数学核心题——不等式

1、数学核心题不等式学校:姓名：班级：考号：一、单选题1. 不等式兀2-%-6< 0的解集为()a(-雳) 比c. (-3,2) d. (-2,3)2. 若函数/(%) = vl - mx - mx2的定义域为r,则实数m的取值范围为()a. 4,0 b. 4,0)c. (4,0)d. (8,4 u 03. 设a,b,cer,且a>b,则下列不等式成立的是()a. ac > be b. - < - c. a2 > b2 d a + c > b + c a b4. 不等式彗>0的解集是x+3a. (一, +8) b(4, +oo) c(-8， 3) u (4

2、, +8) d. (一8, 3) u (一, +oo) 2 25. 已知a, b为非零实数，且a<b,则下列不等式一定成立的是()a. a2 < b2 b. 7 < - c. - > 1 d. a3 < b3 b aa6. 己知% > 1,则函数丁 =兀+古的最小值是a. 1 b. 2 c. 3 d. 47. 设a,b,cr,且a>b,则下列不等式成立的是()a. ac > be b. - < 7 a bc. a2 > b2 d. a + c > b + c&如果avbvo,那么下列不等式成立的是a. < b. c

3、ib v z?2 c. ctb v a2 d. “ v £a ba b9.若0 vav 1,则不等式(%-a)(x-i) > 0的解集是()a. xa < x <- b. x|- < % < akajk ajc. (xx < a或x > d. xx < 牛或x > a) 10.若不等式妒+ ax + 1 > 0对任意x g r恒成立，则实数a的取值范围是()a. 2,4-oo) b. (oo, 2 c. 2,2 d. (co, 2 u 2,+8)2x + 3y < 611. 已知% -y > 0 ,贝ijz =

4、3x-y的最大值为（）y > 01 2a. 9 b. 0 c. d. -912. 若尢> 2,则x + -的最小值为（）x-2a. 2 b. 4 c. 6 d. 813. 下列命题中正确的是（）a. a > b r c>da c>b d> £ c. ac2 > be2 => a > b d. ac v be => a v bx - y > 014. 若实数兀，y满足 x<2 ,则目标函数z = y + l的最大值是（）y > 0a. 2 b. 3 c. 4 d. 5（x + y 7 < 0,15. 设

5、俎y满足约束条件* - 3y + 1 < 0,则z = 2x - y的最大值为- y - 5 n 0,a. 10b.8 c. 3 d. 2尢 + y 3 s 016. 若变量%,y满足约束条件%-y + l>0,贝ijz = 2x-y的最大值为（）y>ia. 1 b. 5c. 3 d. 417. 设a>0,b>0.若苗是3。与萨的等比中项，则十+牛的最小值为（）1a. 3 b. 4 c. 1 d.-418. 已知a,b w r,且a < b,则下列不等式一定成立的是（）a. a? b? v 0 b. 2a 2“ vo c.>0 d. cosa cosb

6、 < 0a b19下列说法正确的是（）a. x +丄的最小值为2b. sinx + 的最小值为4, % g （0,7t）c. %2 + 1的最小值为2xd. 4x（1 一 ）的最大值为120.已知一1vqv0,那么一a,-a3fa2的大小关系是（）a. a2 > a3 > a b. -a > a2 > a3 c. -a3 > -a > a2 d. a2 > a > a?21.给出以下四个命题：（）若 a>b,则-若 ac2>bc2,则 a>b；若 a>|b|,则 a>b；若 a>b,则 a2>b2.

7、a b其中正确的是（）a. b. c. d.22. 已知a,b 6 r，且p =号,q =尸尹，贝1护，q的关系是（）a. p > q b. p > q c. p <q 0. p <q23. 已知不等式ax? + 5无+ b > 0的解集是x|2 < % < 3,则不等式- 5x + a > 0的解集 是（）a. %|-|<x<-| b. x|x<-|>-|)c. xx < -3 或x > -2 d. x|-3 < x < -224. 已知% > 0, y > 0,若扌+ *=1,则x

8、+ 4y的最小值为()a. 3 b. 4 c. 8 d. 925. 已知a, /?满足；寿:;贝临+ 30的取值范围是()a. 1,7 b. -5,13 c. -5,7 d. 1,1326.己知七y满足约束条件x + 2y < 7,x - y < 0,且不等式max? - xy + ay2 > 0恒成立，则实数a的x >1,取值范围为（）a.民+8) b.£+8) c.1.1725jd店+002 -127.已知兀>0, y>0,比+厂i，若x + 2y > m恒成立，则实数m的取值范围是（）a. (co, 6) b. (8,6c. (8,8

