2018年高考数学考点一遍过专题44随机事件的概率文

1、考点44随机事件的概率(1)了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别(2)了解两个互斥事件的概率加法公式一、随机事件及其概率1 事件的分类2 频率与概率(1)事件的频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出 现的次数nA为事件A出现的频数,称事件A出现的比例fn(A)二皿 为事件A出现的频率.n(2)事件的概率：对于给定的随机事件A由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，因此可以用fn(A)来估计概率P(A).注意：频率是事件A发生的次数与试验总次数的

2、比值，与试验次数有关概率是一个确定的数， 是客观存在的,与试验做没做、做多少次完全无关知识W&务件X卜*定会幻的闭金:釧哼匚空会发粧的那什口龍握丫世醪匸艾十的 T 巾、事件间的关系及运算定义付号表示包含关系如果事件A发生，则事件B一定发生， 这时称事件B包含事件A或称事件A包 含于事件E)B?A或A?B）相等关系若B?A且A?B,则事件A与事件B相等A=B并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)AUB（或A+B）交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件A发生且事 件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)An

3、B（或A- B）互斥事件若AnB为不可能事件，则称事件A与事件B互斥Ad B=0对立事件若AnB为不可能事件，AUB为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件Ap|B=0且AUB=U注意：互斥事件与对立事件都是指两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求必须有一个发生因此，对立事件一定是互斥事件，而互斥事件未必是对立事件三、概率的基本性质1.由于事件的频数总是小于或等于试验的次数，所以频率在01 之间,从而任何事件的概率都在 01 之间,即0乞P(A)乞1.必然事件的概率为 1,不可能事件的概率为0.2. 当事件A与事件B互斥时,P(A

4、UB)二P(A) P(B)，该公式为概率的加法公式.当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A LXUIX)二PAPA2 PAn.3 .若事件A与事件B互为对立事件，则AUB为必然事件，P(AU B)=1.再由加法公式得P A P B =1.:重点考向.考向一由频率估计随机事件的概率随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，通过计算事件发生的频率去估算事件发生的概率典例引领典例 1 某企业生产的乒乓球被奥运会指定为乒乓球比赛专用球，目前有关部门对某批产品进行了抽样检查检查

5、结果如下表所示：抽取球数n5010020050010002000优等品数m45921944709541902优等品频率巴n(1) 计算表中乒乓球优等品的频率；(2) 从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少?(结果保留到小数点后三位)【解析】依据公式户 Z 计算出表中戶乓球优等品的频率依次是 0.500.0520,000554,0551.n由知寸由取的球数“不同計算得到的频率值不同佢随看抽取球数的増多濒率在常数的附近摆諒 所以质量检查为优等品的概率约为 050.典例 2 如图,A地到火车站共有两条路径Li和L2,现随机抽取 100 位从A地到达火车站的人进行调查,调查5结果如下

6、：所用时间(分钟)10202030304040505060选择Li的人数6i2i8i2i2选择L2的人数04i6i64(1) 试估计 40 分钟内不能赶到火车站的概率；(2) 分别求通过路径Li和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径【解析】由题意知共调查了 100 人，其中 40 分钟内不能赶到火车站的有 12+12+16HM4CVX二用频率估计相应的概率约为 WK选择&的有他人选择b的有 4C 人，由调查结果得：所用时间(分钟)i020

7、2030 3040 4050 5060Li的频率0.i0.20.30.20.2L2的频率00.i0.40.40.iAi,A分别表示甲选择Li,L2时,在 40 分钟内赶到火车站Bi,B2分别表示乙选择Li,L2时,在 50 分钟内赶到火车站.由(2)知F(A)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A)=0.1+0.4=0.5,/P(A)F(A), 甲应选择Li；P(Bi)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.i+0.4+0.4=0.9, P(R)RB), 乙应选择L2.火车站A变式拓展7分,绘制频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为140,50 ,150,60

8、,川，80,90 , 90,1001.(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80 的概率；考向二事件间的关系及运算对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，而且事件的发生与否都是对于同一次试验而言的，不能在多次试验中判断具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而断定所给事件的关系.典例引领典例 3 判断下列各对事件是否为互斥事件？是否为对立事件？并说明理由.已知某医疗诊所的急诊室有 3 名男医生和 2 名女医生，从中任选 2 名去参加医德培训，其中(1)“恰有 1 名男医生”和“恰有 2 名男医生”；(2)“至少有 1 名

