全国卷理科数学模拟试题一

1、奋斗没有终点任何时候都是一个起点信达全国卷理科数学模拟试题一第I卷一选择题：本题共 12题，每小题5分，共60.在每小题给出的四个选项中，有且只有一个 是正确的.1 .设集合 U 1,2,3,4, M 1,2,3, N 2,3,4，则 Cu (M N)=()A. 1,2 B.2,3 C.2, 4D.1,42 .复数z 的实部是()1 iA. 2B. 1C.1D.43.设 a log0.8 0.9 , b0 9一log1.1 0.9, c 1.1 ，则 a, b, c 的大小关系是()(A)abc(B)acb(C)bac(D)cab4 .如图，在6 6的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量 v,

2、v,v 满足 v xOv yv,(x, y R),贝U x y A. 0B. 1C, 5 .5 D. 1355 .下列说法：将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；设有一个回归方程 ？= 3-5x ,变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；回归方程?= ?x+?必过（x,y）有一个2X2列联表中，由计算得k2 =13.079,则有99%勺把握确认这两个变量间有关系.其中错误的个数是（）（A）0（B）1（C）2（D）3本题可以参考独立性检验临界值表：P( k2 > k0)0.500.400.250.150.100.050.0250.010kO0.4550.7081.3

3、232.0722.7063.8415.0246.6356 .执行如图的程序框图，输出的 S值是（）A. 3B. 3C. 0D. 37 .等差数列an中，ai+a2+a50= 200, a5i+a52+aio0 = 2700,则A. 1221 B. 21. 5C. 20. 5D. 20ai等于()8 .下列命题中正确的是（）A.若p q为真命题，则p q为真命题b a .B. a 0, b 0 2的充分必要条件a b2C.命题 若x 3x 2 0,则x 1或x 2”的逆否命题为“若x 1或x 2,则2 一 一 一 x 3x 2 0 ”D.命题 p: x R ,使得 x2 x 1 0 ,则 p:

4、x R ,使得 x2 x 1 09.设等比数列an的前n项和为Sn .则“ 4 0”是“ S3 S2”的（）（A）充分而不必'要条件（B）必要而不充分条件（D）既不充分又不必要条件（C）充要条件10 .某四棱柱的三视图如图所示，该几何体的各面中互相垂直的面的对数 是（）A. 2B. 4C. 6 D. 8211 .设P,Q分别为x2y 6 22和椭圆工 y2 1上的点，则P,Q10两点间的最大距离是()A5 .2B. 46,2 0.72d. 6. 2x2 ax, x 1,412 .已知函数f(x)右x1,x2 R,x1 x2,使得f(x1 f(x2)成立，则实数a的ax 1, x 1,取

5、值范围是()(A) a< 2 (B) a> 2(C) - 2 < a < 2 (D) a > 2 或 a < - 2第II卷本卷包括必考题和选考题两部分。第13第21必考题，每个试题考生都必须作答。第22, 23,24考生根据要求作答。、填空题（本大题共 4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13.（2013济南三模）某市居民20092013年家庭年平均收入 x（单位：万元）与年平土支出Y（单位: 万元）的统计资料如表所示：年份20092010201120122013年平均收入x11.512.11313.315年平均支出Y6.88.89.81

6、012根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是 ,家庭年平均收入与年平均支出 有线性相关关系.14 .某校编写了甲、乙、丙、丁四门选修课教材，在同一学年的五个班级试用。要求：每个班 级只开设一门选修课；只有一、二班开设相同的选修课，且三班不开设甲门选修课，则不同的 开设方法共有 种(用数字作答)15.二项式vx12的展开式第4项是常数项，则n的值是16 .设函数 f(x) x2 6x 5,集合 A (a,b)|f(a) f(b) 0 ,且 f (a) f(b) 0 .直 直角坐标系aOb中，集合 A所表示的区域的面积为 三.解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤).17 .(本小题满

