每小时15 千米，它从上游甲地开往下游乙地共花去了8 小时，水速每小时 3 千米，问从乙地返回甲地需要多少时间？1. 从甲地到乙地，某人步行比乘公交车多用3.6 小时，已知步行速度为每小时8 千米，公交车的速度为每小时40千米，设甲乙两地相距x 千米，则列方程为 _ 。2. 一列客车长 200 m,一列货车长 280 m,在平行的轨道上相向行驶, 从两车头相遇到两车尾相离经过 16 秒, 已知客车与货车的速度之比是32, 问两车每秒各行驶多少米 ? 3. 一架飞机飞行在两个城市之间，风速为每小时

9、24 千米，顺风飞行需要 2 小时 50分钟，逆风飞行需要 3 小时，求两城市间距离。（二）工程问题：工程问题：一般情况下把工作总量看成单位1，公式：工作时间工作效率=工作总量（单位 1）如：一项工程甲队需30 天完成任务，则甲每天完成工作量的130，则工作效率为130；如果乙队需要 20天完成任务，则甲每天完成工作量的120， 则工作效率为120， 两人一起可以完成11()2030工作效率之和1、 某件文件需要打印， 小李独立完成需要6 个小时，小王独立完成需要8 个小时，如果两人合作的话，需要多少时间可以完成。设需要x 小时两人合作可以完成，则可列方程：2、一项工作甲工程队单独施工需要30

10、 天才能完成，乙队单独需要20 天才能完成。现在由甲队单独工作 5 天之后，剩下的工作再由两队合作完成，问他们需要合作多少天？3、 一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成，两人合作 4天后，剩下的部分由乙单独做，需要几天完成？4. 已知某水池有进水管与出水管一根，进水管工作 15小时可以将空水池放满， 出水管工作 24小时可以将满池的水放完；（1）如果单独打开进水管，每小时可以注入的水占水池的几分之几？（2）如果单独打开出水管，每小时可以放出的水占水池的几分之几？（3）如果将两管同时打开，每小时的效果如何？如何列式？（4）对于空的水池， 如果进水管先打开 2小时，再同时打开两

11、管， 问注满水池还需要多少时间？5. 有一个水池，用两个水管注水。如果单开甲管，2小时30分注满水池，如果单开乙管， 5小时注满水池。 如果甲、乙两管先同时注水20分钟，然后由乙单独注水。问还需要多少时间才能把水池注满？ 假设在水池下面安装了排水管丙管，单开丙管3小时可以把一满池水放完。如果三管同时开放，多少小时才能把一空池注满水？6、 一条铁路，甲队单独修 5 天完成总工程量的81，乙队单独修 6 天完成总工程量的101。两队合修，需要多少天完成？7、 一项工程，甲队独做要120 天完成，如果甲队先做10 天，乙队再做 5 天，就可以完成这项工程的245，乙队单独做这项工程需要多少天？8、一

12、项工程，甲队独做要8 天完成，乙队独做所需时间是甲的43。甲队做一天后，乙队参加一起做，还需要几天才能完成？9、 一项工程，如果甲队独做，可6 天完成，甲队 3 天的工作，乙要 4 天完成，两队合做了2 天后由乙队独做，乙队还需要多少天才能完成？年龄问题：1. 甲比乙大 15岁，5 年前甲的年龄是乙的年龄的两倍，乙现在的年龄是_. 2. 小华的爸爸现在的年龄比小华大25 岁，8 年后小华爸爸的年龄是小华的3 倍多 5 岁，求小华现在的年龄比值问题：技巧在于根据比值来设未知数. . 比例分配问题：这类问题的一般思路为：设其中一份为x，利用已知的比，写出相应的代数式。常用等量关系：各部分之和总量。

13、例 4. 三个正整数的比为1：2：4，它们的和是 84，那么这三个数中最大的数是几？ 1、 如果两个课外兴趣小组共有人数54 人，两个小数的人数之比是4:5 ；如果设人数少的一组有 4x 人，那么人数多的一组有 _人，可列方程为 : _ 2、 甲乙两人身上的钱数之比为7:6 ，两人去商店买东西后，甲花去50 元，乙花去 60 时，此时他们身上的钱数之比为3：2，则他们身上余下的钱数分别是多少？设甲余钱元，乙余钱元 ，列方程为1 比赛积分问题：1. 某企业对应聘人员进行英语考试，试题由50 道选择题组成，评分标准规定：每道题的答案选对得 3 分，不选得 0 分，选错倒扣 1 分。已知某人有 5