9、男医生”和“至少有 1 名女医生”；(3)“至少有 1 名男医生”和“全是男医生”；(4)“至少有 1 名男医生”和“全是女医生”.【解析】是互斥事件，但不是对立事件.理由是:所选的 2 容医生中恰有 1 名男医生安质选出的是“1 名男医生和 1 名女医生：它与卞有 2 名舅医生 不可能同时发生月 f 以是互斥事件， 同时不能保证眞中昭有一个发生， 因为还可能选出有 2 名女医生： 因此 二者不对立.(2)不是互斥事件，也不是对立事件.理由是：“至少有 1 名男医生”包括“1名男医生和 1 名女医生”与“2名都是男医生”，“至少有 1 名女医 生”包括“1名女医生和 1 名男医生”与“2名都是

10、女医生”，它们共同含有“1名男医生和 1 名女医生”， 能够同时发生，因此不互斥也不对立1某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问 50 名职工，根据这 50 名职工对该部门的评(1)求频率分布直方图中(3) 不是互斥事件，也不是对立事件.理由是：“至少有 1 名男医生”包括“1名男医生和 1 名女医生”与“2名都是男医生”,这与“全是男医生”能够同时发生，因此不互斥也不对立(4) 是互斥事件,也是对立事件.理由是：“至少有 1 名男医生”包括“1名男医生和 1 名女医生”与“2名都是男医生”,它与“全是女医生”不可能同时发生，但其中必有一个发生，故它们既是互斥事件，又是对立事件

11、变式拓展2 掷一粒骰子，用图形画出下列每对事件所含结果所形成的集合之间的关系，并说明二者之间是否构成对立事件(1)“朝上的一面出现奇数”与“朝上的一面出现偶数”；(2)“朝上的一面的数字不大于4 ”与“朝上的一面的数字大于4”.考向三 概率加法公式的应用概率加法公式应用的前提是“各事件是互斥事件”，对于较难判断关系的，必要时可利用Venn 图或列出全部的试验结果进行分析.求复杂事件的概率通常有两种方法：(1 )将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件；(2 )若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反” 它

12、常用来求“至少”或“至多”型事件的概率典例引领典例 4 某花店每天以每枝 6 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 12 元的价格出售如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理(1 )若花店一天购进 17 枝玫瑰花，求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝，n “的函数解析 式(2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝)，整理得下表：日需求量n14151617181920频数10201616151310(i)假设花店在这 100 天内每天购进 17 枝玫瑰花，求这 100 天的日利润(单位:元)的平均数;9(ii)若花店一天购进 17 枝玫瑰花，以 100 天记录的各

13、需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于 92 元的概率.【解析】(1)当日需求量n_17时,利润y=6x17=102;当日需求量n：17时,利润y=12n-102,所以y关于n的函数解析式为y=12n _102,n：17(nN).102, n17(2) (i)这 100 天中有 10 天的日利润为 66 元,20 天的日利润为 78 元,16 天的日利润为 90 元,54 天的日利 润为 102 元，所以这 100 天的日禾 U 润的平均数为X(66H10+78X20 +90X16+102X54)=91 68.100(ii)当天利润不少于 92 元即 12n-102_ 92,即

14、n_17,所以所求概率P=0.16+0.15+0.13+0.1=0.54.典例 5 在数学考试中，小明的成绩不低于 90 分的概率是 0.18,在 80 分89 分的概率是 0.51,在 70 分79 分 的概率是 0.15,在 60 分69 分的概率是 0.09,在 60 分以下的概率是 0.07，计算：(1) 小明在数学考试中成绩不低于80 分的概率；(2) 小明数学考试及格的概率.【解析】小明的成绩不低于河分可以看惟互斥事件预分-阴分 w 不低于 90 分啲并事件，小明数学考试及 格可看作分 T9 分 TO 分 T9 分 TO 分卞分不低于 9C 分哒几个彼此互斥事件的并事件又可看作齐

15、及格円这一事件的对立事件一于是分别记小明的成贾不低于 90 分 f 在闕分的分*在70分曲分尺在联分期分彷事件乩3这四 个事件彼此互斥一(1) 小明的成绩不低于 80 分的概率是P(BUQ=F(B)+P(Q=0.18+0.51=0.69.(2) 方法一：小明数学考试及格的概率是P(BUCU DUE)=P(B+F(C)+P：D+P(E)=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.方法二：小明数学考试不及格的概率是0.07,所以小明数学考试及格的概率是1-0.07=0.93.变式拓展3 某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表所示：年降水量(mm)100,150)150,200)200,2