9、d. (8,8)'2x + y + 2 2 028.己知实数尢，y满足不等式x - 2y + 1 > 0 ,若z = x + y的最大值为5,则实数m 4x - my - 6 < 0()a. 1 b. 2 c. 3 d. 429.下列命题中正确的是（）a. y = x + -的最小值是2b. y = 2-3x-（x>0）的最大值是2 4苗c. y = sin2尢+為的最小值是4atd. y = 2-3x-(x< 0)的最小值是2 4並x30-下列不等式一定成立的是（）a. %2 + - > x（x > 0） b %2 + 1 > 21x1（%

10、6 r） 4c. sinx +> 2（% 工 kn, /c g z） d. > 1（% g r）sinxx2 + l31. 设a>0, b>0,则下列不等式中不恒成立的是（）.a. a + * n 2 b. a? + 护 n 2（q + b - 1）c. yja b >ya yb d. a3 -i- b3 > lab232. 已知a >b>c,下列不等关系一定成立的是（）a. ac b2 > ab + beb. ab + be > b2 + acc. ac + be > c? + abd. a2 + be > b2 + a

11、b33已知实数a,b,c满足a<b且c h 0,则下列不等式一定成立的是（）a. > b. a? v b? c. etc v be d. a bcix + 2y s 234. 若变量x, y满足约朿条件% + y >0 ,贝'jz = 2% 4- 3y的最大值为（）.x <4a. 10 b. 8 c. 5 d. 235. 若非零实数a, b, c满足a> b > c,则一定成立的不等式是（）a. ac > be b. ab > ac c. a - c > b c d.牛 v 半 v g36. 若m 4- n > 0,则关于尢的

12、不等式（m - x）（n + %） > 0的解集是（）a. xn<x<mb. xx < njx > mc. x m < x < nd. xx < -mx > n37. 已知尢>0,y>0.若乎+ ¥>尬2 + 2尬恒成立，则实数m的取值范围是a. m > 4 cm < 2 b. m > 2 或m < 4 c. 2 < m < 4 d. 4 < m < 238. 若集合a=x|ax2-ax + l<0 = </>,则实数a的収值范围为（）a. （0,

13、5） b. -1,2 c. 0,6 d. 0,439. 已知a + 2b = 4,则2。+护的最小值为（）a. 16 b. 8c.4 d. 22% + y < 40x +g | 50 ,则z = 5% + 2y的最大值是（）y >0a. 50 b. 60 c. 70 d. 9041若x>0,贝吆+细勺最小值为()xa. 2 b. 3 c. 2返d.442. 设a>0,b>0,若逅是4。与/的等比屮项，贝lj-4-i的最小值为()a ba. 2v2b.8 c. 9 d. 1043. 已知afber.且p=嘗，q =户尹，则p，q的关系是()k. p>q b.

14、p > q c. p <q d. pvq44. 已知% > 0, y > 0, % 4- 3y + xy = 9,则x + 3y的最小值为()a. 8 b. 6c.4 d. 245. 若等边z14bc的边长为3, n为朋的中点，且力b上一点m满足：cm = xca + ycbx >0,y>0),则当-4-i取得最小值时，cm cn =()丿 丿x ya. b. 6 c. d.442(x + y2s046. x、y满足约束条件x-2y-2<0,若乙=y - ax取得最大值的最优解不唯一，则实数(2x - y + 2 > 0a的值为()a.-或一 1

15、b. 2 或z c. 2 或 1 d. 2 或一 12 247. 不等式2/c* + /ex - | < 0对任何实数兀恒成立，贝lj/c的取值范围是8a. (- 3, 0 )b. (- 3, 0c. - 3, 0 )d. - 3, 048. 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用人原料3吨，b原料2吨，生产 每吨乙产品要用4原料1吨，b原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙 产品可获得利润3万元.若该企业在一个生产周期内消耗力原料不超过13吨，b原料不超过 18吨，该企业一个生产周期可获得的最大利润是(单位：万元)a. 12 b. 20 c. 27 d. 304

16、9. 若ax? + bx + c v 0的解集为尢|兀< -1或x > 3,则对于函数/'(无)=ex2 + bx + a应有 ()a. f(5) < f(0) < /(-l)b. f(5) < f(-l) < f(0)c. /(-i) < f(0) < f(5)d. f(0) < /(-l) < f(5)% 1 > 050.实数x,y满足x + y - 1 > 0 ,贝ijz = 2x -y的取值范围是() % - y 4-1 > 0a. 0,2 b0,+8) c. -1,2 d. (-8,0参考答案1.