7、分12分)已知 ABC的三个内角分别为 A,B,C,且2sin2(B C) J3sin2A(I )求A的度数；(n)若 BC 7,AC 5,求 ABC的面积S18 .(本小题满分12分)某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为0.6、0.4、0.5、0.2.已知各轮问题能否正确回答互不影响.(I )求该选手被淘汰的概率；(n )记该选手在选拔中回答问题的个数为E ,求E的分布列与数学期望19 .(本小题满分12分)如图，在直三棱柱 ABC ABC 中，BAC 90o , AB=AC=a, AA1

8、b,11b点 E,F 分力ij在梭 BB , CC1 上，且 BE -BBi , CiF - CCi .设 一 . 33a(I )当 =3时，求异面直线 AE与A F所成角的大小；(II)当平面 AEFL平面AEF时，求 的值.20 .(本小题满分12分)已知 f (x) xln x ax, g(x)x2 2,(I)对一切x (0,), f (x) g(x)恒成立，求实数 a的取值范围；(n)当a 1时，求函数f(x)在m,m 3(m 0)上的最小值. 2221 .(本小题满分12分)已知椭圆M : 1(a 0)的一个焦点为F ( 1,0),左右顶点分a23别为A, B.经过点F的直线l与椭圆

9、M交于C , D两点.(I)求椭圆方程；(n)记 ABD与 ABC的面积分别为S1和S2,求1sl S2 |的最大值.(本小题满分 10)请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。22.选彳4-1 :几何证明选讲(本小题满分 10分)如图，P是。外一点，PA是切线，A为切点，割线 PBC。相交于点B, C, PC= 2PA D为PC的中点，AD的延长线交。O于点E,证明:(I) BEC；(n) AD- DE= 2P国22题图23.坐标系与参数方程(本小题满分10分)x=/5cos()()为参数

10、).以在直角坐标系xOy中，已知点P(0, V3)，曲线C的参数方程为y = q15sin ()原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l的极坐标方程为 (I)判断点P与直线l的位置关系，说明理由；(n)设直线l与曲线C的两个交点为 A、B,求|PA| |PB|的值.24选彳45:不等式选讲(本小题满分 10分)a，2 a.3设不等式|x 2| a(a N)的解集为A,且(I)求a的值；(n)求函数f(x) |x a| |x 2|的最小值.全国卷理科数学模拟试题一参考答案1、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1-5DCCDB6-10BCDCD11-12DA2、 填空题

11、：本大题共 4小题，每小题5分，共20分.1313万元 正相关1418种15 6 16 4三、解答题：本大题共 6小题，共70分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程 17.解：(I) 2sin2(B C) 73sin2A.2sin 2 A 273 sin Acos A , .2分Q sin A 0, sin A 73cos A, tan A 73, .4分0 A , A 60° .6分(n)在 ABC 中，BC2 AB2 AC2 2AB AC cos60 , BC 7,AC 5,.10分49 AB2 25 5AB, AB2 5AB 24 0, AB 8或 AB 3(舍)，1 1.

12、3S ABC -AB AC sin60 - 5 8 1043. .12分2 2218.解：记“该选手能正确回答第i轮的问题”为事件A (i=1, 2, 3, 4)则 P (A) =0.6 , P (4)=0.4 , P (A3)=0.5 , P (A4)=0.2(I )该选手被淘汰的概率：P=P ( A1 +Ai A2 +A1A2 A3 +AA2A3 A4 )=P ( A1 ) +P (A) P ( A2 ) +P (A) P (A2) P ( A3 ) +P (A) P (AO P (内)P ( =0.4+0.6 X0.6+0.6 X 0.4 X 0.5+0.6 X 0.4 X 0.5 X

13、0.8=0.976 5 分(II ) =1,2,3,4 6 分P( =1)=P( A )=0.4 7 分P( =2)=P (A1A2) =P (A) P( A2 ) =0.6 X 0.6=0.36 8 分P( =3)=P (A1A2A3) =P (A) P (AO P( A3) =0.6X0.4X0.5=0.129 分P( =4)=P (A1A2A) =P (A1) P (AO P (A3) =0.6X0.4X0.5=0.1210分因此的分布列为的数学期望 E =1X0.4+2X0.36+3X0.12+4X0.12=1.9612分19.(本小题满分12分)解：建立如图所示的空间直角坐标系A x