16、50)250,300概率0.100.250.200.12(1)求年降水量在200,300内的概率；求年降水量在100,250)内的概率.1.下列说法正确的是A.互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件B.互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件C.事件A,B同时发生的概率一定比A,B中恰有一个发生的概率小D.事件A,B中至少有一个发生的概率一定比A B中恰有一个发生的概率大2 .从含有 8 件正品、2 件次品的 10 件产品中，任意抽取 3 件,则必然事件是A. 3 件都是正品B.至少有 1 件次品C. 3 件都是次品D.至少有 1 件正品3 .把红、黄、蓝、白 4 张纸牌随机

17、地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人一张，则事件“甲分得红牌”与事件“丁分得红牌”A.不是互斥事件B.是互斥但不对立事件C.是对立事件D.以上答案都不对4 .一次数学考试中，4 位同学各自在第 22 题和第 23 题中任选一题作答，则第 22 题和第 23 题都有同学选答的概率为八 5o3A.B.168c 715c.D.81611 85.设事件A B,已知 RAT ,RBF:,R AUBl- ,则A B之间的关系一定为A.两个任意事件B.互斥事件C.非互斥事件D.对立事件6 .口袋中装有一些大小相同的红球和黑球，从中取出 2 个球.两个球都是红球的概率是，都是黑球的概率是1-,则取出的 2 个球

18、中恰好一个红球一个黑球的概率是1178A.:B.:314C.D.:7 .在一次随机试验中，三个事件二的概率分别是 0.2 , 0.3 , 0.5，则下列说法正确的个数是I =与是互斥事件，也是对立事件；是必然事件；= 0.1?； P(坷O E.A. 0B. 1C. 2D. 38指出下列事件哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？(1) 函数f(x)=x-2x+1 的图象关于直线x=1 对称；(2) 直线y=kx+6 是定义在R上的增函数；(3) 若|a+b|=|a|+|b|,贝 Ua,b同号.9 某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报纸”，事

19、件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”.判断下列事件是不是互斥 事件;如果是，再判断它们是不是对立事件：(1)A与C;(2)B与E;(3)B与D(4)B与C;(5)C与E10经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队等候的人数及相应概率如下排队人数012345概率0.10.160.30.30.10.04（1）至多有 2 人排队等候的概率是多少？至少有 3 人排队等候的概率是多少？11 受轿车在保修期内的维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，甲品牌车保修期为 3 年，乙品牌车保修期为 2 年，现从该

20、厂已售出的两种品牌轿车中分别随机抽取50 辆，统计出在保修期内出现故障的车辆数据如下：品牌甲乙首次出现故障的时间x（年）0 xwi1xW22x30 xwi1x2轿车数量（辆）213442345（1）从该厂生产的甲种品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；（2）从该厂生产的乙种品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率.（将频率视为概率）直通同、_工翩厂111，甲获胜的概率是1，则甲不输的23131.（ 2016 天津文科）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是概率为A.C.2.（2017 新课标全国n文科节选）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对

21、比，收获时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）,其频率分布直方图如下：记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，3.（ 2015 陕西文科）随机抽取一个年份，对西安市该年 4 月份的天气情况进行统计，结果如下:日期123456789101112131415天气晴雨阴阴阴雨阴晴晴晴阴晴晴晴晴日期161718192021222324252627282930天气晴阴雨阴阴晴阴晴晴晴阴晴晴晴雨（1）在 4 月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；（2）西安市某学校拟从 4 月份的一个晴天开始举行连续 2 天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率4.（2017新课标全国

22、川文科）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4 元，售价B.D.估计A的概率.15每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2 元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：C）有关如果最高气温不低于25,需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间20 , 25）,需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20 ,需求量为 200 瓶.为了确定六月份的订购计划， 统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温10 , 15)15 , 20)20 , 25)25 , 30)30 , 35)35 , 40)天数216362574以最高

23、气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率（1） 估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300 瓶的概率；（2） 设六月份一天销售这种酸奶的利润为丫（单位：元）.当六月份这种酸奶一天的进货量为450 瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率.参考答案一变式拓展1.【解析】因为0.004 a 0.018 0.022 2 0.028 10 =1,所以a =0.006.(2)由所给频率分布直方图知,50 名受访职工评分不低于 80 的频率为(0.022 + 0.018$ 10 = 0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80 的概率的估计值为 04九【解折】根据题意化出 Venn 鈕如團)