17、d【解析】分析：直接利用一元二次不等式的解法即可.详解：解方程送-% - 6 = 0,得帀=3,x2 = -2,不等式x2 - x-6 < 0的解集为（一2,3）.故选：d.点睛：本题考查一元二次不等式的解法，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答.2. a【解析】分析：因为定义域是r，所以1 - mx 一 mx2 > 0对一切实数恒成立，分m = 0,m < 0两种情况讨论即可.详解：对任意的尤6 /?,有1 - mx - mx2 > 0恒成立,所以m = 01或v駕翘o'故一仁2 0,故选a.点睛：含参数的一元二次不等式的恒成立，需要分清是否是r上恒成立，如果

18、是，在确定是一元二次不等式的条件下直接应用判别式来考虑，如果在其他范围上的恒成立，则可以转化 为函数的最值或者采用参变分离的方法来求参数的取值范围.3. d【解析】分析：根据不等式的性质对四个选项分别进行分析、判断可得结论.详解：对于a,当c < 0时，不等式ac > be不成立，故a不正确.对于b,当a>0,b< 0吋，不等式不成立，故b不正确.a b对于c,当a = -lfb = 一2吋，不等式a2>b2不成立，故c不正确.对于d,根据不等式的可加性知不等式a + c>b + c成立，故d正确.故选d.点睛：判断关于不等式的命题真假的常用方法（1）直接运

19、用不等式的性质进行推理判断.（2）利用函数的单调性，利用指数函数、对数函数、幕函数的单调性等进行判断.（3）特殊值验证法，即给要判断的儿个式子屮涉及的变量取一些特殊值进行比较、判断.4. d【解析】分析：解分式不等式先移项将一侧化为0,通分整理，转化为乘法不等式。详解：竺2>oo（2x-l）0 + 3）>onxw （一 8, 一3丿 u 八，+8 丿，故选 d。x 32点睛：解分式不等式的解法要，先移项将一侧化为0 （本身一侧为0不需要移项），通分整理，转化为乘法不等式，但分母不能为05. d【解析】分析:根据不等式的性质或函数的性质对四个选项分别进行分析、排除后可得结论.详解：对

20、于a,当qvovb时不等式a2<b2不一定成立，故a不正确.对于b,当a vbv 0时，不等式右< 丄不成立，故b不正确.b a对于c,当a<o<b时不等式2 >1不成立，故c不正确.a对于d,根据函数y = x的单调性可得不等式a3<b3成立，故d正确.故选d.点睛：判断关于不等式的命题真假的常用方法（1）直接运用不等式的性质进行推理判断.（2）利用函数的单调性，利用指数函数、对数函数、幕函数的单调性等进行判断.（3）特殊值验证法，即给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值进行比较、判断.6. c【解析】分析：根据配凑法结合基木不等式求解即可.详解：由题

21、可知：x>l=>x 1>0,1 1y = % h = % 一 1r + 1 n 3% - 1x - 1当x=2时取得最小值，故最小值为3故选c.点睛：考查基本不等式求最值的简单应用，属于基础题.7. d【解析】分析：根据不等式的性质对四个选项分别进行分析、判断可得结论.详解：对于a,当c<0吋，不等式ac>bc不成立，故a不正确.对于b，当a > 0,b < 0时，不等式-< i不成立，故b不正确a b对于c,当a = -l,b = -2时，不等式a2 > b2不成立，故c不正确.对于d,根据不等式的可加性知不等式a + c>b +

22、c成立，故d正确.故选d.点睛：判断关于不等式的命题真假的常用方法（1）直接运用不等式的性质进行推理判断.（2）利用函数的单调性，利用指数函数、对数函数、幕函数的单调性等进行判断.（3）特殊值验证法，即给要判断的儿个式子屮涉及的变量取一些特殊值进行比较、判断.8. d【解析】分析：利用作差法比较实数大小即得解.详解：（ i） =a因为q v b v 0,所以q b v 0, db > 0.a b ab所以故答案为：d.a b点睛：（1）本题主要考查实数大小的比较，意在考查学生对该知识的常握水平.（2）比较实数 的大小，常用作差法和作商法，一般如果知道实数是正数，可以利用作商法，否则常用作

23、差 法.9. c【解析】分析：先根据a的范围确定a与丄的大小关系，然后根据不等式的解法直接求出不等式的解 a集.详解：v0<a<l,而卩=（% - a）（x - 是开口向上的二次函数，大于零的解集在两根z外a （% 一 a）（x 一 *）0的解集为x|x<a4tx>故选：c.点睛：（1）解-元二次不等式吋，当二次项系数为负吋要先化为正，再根据判别式符号判断 对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集.（2）解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论： 首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即判别式的符号进行

