2021年天津一中、益中学校高考数学联考试卷(2021.05)(解析版)

1、2021 年天津一中、益中学校高考数学联考试卷（5 月份）一、选择题（共9 小题） .1已知集合ax z|x| 5，bx|2x4 ，则 ab（）a（ 2， 5）b2，5）c2， 3，4d3，4，52设 ，是两个不同平面，直线m?，直线 n?，则下列结论正确的是（）am是 mn 的充分条件bmn 是 的必要条件cm是 mn 的必要条件dmn 是 的必要条件3函数 f（x）的图象大致是（）abcd4学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在50，60）元的同学有30 人，则 n 的值为（）a100b1000c90d9005已知 alo

2、g32，b ln2，c0.50.2，则 a，b，c 的大小关系为（）aacbbabccbc adca b6已知三棱锥pabc 中，pa平面 abc，abc 是边长为3 的等边三角形，若此三棱锥外接球的体积为，那么三棱锥pabc 的体积为（）abcd7已知双曲线， abc 为等边三角形若点a 在 y 轴上，点 b， c 在双曲线m 上，且双曲线m 的实轴为 abc 的中位线， 双曲线 m 的左焦点为f，经过f 和抛物线x216y 焦点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（）abcd8已知函数f（x） sin（x+ ）（0，|），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且直线x是其中一条对称

3、轴，则下列结论正确的是（）a函数 f（x）的最小正周期为b函数 f（x）在区间 ，上单调递增c点（，0）是函数f（ x）图象的一个对称中心d将函数 f（x）图象上所有点的横坐标伸长为原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到g（x） sin2x 的图象9已知函数f（x），若对任意x r，f（ x） |x2k|x1|0 恒成立，则实数k 的取值范围是（）a（，1，+）b（，+）c（， +）d（， 12，+）二、填空题：10若复数，则 z11二项式的展开式中的常数项为12已知 a0， b0，且 a+b1，则的最小值为13若函数f（x） ex x 图象在点（ x0，f（x0）

4、处的切线方程为ykx+b，则 kb 的最小值为14天津是一个古老与现代、保守与开放相融合的城市，历经 600 多年，特别是近代造就了中西合璧、古今兼容的独特城市风貌，成为国内外游客首选的旅游圣地2021 年元月份以来，来天津游览的游客络绎不绝，现通过对来津游客问卷调查，发现每位游客选择继续游玩的概率都是，不游玩的概率都是，若不游玩记1 分，继续游玩记2 分，游客之间选择意愿相互独立，从游客中随机抽取3 人，记总得分为随机变量x，则 x 的数学期望 e（x）15如图，在abc 和 aef 中， b 是 ef 的中点， abef2，cacb3，若点 h 为ca 上的动点，则的最小值为，若，则等于三

5、、解答题：16已知 abc 中，角 c 的对边分别为a，b， c，3bcosc+2csincsinb0（1）求角 c；（2）若，求 a+b 的值（3）若，求17如图，已知平面bce平面 abc，直线 da平面 abc，且 daabac（1）求证： da平面 ebc；（2）若，de平面 bce；（）求二面角abde 的余弦值；（）在直线ce（除 c、e 两点外）上是否存在一m，使得直线am 与平面 bde 所成角的余弦值为，若存在，求的值；如不存在，请说明理由18设等差数列an的前 n 项和为 sn，且等比数列bn 的前 n 项和为tn，满足 a1b12，s26，s312，b1+b23（1）求

6、an ， bn的通项公式；（2）求满足条件的最小正整数k，使得对 ?nk（n n*）不等式tn+1 sn恒成立；（3）对任意的正整数n，设，求数列 cn 的前 2n项和19已知椭圆的离心率为，以椭圆中心为圆心，长半轴长为半径的圆被直线3x+4y+50 截得的弦长为（1）求椭圆 c 的方程；（2）椭圆 c 的左顶点为a，右顶点为b，右焦点f，m 是椭圆位于x 轴上方部分的一个动点，以点f 为圆心，过点m 的圆与 x 轴相交，交点t 在 f 右边，过点b 作 x 轴的垂线l 交直线 am 于点 n，过点 f 作直线 femt，交直线l 于点 e，判断是否为定值，并给出证明20已知函数f（x） xe