14、道题未作，得了 103分，则这个人选错了道题。（四）调配问题1、甲车间与乙车间总人数为150 人，将甲车间的15 名工人调动到乙车间，两车间人数相等，求两个车间人数各多少？2、甲车队有 50 辆汽车，乙车队有 41 辆汽车，如果要使乙车队数比甲车队车数的2 倍还多 1 辆，应从甲车队调多少辆车到乙车队？3、某服装厂加工车间有工人54 人，每人每天可加工上衣8 件或裤子 10 条，应怎样合理分配人数，才能使每天生产的上衣和裤子配套？4、某班级开展活动而分为甲乙两个小组，甲队29人，乙队 19人：(1) 若从甲组调 x 名学生到乙组，使得两组人数相等，则可列方程：；(2) 若 从 乙 组 调y名

15、学 生 到 甲 组 ， 使 得 甲 组 人 数 是 乙 组 人 数 的 两 倍 ， 则 可 列 方程：。5、如果甲、乙两班共有90 人，如果从甲班抽调3 人到乙班，则甲乙两班的人数相等，则甲班原有多少人？解：设甲班原有x 人，则乙班原有人，由题意可得方程6、某班级开展植树活动而分为甲乙两个小组，甲队29 人，乙队 19 人，后来发现任务比较重，人手不够，从另外一个班调来12 个人分配给两个队，怎样分配才能使甲对人数是乙队的2 倍7、学校分配学生住宿，如果每室住8 人，还少 12个床位，如果每室住9 人，则空出两个房间。求房间的个数和学生的人数。8、学校春游，如果每辆汽车坐45 人，则有 28

16、人没有上车；如果每辆坐 50 人，则空出一辆汽车，并且有一辆车还可以坐12 人，问共有多少学生，多少汽车？9、 某厂一车间有 64 人，二车间有 56 人。现因工作需要，要求第一车间人数是第二车间人数的一半。问需从第一车间调多少人到第二车间？10、甲队人数是乙队人数的2倍，从甲队调 12 人到乙队后， 甲队剩下来的人数是原乙队人数的一半还多 15 人。求甲、乙两队原有人数各多少人？（五）分配问题：思路：此类问题中，一般都存在两个等量关系，选择一个关系来设未知数，并表示出其他量，再利用另一个关系来列方程( 通常用可列表的方法 ) 。1、如果买 1 本笔记本和 1 支钢笔刚好需要6 元钱，买 1

17、本笔记本和 4 支钢笔，共需 18 元，那么两种笔的价格分别是多少？2、某车间加工机轴和轴承，一个工人每天平均可加工15 个机轴或 10 个轴承。该车间共有80人，一根机轴和两个轴承配成一套，问应分配多少个工人加工机轴或轴承，才能使每天生产的机轴和轴承正好配套。3、某厂生产一批西装，每2 米布可以裁上衣3 件，或裁裤子 4 条，现有花呢 240米，为了使上衣和裤子配套，裁上衣和裤子应该各用花呢多少米？4、某部队派出一支有25人组织的小分队参加防汛抗洪斗争，若每人每小时可装泥土18袋或每2 人每小时可抬泥土14 袋，如何安排好人力，才能使装泥和抬泥密切配合，而正好清场干净。5. 学校分配学生住宿

18、，如果每室住8 人，还少 12 个床位，如果每室住9 人，则空出两个房间。求房间的个数和学生的人数。配套问题：（六） 例 3. 机械厂加工车间有85 名工人，平均每人每天加工大齿轮16 个或小齿轮 10 个，已知 2 个大齿轮与 3 个小齿轮配成一套， 问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？ 1 、某车间有工人85人，平均每人每天可加工大齿轮16 个或小齿轮 10 个，又知 2 个大齿轮和3 个小齿轮配套，问应如何安排劳力使生产的产品刚好成套？2、某车间有 22 人，加工生产一种螺栓和螺母。每人每天平均生产螺栓120 个或螺母 200 个，一个螺栓要配两个螺母

19、， 应该分配多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母， 才能每天生产的产品刚好配套？3、某队有 55人，每人每天平均挖土2.5 方或运土 3 方，为合理安排劳力使挖出的土及时运走，应如何分配挖土和运土的人数。问题探索到这里基本上是圆满解决了， 但其中还有许多规律性的东西可以留待学生课后思考，如：要使这类“配套”型应用题有正整数解，题中已知数据是怎样编出的，它有什么规律? 小结：“配套”型应用题中有三组数据：(1) 车间工人的人数；(2) 每人每天平均能生产的不同的零件数；(3) 不同零件的配套比（利用 (1)(3) 得到等量关系，构造方程）（七）增长率问题：1、某化肥厂去年生产化肥3200吨，今

