第四讲分式的概念、性质及运算

1、分式的概念、性质及运算分式包括分式的概念、分式的基本性质、分式的运算、简单的分式方程等主要内容.从整式到分式，我们可以形象地说是从“平房”到了 “楼房”在脚手架上活动，无疑增加了难点， 体现在：解分式问题总是在分式有意义的前提下进行的,因此必须考虑字母取值范围;分式运算中的通分 和约分是技巧性较强的工作，需要灵活处理.分式的运算与分数的运算相似，是以分式的基本性质、运算法则、通分和约分为基础，是以幣式的变 形、因式分解为工具.分式的加减运算是分式运算的难点，突破这一难点的关键是能根据问题的特点恰当 地通分，常用通分的策略与技巧有：1. 化整为零，分组通分；2. 步步为营，分步通分；3. 减轻负

2、担，先约分再通分；4. 裂项相消后通分等例题求解i例“要使分式肯有意义,则兀的取值范围是思路点拨当分式的分母不为零时，分式有意义，由于分式是繁分式，因此考虑问题应细致周密.注：在新事物面前，人们往往习惯于把它们与原有的、熟知的事物相比，这里蕴涵的思想方法就是类 比.学习分式时，应注意：(1) 分式与分数的概念、性质、运算的类比；(2) 整数可以看做是分数的特殊情形，但整式却不是分式的特殊情形；(3) 分式需要讨论宇母的取值范围，这是分式区别于幣式的关键所在.【例2】 已知 严+ 4二 ，其中a、b为常数，则4a-b的值为()x2-x-2x-2 x + 1a. 7b. 9 c. 13 d. 5【

3、例4】 解下列分式方程(纽)：门、5兀一96x-84兀一192x-2(1)+=+x-19x-9x-6x-8aba + bbeb + ccac + ci丄_ 31'41=5学力训练21.（1）要使分式上二一没有意义，则a的值为.< 1 + 3。1 +2a（2）若0-5|和（b + 4）2互为相反数，贝ip绰+（?_纟“（丄+ ；）七2+2" +沪）的值为 a-b b a a b2已知整数且占+总+詈为整数则所有符合条件的血的和为 3-已知為与岛的和等于贝"，*4学校用一笔钱买奖品，若以1枝钢笔和2本日记本为一份奖品，则町买60份奖品；若以1枝钢笔和3 本日记本为

4、一份奖詁，则可买50份奖品.那么，这笔钱全部用来买钢笔可以买枝.5.已知式子（z（x + 1）a. +1卜i-1b. -1的值为0,c. 86.化简则x的值为（d. 一1 或 811i（x + l）（x + 2）十（兀 + 2）（兀 + 3） * （兀 + 3）（兀 + 4）（兀 + 4）（兀 + 5）的结果是（a.4x2 +6x+5b.3x2 +6x+5c.2x2 +6x+5d.x2 +6x + 5（人连市“冇英杯”竞赛题）7.若x取整数,则使分式貂的值为整数的x值有（a. 3个b. 4个 c. 6个 d. 8个（江苏省竞赛题）8.若 a、b c 满足 a+b+c二0,abc=8,则丄+丄+

5、丄的值是（a b c11.若 x+y+z=3a（a0）,则（心一心“）（二“）+（，）（）的值为（x 6z）" +（y q）十（z q）12-若关于x的方程鹑的解为正数，则a的収值范围是（湖北省选拔赛试题）13.方程4/一 2xy12x+5y+ll二0有组正整数解.（“五羊杯”竟赛题）14°17.分式6+ 12x十1（）可取的最小值为（）x + 2x + 2a. 4 b. 5 c. 6 d.不存在c.零d.不能确定19.解下列方程(组)：/八 13-2兀 17-2x19一2无 11-2x(1 ) +=+11 2x 15 2x 17 2x 9 2xel分式的«e念、