7、x1a（x+lnx）， a r（1）当 a1 时，求函数f（x）的单减区间；（2）若 f（x）存在极小值，求实数a 的取值范围；（3）设 x0是 f（x）的极小值点，且f（ x0） 0，证明： f（x0） 2（x02x03）参考答案一、选择题：1已知集合ax z|x| 5，bx|2x4 ，则 ab（）a（ 2， 5）b2，5）c2， 3，4d3，4，5解： ax z|5x5， b x|x2 ，ab x z|2x52 ，3，4 故选： c2设 ，是两个不同平面，直线m?，直线 n?，则下列结论正确的是（）am是 mn 的充分条件bmn 是 的必要条件cm是 mn 的必要条件dmn 是 的必要条件

8、解： m ，n?， mn，故是充分条件，故a正确，由 ，得 mn 或异面，故不是必要条件，故b 错误，由 mn 推不出 m ，也可能m 与 平行，故不是必要条件，故c 错误，由 推不出 mn，也可能平行，不是必要条件，故d 错误，故选： a3函数 f（x）的图象大致是（）abcd解： f（ x） f（x），函数 f（x）为奇函数，排除选项c 和 d，当 x （0，1）时， cosx 0，exex0， f（x） 0，排除选项b，故选： a4学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在50，60）元的同学有30 人，则 n 的值为（）a

9、100b1000c90d900解：由频率分布直方图得支出在50，60）元的同学所占频率为：1（ 0.01+0.024+0.036） 100.3，支出在 50，60）元的同学有30 人，n100故选： a5已知 alog32，b ln2，c0.50.2，则 a，b，c 的大小关系为（）aacbbabccbc adca b解：，log23 log2e1，且 0.50.20.501，abc故选： b6已知三棱锥pabc 中，pa平面 abc，abc 是边长为3 的等边三角形，若此三棱锥外接球的体积为，那么三棱锥pabc 的体积为（）abcd解：如图，设底面三角形abc 的外心为g，则 ag，再设三棱

10、锥外接球的球心为o，连接 oa，og，则 og底面 abc，得 ogag，设 oar，由外接球的体积为，可得r3，则 r2，则 pa 2og2三棱锥pabc 的体积为故选： d7已知双曲线， abc 为等边三角形若点a 在 y 轴上，点 b， c 在双曲线m 上，且双曲线m 的实轴为 abc 的中位线， 双曲线 m 的左焦点为f，经过f 和抛物线x216y 焦点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（）abcd解：因为双曲线m 的实轴为等边abc 的中位线，所以 abc 的边长为4a，不妨设点b（ 2a，a）在第一象限，代入1，得1，解得 ab，所以 c2a2+b22a2，得 ca，

11、所以双曲线m 的左焦点f 的坐标为（a，0），因为抛物线x216y 焦点为 d（ 0，4），所以 kdf，因为渐近线的斜率为k 1，所以1 或 1（舍去），所以 a2，b2，所以双曲线的方程为1，故选： b8已知函数f（x） sin（x+ ）（0，|），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且直线x是其中一条对称轴，则下列结论正确的是（）a函数 f（x）的最小正周期为b函数 f（x）在区间 ，上单调递增c点（，0）是函数f（ x）图象的一个对称中心d将函数 f（x）图象上所有点的横坐标伸长为原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到g（x） sin2x 的图象解：函数f（x

12、） sin（x+ ）（ 0，|），其图象相邻两条对称轴之间的距离为?， 4，f（x） sin（4x+）直线 x是其中一条对称轴，4（）+k +，k z， ，f（x） sin（4x）故函数 f（x）的最小正周期为，故 a 正确；当 x ，4x ，函数 f（x）没有单调性，故b 错误；令 x，求得f（x） 0，可得点（，0）是函数f（x）图象的一个对称中心，故 c 正确；将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长为原来的2 倍，纵坐标不变，可得ysin（ 2x）的图象；再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到g（x） sin（2x+）的图象，故d错误，故选： ac9已知函数f（x），若对任意x r，f

13、（ x） |x2k|x1|0 恒成立，则实数k 的取值范围是（）a（，1，+）b（，+）c（， +）d（， 12，+）解： yf（x） |x1|，在直角坐标系中，画出函数y f（x） |x 1|和 y |x2k|的图象，当 2k 1 即 k时，它们都过（1，0），当 x1 时， y|x1|1x，yf（x） |x 1| 2x2+3x1，由 1x（ 2x2+3x1） 2x24x+22（x 1）20，则有x1 时， f（x） |x2k|x1|0 恒成立，x1 时，由图象可得f（x） |x2k|x1|0 恒成立；当 2k即 k时，它们都过（，0），当 x，y|x|x，由于 x1 时， f（x） 0，只