20、年计划生产3600吨，今年计划比去年增产 % 2、某加工厂有出米率为70% 的稻谷加工大米，现在加工大米100 公斤，设要这种大米x 公斤，则列出的正确的方程是。3、某印刷厂第三季度印刷了科技书籍50 万册，而第四季度印刷了58 万册，求季度的增长率是多少？4、甲、乙两厂去年完成任务的112% 和 110% ，共生产机床 4000 台，比原来两厂任务之和超产400台，问甲厂原来的生产任务是多少台？打折销售：公式：利润=售出价 - 进货价（成本价）利润率 = 100%商品利润商品进价利润与利润率：利润赢亏问题（1）销售问题中常出现的量有：进价、售价、标价、利润等（2）有关关系式：商品利润 =商品

21、售价商品进价 =商品标价折扣率商品进价商品利润率 =商品利润 / 商品进价商品售价 =商品标价折扣率例. 一家商店将某种服装按进价提高40% 后标价，又以 8 折优惠卖出，结果每件仍获利15 元，这种服装每件的进价是多少？1、 一只钢笔原价30 元，现打 8 折出售，现售价是元；如果这支钢笔的成本价为12元，那么不打折前商家每支可以获利元，打折之后， 商家每支还可以获利元2、 一件服装标价 200元，按标价的 8 折销售，仍可获利 20元，该服装的进价是元；按标价的 8 折销售，仍可获利 10% ，该服装的标价是元3、一件商品在进价基础上提价20% 后，又以 9 折销售，获利 20 元，则进价

22、是 _元. 设进价 x 元，根据题意列方程得4、服装店将某种服装按成本提高40% 标价，又以八折优惠卖出，每件仍获利15 元，则每件的成本为_5、某件商品 9 折降价销售后每件商品售价为a元, 则该商品每件原价为 _。6、一种药物涨价25% 的价格是 50 元，那么涨价前的价格x 满足的方程是 _ 。7、某商品的销售价格每件900 元，为了参加市场竞争，商店按售价的九折再让利40 元销售，些时仍可获利 10% ，此商品的进价为 _8、某商场出售某种文具， 每件可盈利 2 元，为支援贫困山区的小朋友，按7 折收给某山区学校，结果每件盈利 0.20 元。问该文具的进价是每件多少元？9、某商品进价

23、1500元，提高 40% 后标价，若打折销售，使其利润率为20% ，则此商品是按几折销售的？9. 储蓄问题 顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率。利息的20% 付利息税 利息=本金利率期数本息和 =本金+利息利息税 =利息税率（ 20% ）例 9. 某同学把 250 元钱存入银行，整存整取，存期为半年。半年后共得本息和252.7 元，求银行半年期的年利率是多少？（不计利息税）分析：等量关系：本息和 =本金（ 1+利率）解：设半年期的实际利率为x，250（1+x）=252.7，x=0.0108 所以年利率为 0.

24、01082=0.0216 顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率。利息的20% 付利息税 利息=本金利率期数本息和 =本金+利息利息税 =利息税率（ 20% ）1. 一家服装店将某种服装按成本提高40% 后标价，又以八折优惠卖出，?结果每件仍获利 15 元，这种服装每件的成本为 _2. 某件商品 9 折降价销售后每件商品售价为a元, 则该商品每件原价为 ( ) 一种药物涨价 25% 的价格是 50 元，那么涨价前的价格x 满足的方程是 _ 。3. 某商场将进价为每件x元的上衣标价为 m元，在此基础上再降价10%

25、，顾客需付款 270元。已知进价 x 元时标价 m元的 60% ，则 x 的值是（）4. 某商品的销售价格每件900元，为了参加市场竞争，商店按售价的九折再让利40 元销售，些时仍可获利 10% ，此商品的进价为 _5. 如果某商品进价的降低5% ，而售价不变，利润率可提高15个百分点，求此商品的原来的利润率6. 某商场出售某种文具，每件可盈利2 元，为支援贫困山区的小朋友，按7 折收给某山区学校，结果每件盈利 0.20 元。问该文具的进价是每件多少元？7. 某商品进价 1500元，提高 40% 后标价，若打折销售， 使其利润率为 20% ，则此商品是按几折销售的？（八）数字问题：数字问题（1