24、分类，最 后当根存在时，再根据根的大小进行分类.10. c【解析】分析：直接利用判别式不小于零列不等式求解即可.详解：因为不等式送+ 1 n 0对任意尢6 r恒成立，所以，j = a2-4<0,解得一2 > a > 2,即实数q的取值范围是-2,2,故选c.点睛：本题主要考查一元二次不等式恒成立问题，属于简单题.一元二次不等式在实数集上 恒成立问题，一定要注意二次项系数的符号.11. a【解析】分析：画出可行域，将z = 3x -y变形为y = 3x - z,平移直线y = 3x - z,由图 可知当直y = 3x-z经过点(3,0)吋，直线在y轴上的截距最小，从而可得z =

25、 3x - y的最大 值.f2x 4- 3y < 6画出约束条件 %-y > 0表示的可行域，如图， (y > 02% + 3y 6 = 0 (x = 3 由可得 ，y = 0(y = 0将z = 3% - y变形为y =- z,平移直线y = 3x - z, 由图可知当直y = 3x -z经过点(3,0)时， 直线在y轴上的截距最小， z = 3x -y有最大值，最大值为z = 3x3 + 0 = 9,故答案为9.,故选a. 点睛：本题主要考查线性规划屮，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数 最值的一般步骤是“一画、二移、三求”:（1）作出可行域（一定要注意是

26、实线还是虚线）;（2）找到目标函数对应的最优解対应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或 最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.12. c【解析】分析：令t = x 2, t>of则x + ±=r + f + 2,利用基本不等式可得结果.x-2t详解：令t = x - 2,贝吐> 0,x h =上 + ：+ 2»2 j t ： +2 = 6,当且仅当仁半，b|jt = 2,x = 4时，函数/（x）=x + 4;（x>2）的最小值为6,故选c.点睛：本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一

27、定要 正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定 是，其次耍看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证 等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用n或s时等号能 否同吋成立）.13c【解析】分析：根据不等式性质判断命题真假.详解：因为a > b, c>d=>a + c>b + d,所以a错；因为a> b, c > 0所以b错；c c因为ac2 > be2 => a> b,所以c对；因为ac < be, c > 0 => a <

28、b,所以 d 错；选c.点睛：本题考查不等式性质，考查简单推理能力.14. b【解析】分析：由约束条件作出可行域，y最大时z = y+l最大，由图可得目标函数取得最 大值的点，求111点的坐标，代入目标函数得结论.x y > 0详解：/y满足 %<2不等式组的平面区域，.y > 0如图所示,yaq.2)ix - y = 0,可得4（2,2）,x = 2由图可知，当y = 2时，zmax = 2 + 1 = 3,故选b.点睛：本题主要考查简单的线性规划求最值，意在考查对基础知识的掌握情况，属于简单题.15b（尢+y-7s0【解析】试题分析：作出约束条件x-3y+l<0的可

29、行域，如图，平移直线y = 2x-z,（3x y 5 > 0当直线y = 2x-z经过点4吋z有最大值，由；乂二仁耕得力（5,2）,将力（5,2）代入 z = 2x y得z = 2x5 2 = 8,即z = 2尢一 y的最大值为8,故选b.考点：1、可行域的画法；2、最优解的求法.【方法点晴】本题主要考查线性规划川利用可行域求目标函数的戢值，属简单题.求目标函 数最值的一般步骤是"一画、二移、三求：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）;（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或 最后通过的顶点就是最优解）;（3）将最优解坐标代入目标

30、函数求出最值.cei视频d16c【解析】分析：画出可行域，将z = 2x- y变形为y = 2x-z,平移直线y = 2x - z由图可 知当直y = 2x - z经过点力（2,1）时，直线在y轴上的截距最小z = 2x-y的最大，从而可得结 果.% + y 3 < 0详解：由约束条件卜-y + l>0得如图所示的三角形区域, y > 1x + y 3 = 0 （x = 2由可得 ，y = 1（y = 1,将z = 2x - y变形为y = 2x _ z,平移直线y = 2x-z,由图可知当直y = 2x - z经过点力（2,1）时，直线在y轴上的截距最小，z = 2x -y

31、最大，最大值为z = 2x2-l = 3,故选c.点睛：本题主要考查线性规划屮，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）;（2）找到冃标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.17. b【解析】分析：利用等比中项的定义即可得出q”的关系式，再利用基本不等式的性质，即 可求出其最小值.详解：由苗是3。与3方的等比中项知3a 3b = 3,/. 3a+b = 3,a + b = 1,ba.一 x = 4, a b记