6、性质及运算【例题求解】ft 1«3*_(a-b)h+a + 2b处 2 j+lxl-x-2(1)<2)4/ = 4a i 4a _ 亠.，(对q 工(y+刃(«y+z)(y+«r)(3)原式=磴沪丁丑沪'才cr j£） + z（工+刃原灵=（卄，心一刃（亠-¥）=0_ （工i）（f +工+11 （工+1）（攵2 大+ 1）a-b=3a + 2b=48/+呼沖窑=(壬+亠)+( (乂jtkz 十 y)十y十 .22 + 1)= x-1x+2 _22+ »=(ar+1)(#+工+1) (x l)(x2 x+1)(x4-l)(

7、x1) x+1 x 1(x+l)(xl)设 尤一z=bz«r=c则abcb陌古二at.w<</_ _ac(ca)+a6(a6)十6c(6c)八 j(a 6)(6-c)(6 c)(ca)(ca)(c6)(a 6)(6c)(ca)(ca)(a 6)(f6)=(a 6)(frc)(ca)（1原方程可以为 c-吕）+ （1 + ±）=（4 + ±）+ （-10-10（大 一 9）（才一 19）（2）原方程组可化为什+扌=3)，即占12314 *（工_6）（©8）'故（工9）（工一19） = （a6（才一8片 解得 x=yri 11+得万+万+

8、三=6一得c=y,一得6=1因卄6|w+6j + 1780而 n+6|n3+6s故卄611780.得托=4 14,83,172.350,439.884 1774.所以所有吉祥数的和为 4 + 14 + 83+172 + 350+439 + 884 + 1774 = 3720 “+(100 = 2200卄 10000 = 2(八 n2-100n+5000 (100-n)2-100(100-») + 5000_-100» + 5000 -原式=49x2 + 1 = 99.【学力训练】2. 123. 2.2l (10 或 1*$(2)寺4. 100设钢笔x元/枝，日记本y元/本侧

9、60（工+2y） = 50a + 3w，得工=3力空卑空1005. c6. a7. b 募# = 3 +石p(2工一 1)|6.2才一1 = ±6土3,土2,±1.8< b9. (1)16(2原式=(3h+6) + j (2工+6) =bcca，、一一丄一丄+丄+丄(a 6)(a c) (6c)<6a)6) a_b ac bc ba ca(4)"j+1x(3)原式二令卄”rx-t-4oo打加乙两次买的大米平均价格更低些.10. （1）设隧道长为工米火车原速度为每分钟y米则/丁+400工+4oo = o,，解得丁+400 y+100"卄 100

10、11. * 设 xa = m9ya = n,za = p.则+ p = 原式乂 二*?；常.12. 工=寺（2-八由題意得 y（2-a）0且寺（2-"2.得av2且占一413. 原方程可化为（5 2工），=4x2+ 12%11 y= 2z-1 + ?工15，2工一5|6 2工一5=士 1 或士3 或士2 或±6得 x=3 y=ll或工=4q=9,共2组正整数解14. 3.469 或 1115. a由条件得 £士中，也+1比+】中+ 1,吐吐£吐吐£寺±£, cabc a ocabcao16. c 17. a 原式=6- &a

11、mp;+二 + 18. c 由条件得 +c2 a2 = 26ct a2+6 c2 = 2a6» a2+c: 2ac19（1）原方程可化为（1 +寻）+（1 +寻）=（1 +趕）+（1 +島），即订隽一耳=舄一_1_ =八厂亦 疑一尹（112刃（9一2刃=（17 2才）（152才）得才=孕15-2t （11-2j-）（9-2x） （17-2 才 （】5 2才）2（2）原方程化为茅壬|工乂01+夕工0t + h01 +丄x3x±23工+227+7于是得如0 文工一 1 占-寺2故原方程的解为*一专且才工一120. （1设甲、乙、丙三队独做所需的天数分别为匸、）、2天，则才=“ 1 l-=畀 得0十=弋+負+竺,y zyjf. i1jtz1 _xy11 i_ _ =xy+xzyz 同理a+ l xyjcz+yz c+1 xy+yz+yz 取