24、从團中可以看出:嘲上的一面曲见奇数吝嘲上的一面出现偶数洛目所含结果所组成的集合互为补集個此它们构成对立事件一很据题意作出 Vann 图仪口图(2) 一从 Venn 團可以看出:嘲上的一面的数字不犬于 T 与潮上的一面的数字大于 4 帘自所含结果所组成的集合互为补集.因此它们构成对立事件一3 .【解析】 记“年降水量在200,250)内”为事件A则P(A)=0.20.记“年降水量在250,300内”为事件B,则P(B)=0.12.记“年降水量在200,300内”为事件C,则C=AUB,且事件A与事件B是互斥事件，由互斥事件的概率加法公式，得 R C)= R A) +R D=0.32.即年降水量在

25、200,300内的概率为 0.32.(2)记“年降水量在100,150)内”为事件A,则P(A)=0.10.记“年降水量在150,200)内”为事件B,则P(B)=0.25.记“年降水量在200,250)内”为事件C,则P(C)= 0.20.记“年降水量在100,250)内”为事件D则D=AUBUC,且事件A、事件B、事件C是互斥事件，由互斥事件的概率加法公式，得 RD)=P(A)+P：B)+F(C)=0.55.即年降水量在100,250)内的概率为 0.55.考点冲关1.【答案】A【解析】互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，所以 A 正确,B 错误；当A=B时，A B中恰有一个

26、发生的概率为 0,所以 C 错误；17若事件A为不可能事件，事件代 B中至少有一个发生的概率与代 B中恰有一个发生的概率相等，故 D错误.2 .【答案】D【解析】从含有 8 件正品、2 件次品的 10 件产品中,任意抽取吕件，选项虬 3 件都是正品是随机事件, 竝 A 错误；选项爲至少有 1 件次品是随机事件，故目错误,选项 C, 3 件都是茨品是不可能事件，故 C 错误,选项 D,至少有 1 件正品是必然事件故 D 正确，故选 D.3 .【答案】B【解析】由互斥事件及对立事件的定义知，事件“甲分得红牌”与事件“丁分得红牌”是互斥但不对立事件.选 B.4 【答案】C【解析】4 位同学各自在第

27、22 题和第 23 题中任选一题作答的等可能结果有16 种.14 位同学选择作答同一题的结果有2 种,即 4 位同学选择作答同一题的的概率是-.817所以第 22 题和第 23 题都有同学选答的概率为 1 -885.【答案】B【解析】因为RA)+P(B)= + = =P(AUB),所以A,B之间的关系一定为互斥事件.选择 B.6 .【答案】B【解析】由题意知，从袋中取出 2 个球包含事件:2 个都是红球,2 个都是黑球，1 个红球和 1 个黑球.21 8由互斥事件的性质知，取出的 2 个球中恰好一个红球一个黑球的概率是1.选 B.5 15 157 .【答案】B【解析】由题意知，不一定是互斥事件

28、，所以虫5； =- 7,所以，只有正确，所以说法正确的个数为 1.选 B.8.【解析】必然事件有(1);随机事件有(3).对于(3),当|a+b|=|a|+|b|时，有两种可能：一种可能是a,b同号，即ab0;另外一种可能是a,b中至少有一个为 0,即ab=0.199.【解析】由于事件 b 至多订一种报纸沖包括识订甲报二即事件与事件 C 有可能同时发生.故与C 不是互斥事件一事件尸至少订一种报纸杏事件矿一种报纸也不订焜不可能同时发生的，故占与迟是互斥事件；由 于事件B岌生会导致事件E一定不发生，且事件E发生会导致事件B一定不发生，故 S 与 E 还是对立 事件.(3) 事件B“至少订一种报纸”

29、中包括“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，也就是说事件B和事件D有可能同时发生，故B与D不是互斥事件(4) 事件B“至少订一种报纸”中包括“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报” 事件C“至多订一种报纸”中包括“一种报纸也不订” “只订甲报” “只订乙报” 也就是说事件B与事件C可能同时发生 故B与C不是互斥事件(5) 由(4)的分析，事件E“一种报纸也不订”是事件C中的一种可能情况，所以事件C与事件E可能同时 发生，故C与E不是互斥事件10.【解析】(1)记“有 0 人排队等候”为事件A“有 1 人排队等候”为事件 B, “有 2 人排队等候”为事 件 C, “有 3 人排队等候”为事件 D, “有 4 人排队等候”为事件E，“有 5 人及 5 人以上排队等候”为事 件F，则易知A，B,CD,E F互斥记“至多有 2 人排队等候”为事件G贝UGAUBUC,所以P(G=P(AUBUq=P(A)+RB)+RC)=0.1+0.16+0.3=0.56.(2)方法一：记“至少有 3 人排队等候”为事件H,贝UH=DUEUF,所以P(H=P