14、yz .(I)设 a=1,则 ABAG1, aa 3,各点的坐标为 A(0,0,0) , E(1,0,1),A1 (0,0,3) , F (0,1,2).uuuuiuAE (1,0,1), A1F(0,1, 1).uurAEuuurAF 夜,uiir iuuuAE A1F1,uu iurC0S；AE,A1FuurAEuuuAF(第19题图)unit uiujAEl A1F 72 贬1234P0.4).360.120.12uur 一 uuuu .向量AE和AF所成的角为120°,.异面直线 AE与AF所成角为60°.5分(D)E(a,0, b),32b uurF(0,a,)，

15、.二 AE3b uur 2b(a,0,-),AF (0,a,) .33设平面 AEF的法向量为n1(x,y,z),uuruur则 g AE 0 ,且 n1 AF令 z 1 ,则 x , y 3abz2bz 00 .即 ax 0 ,且 ay 0 .332b一.3a2b八/ ,1)=( 3a2-,1)是平面3AEF的一个法向量.同理n2普导尸白弓,)是平面AEF的一个法向量 .平面AEF，平面AEF ,22-22， n1 n20 . . - 19912分，当平面AEF，平面AEF时,20解：(I)对一切X (0,),f (x) g(x)恒成立,即 xlnx axx2 2恒成立.也就是a ln x

16、x(Q )恒成立.令 F (x) ln x x2,则F x(x)- x2 x2 x 222x x(x 2)(x 1)2,x在(0,1)上 F (x) 0,在(1,)世F(x)0,因此，F(x)在x 1处取极小值，也是最小值，即 Fmx)(mx) F(1) 3,所以 a 3.(n)当 a 1时，f (x) xln xx,f (x)1ln x 2 ,由 f (x) 0 得 x2-.e当01 . ._11 一 “-2时，在 x m, -2) Jt f (x) 0 ,在 x (-2, m 3 Jt因此,1 .f(x)在x 处取得极小值，也是最小值, e1、f (x) min f (-2) ef (x)

17、 0当m时，f(x) e0 ,因此 f (x)在m,m3上单调递增，所以fx min m 1 ln m。min1 m e121 ( I )解:m 1 ln m , m e因为F( 1,0)为椭圆的焦点，所以c1,又 b2 3,22所以a24,所以椭圆方程为E 143(n)当直线l无斜率时，直线方程为x 1,一,33此时 D( 1,3),C( 1, 3),22当直线l斜率存在(显然kABD, ABC面积相等，|S S2| 00)时，设直线方程为y k(x 1)(k 0),2 x和椭圆方程联立得到7y2 工3k(x设 C(x1,y1), D(x2, y2)1 o o oo1,消掉 y 得(3 4k

18、2)x2 8k2x 4k2 12 0 1显然0,方程有根，且 x1 x28k23 4k2,XiX24k2 123 4 k2此时 |S S211211y2| |y11121y2 yi | 21k风 1) k(Xi 1)|21k(x2 x1) 2k|12|k|3 4k211分因为k 0,上式(k所以IS S2|的最大值为召12分Y3时等号成立)222. ( I )证明：(1)连接AEB AC由题设知P/A= PD,故/ PAD= / PDA因为/ PDA= / DACF / DCA/ PAD= / BADF / PAB/ DCA= / PAB所以/ DAC= / BAD 从而 BEE= EC因止匕BE= EC(n )由切割线定理得 PA= PB- PC因为 PA= PD= DC 所以 DC= 2PB BD= PB由相交弦定理得 AD DE= BD-DC所以AD- DE= 2P氏23 ( I )解：(1)直线 l : 2 p cos(。一2)=杂,即 y3 p cos 0 + p sin 0=/3,，直线l的直角坐标方程为 V3x + y=/3,点P(0,用在直线l上(n )直线