26、）要搞清楚数的表示方法： 一个三位数的百位数字为a， 十位数字是 b， 个位数字为 c （其中 a、b、c 均为整数，且 1a9， 0b9， 0c9）则这个三位数表示为：100a+10b+c。（2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用 2n表示，连续的偶数用 2n+2或 2n2 表示；奇数用 2n+1或 2n1 表示。例. 一个两位数， 个位上的数是十位上的数的2 倍，如果把十位与个位上的数对调，那么所得的两位数比原两位数大36，求原来的两位数等量关系：原两位数 +36=对调后新两位数解：设十位上的数字x，则个位上的数是2x，102x+x=（10 x+2x）+

27、36解得 x=4，2x=8. 1. 一个两位数它的个位数字比十位数字大3，那么这个两位数可以表示为什么？如果把个位数字和十位数字对调，新的两位数可以表示为什么？（添表格并完成解答过程）解：设这个数的十位数字是x，根据题意得2. 两个连续奇数的和为156，求这两个奇数，设最小的数为x，列方程得3. 一个五位数最高位上的数字是2，如果把这个数字移到个位数字的右边，那么所得的数比原来的数的 3 倍多 489，求原数。个位十位表示为原数对调后的新数三、日历时钟问题1. 有一个三位数，个位数字为百位数字的2 倍，十位数字比百位数字大1，若将此数个位与百位顺序对调（个位变百位）所得的新数比原数的2 倍少

28、49，求原数。2. 一个五位数最高位上的数字是2，如果把这个数字移到个位数字的右边，那么所得的数比原来的数的 3 倍多 489，求原数。3.（九）几何问题：等积变形问题：“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。常用等量关系为：形状面积变了，周长没变；原料体积成品体积。例 2. 用直径为 90mm 的圆柱形玻璃杯（已装满水）向一个由底面积为内高为 81mm 的长方体铁盒倒水时，玻璃杯中的水的高度下降多少mm ？（结果保留整数）分析：等量关系为：圆柱形玻璃杯体积长方体铁盒的体积下降的高度就是倒出水的高度解：设玻璃杯中的水高下降xmm 1. 一个长方形的周长长为26cm ，这个长方形的长减少1cm

29、 ，宽增加 2cm ，就可成为一个正方形，设长方形的长为xcm ，可列方程是2. 在一只底面直径为30 厘米，高为 8 厘米的圆锥形容器中倒满水，然后将水倒入一只底面直径为 10 厘米的圆柱形空容器里，圆柱形容器中的水有多高？3、将棱长为 20cm的正方体铁块锻造成一个长为100cm ，宽为 5cm的长方体铁块，求长方体铁块的高度。4. 将棱长为 20cm的正方体铁块没入盛水量筒中，已知量筒底面积为12cm2，问量筒中水面升高了多少 cm ？几何等量变化问题 （等周长变化，等体积变化）常用公式： 三角行面积 =，正方形面积圆的面积， 梯形面积矩形面积柱体体积椎体体积球体体积（十）方案设计与成本

30、分析：1、我省某地生产的一种绿色蔬菜， 在市场上若直接销售， 每吨利润为 1000 元，经粗加工后销售，每吨利润可达 4500元，经精加工后销售每吨获利7500元。当地一家农工商企业收购这种蔬菜140 吨，该企业加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可以加工16 吨，如果进行细加工，每天可以加工6 吨，但两种加工方式不能同时进行。受季节条件限制，企业必须在15 天的时间将这批蔬菜全部销售或加工完毕，企业研制了三种可行方案。方案一：将蔬菜全部进行粗加工；方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，来不及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售；方案三：将一部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好用

31、15 天。你认为哪种方案获利最多？为什么2、牛奶加工厂现有鲜奶8吨，若在市场上直接销售鲜奶（每天可销售8 吨） ，每吨可获利润 500元；制成酸奶销售，每加工1吨鲜奶可获利润1200 元；制成奶片销售，每加工1 吨鲜奶可获利润 2000元该厂的生产能力是：若制酸奶，每天可加工3 吨鲜奶；若制奶片，每天可加工1 吨鲜奶；受人员和设备限制，两种加工方式不可同时进行，受气温条件限制，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕请你帮牛奶加工厂设计一种方案，使这 8 吨鲜奶既能在 4 天内全部销售或加工完毕， 又能获得你认为最多的利润3、某市剧院举办大型文艺演出，其门票价格为： 一等席 300 元人 , 二等席 200元人，三等席150 元人 , 某公司组织员工36 人去观看 , 计划用 5850 元购买 2 种门票 , 请你帮助公司设计可能的购票方案。4、某单位急需用车，但又不需买车，他们准备和一个个体车或一国营出租公司中的一家鉴定月租车合同， 个体车主的收费是 3元/ 千