14、要考虑x 1，yf（ x） |x1| 2x2+3x 1，由 x（ 2x2+3x1） 2x22x+ 2（x）20，则有x1， f（x） |x2k|x1|0 恒成立，x1 或 x时，由图象可得，f（x） |x2k|x1|0 恒成立，则 k，时，对任意x r，f（x） |x 2k|x1|0 恒成立；当 2k1 或 2k，即 k或 k时，由图象平移可得，对任意x r， f（x） |x2k|x1|0 恒成立综上可得， k 的取值范围为k或 k故选： b二、填空题：10若复数，则 z解： z，故答案为：11二项式的展开式中的常数项为80解：二项式的展开式的通项公式为tr+1?（ 2）r?，令0，求得 r3

15、，可得展开式中的常数项为?（ 2）3 80，故答案为：8012已知 a0， b0，且 a+b1，则的最小值为解： a0，b0，a+b1，1a+b 2， 0 ab，当且仅当a b 时取等号，设 t， t （0，则+ab+abt+，t （0，y t+在 t （0，上单调递减，当t时，函数y 取得最小值为，即+ab 的最小值为故答案为：13若函数f（x） ex x 图象在点（ x0，f（x0）处的切线方程为ykx+b，则 kb 的最小值为 1解：函数f（x） exx 的导数 f（ x） ex1，可得切线的斜率为kf（x0） ex01，则切线方程为y（ ex01）（ xx0）+ex0 x0，即 y（

16、ex01）xex0 x0+ex0，因为切线方程为ykx+b，所以 kex01，b ex0?x0+ex0，所以 kbex0 x01，对于函数yxex1， y ex（x+1），当 x 1 时， y 0，yxex1 递减；当x 1 时， y 0，yxex1 递增故函数 yxex1 在 x 1 处取得极小值，即为最小值，所以 kb 的最小值是1故答案为：114天津是一个古老与现代、保守与开放相融合的城市，历经 600 多年，特别是近代造就了中西合璧、古今兼容的独特城市风貌，成为国内外游客首选的旅游圣地2021 年元月份以来，来天津游览的游客络绎不绝，现通过对来津游客问卷调查，发现每位游客选择继续游玩的

17、概率都是，不游玩的概率都是，若不游玩记1 分，继续游玩记2 分，游客之间选择意愿相互独立，从游客中随机抽取3 人，记总得分为随机变量x，则 x 的数学期望 e（x）5解： x 的可能取值为3，4，5，6，p （x3） ， p （x4） ， p （x 5） ，p（x6），所以 e（x）5故答案为： 515如图，在abc 和 aef 中， b 是 ef 的中点， abef2，cacb3，若点 h 为ca 上的动点，则的最小值为，若，则等于2解：，设点b 到 ac 的距离为h，所以，解得，所以，故故的最小值为因为，所以，由，可得，所以故答案为：，2三、解答题：16已知 abc 中，角 c 的对边分别

18、为a，b， c，3bcosc+2csincsinb0（1）求角 c；（2）若，求 a+b 的值（3）若，求解：（ 1）由正弦定理及3bcosc+2csincsinb 0 得 3sinbcosc+2sincsincsinb0因为 sinb0，所以 3cosc+2sin2c0，即 3cosc+22cos2c0，解得 cosc或 cosc2（舍），由 c 为三角形内角得c；（2）因为 sabc，所以 ab 4，因为 c2，由余弦定理得c2a2+b22abcosc，即 12 a2+b2+ab（ a+b）2ab（ a+b）2 4，所以 a+b4；（3）由正弦定理得，所以 sina，cosa，故 sin2

19、a2sinacosa，cos2a12sin2a，所以+17如图，已知平面bce平面 abc，直线 da平面 abc，且 daabac（1）求证： da平面 ebc；（2）若，de平面 bce；（）求二面角abde 的余弦值；（）在直线ce（除 c、e 两点外）上是否存在一m，使得直线am 与平面 bde 所成角的余弦值为，若存在，求的值；如不存在，请说明理由解：（ 1）证明：过点e 作 efbc 于点 h，因为平面bce平面 abc，又平面bce平面 abcbc，eh? 平面 bce，所以 eh平面 abc，又因为 da平面 abc，所以 adeh，因为 eh? 平面 bce，da? 平面 b

20、ce，所以 da平面 ebc；（2）（）因为de平面 bec，所以 deb dec ，由 abac，可知 db dc，dede， deb dec ，则 bece，所以点 h 是 bc 的中点，连接ah，则 ahbc，所以 ah平面 ebc，则 deah，aheh，所以四边形dahe 是矩形以 h 为坐标原点，分别以hb、 ha、he 所在直线为x、y、z 轴建立空间直角坐标系，设 da2a，则 e（0，0，2a），a（0，a，0），b（ a，0，0）， d（ 0，2a），（ a，a，0），（ 0，0，2a），（ a，），（ a，0， 2a），设平面 abd 的一个法向量为（ x，y，z），由，

21、得，取 y1，得（，1，0）设平面 bde 的一个法向量为（ x0，y0，z0），由，得，取 z01，得（ 2，0，1），设二面角abde 的平面角为 ，由题知是钝角，则 cos ，则二面角abde 的余弦值为（）设，（ 0， 1），（ 1，2 ），设直线 am 与平面 bce 所成角为 ，则 sin |cos|，解得 0（舍）或所以在直线ce（除 c、e 两点外）上是存在一m，使得直线am 与平面 bde 所成角的余弦值为，且18设等差数列an的前 n 项和为 sn，且等比数列bn 的前 n 项和为tn，满足 a1b12，s26，s312，b1+b23（1）求 an ， bn的通项公式；（2

22、）求满足条件的最小正整数k，使得对 ?nk（n n*）不等式tn+1 sn恒成立；（3）对任意的正整数n，设，求数列 cn 的前 2n项和解：（ 1）设等差数列an的公差为d，等比数列 bn 的公比为q，由 a1b12，s26，s312，b1+b23，可得 2a1+d6，3a1+3d12，解得 a12，d2，所以 b11，b22，q2，所以 an2n，bn2n1；（2）由（ 1）可得 snn（2+2n） n2+n，tn2n1，tn+1sn即为 2nn2+n，当 n1 时， tn+1sn 2；当 2n 4 时， tn+1sn；当 n5 时， 2n2（c +c +c） n2+n+2 n2+n，所以

23、满足条件的最小正整数k 为 5；（ 3 ） c2n1（），所以 c1+c3+.+c2n1（+.+）（）；c2n8n?（）n，则 c2+c4+.+c2n8?+16?（）2+.+8n?（）n，（c2+c4+.+c2n） 8?（）2+16?（）3+.+8n?（）n+1，两式相减可得（c2+c4+.+c2n） 2+8（）2+.+（）n8n?（）n+12+8?8n?（）n+1，化简可得c2+c4+.+c2n（n+） ?（）n+1，所以数列 cn的前 2n 项和为（）+（n+） ?（）n+1（n+）?（）n?19已知椭圆的离心率为，以椭圆中心为圆心，长半轴长为半径的圆被直线3x+4y+50 截得的弦长为（

24、1）求椭圆 c 的方程；（2）椭圆 c 的左顶点为a，右顶点为b，右焦点f，m 是椭圆位于x 轴上方部分的一个动点，以点f 为圆心，过点m 的圆与 x 轴相交，交点t 在 f 右边，过点b 作 x 轴的垂线l 交直线 am 于点 n，过点 f 作直线 femt，交直线l 于点 e，判断是否为定值，并给出证明解：（ 1）由题意可得：，解得：，则椭圆方程为：（2）设直线 am 的方程为yk（x+2），联立直线方程和椭圆方程可得（4k2+3）x2+16k2x+16k2- 120，由可得，以 f 为圆心， |fm |为半径的圆为，联立可得，线段 mt 的中垂线为：y2k（x- 1），又，所以 e 为线段 bn 中点，20已知函数f（x） xex1a（x+lnx）， a r（1）当 a1 时，求函数f（x）的单减区间；（2）若 f（x）存在极小值，求实数a 的取值范围；（3）设 x0是 f（x）的极小值点，且f（ x0） 0，证明： f（x0） 2（x02x03）解：（ 1）a1 时， f（x） xex1 xlnx，f（x）的定义域是（0