32、 + 討 g + 9（a + b）= 2+# + fn2 + 2当且仅当a = b=时等号成立,乙* +执勺最小值为4,故选b. 点睛：本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题利用基本不等式求最值时，一定要 正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定 是，其次要看和或积是否为定值(和定积最大，积定和最小)；三相等是，最后一定要验证 等号能否成立(主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用n或s时等号能 否同时成立).18. b【解析】分析：利用不等式性质，指数函数的单调性，特值法逐一判断即可.详解：a, bgr,且a < b,/ bj (

33、a+b) (ab),若 a<0, b<0,则 a+b<0, a b>0, a2 - b2<0, a 不一定成立； 函数 尸2%在r上递增，且a v b, ：.2a < 2b,即2a-2b<0, b正确；若 a=2n, b=0,则 cos2n=cos0= 1, b 不一定成立；若a<0, b>0,则c不一定成立；a b若 a=0, b=2n,则 cos2tt=cos0=1 , d 不一定成立;故选：b.点睛：不等式的性质及其应用：(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判 断或反例说明常用的推理判断需要利用不等式的性质.(2)在判断一个关于

34、不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系 起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时 还要用到其他知识，比如对数函数，指数函数的性质等.19. d【解析】分析：利用均值判断，逐一排除不满足使用均值不等式的条件选项。详解：y = x +定义域尢工0,所以值域为(-oo,-2) u (2,+oo),所以无最小值。a错误y = sinx +上-> 4,当sinx = 2时取等号，而兀6 (0,兀)时sinx g 60,19故不能取等号，b错 sinxk /误y = %2 + 1的最小值为1, c错误。故选d。点睛：均值不等式a + b > 2vhf

35、成立的3个条件“一正、二定、三相等豐一正：a、b的范围要为正值二定：如果a、b为数，那么均值不等式两边a + b、2価本身就为定值。如果a、b为变量，那么均值不等式两边a+ b、2価为未知数，使用均值不等式后必须为一 个常数才算使用成功。三相等：验证均值不等式在给定的范围内能否满足収等号的条件。20. b【解析】分析：利用“作差法”和不等式的性质即可得出.详解：. 1 <a<0,l+a>(),()< a<l.- a - a2= - a (1+a) >0, a2 - ( - a3) =a2 (1+a) >0.：-a>a> - a3.故选：b.

36、点睛：本题考查了利用“作差法''比较两个数的大小和不等式的性质，属于基础题两个式子 比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关 系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.21. b【解析】分析：根据不等式的性质分别进行判断，注意结合特值法求解.详解：若a>0>b,->成立，错误；a b ac2 > be2,则a > b,正确； 若a > b成立，则a> b成立，正确； 若a = 0fb = -1, a > b成立，则a2 > b2不成立，错误，正确的命题为，故选b.点睛

37、：本题考查不等式的性质的应用，要求熟练掌握不等式性质成立的条件，同时注意运用 特值法判断，属于简单题.22. c【解析】 分析：因为p2- qj 年上w0,所以pq2,则pwq, 详解：因为a, bwr,且p二晋，所以p2丄込竺，q2丄竺，a2+b2 _2ab-a2-b224当月仅当a二b时取等成立, 所以 p2 - q2<0,即 p2q2,所以 pwq,故选：c.点睛：比较大小的常用方法(1) 作差法：一般步骤：作差；变形；定号；结论其屮关键是变形，常采用配方、因式分解、 有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式当两个式子都为正数时，有时也可以先平方 再作差.(2) 作商法：一般步骤：

38、作商；变形；判断商与1的大小；结论.(3) 函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性 得出大小关系.(4) 借助第三量比较法23. a【解析】分析：先根据不等式解集与对应方程根的关系求得a,b,再解一元二次不等式可得 解集.详解：因为不等式a %2 + 5x + b > 0的解集是x|2<x<3,所以a v 0,2,3为方程ax2 + 5咒 + b = 0 的根，即 2+3 二- ,2x3=-.e. a = 1, b = 6aa因为一6兀$ 5% 1 > 0,所以6送 + 5% + 1 v 0,即一丄 < x < ,23因此

39、选a.点睛：本题考查不等式解集与对应二次方程根的关系，考查基本求解能力.24. d【解析】分析：将- + -= 1代入x + 4y,展开后应用基本不等式即可x y丿详解：>(), y > 0, - + - = 1,丿x y% 4- 4y = (x + 4y) - + - = 1+ - + 4-4> 2v4 + 5 = 9x y) y x故选d点睛：本题主耍考査了利用基本不等式求函数的最值，属于基础题，变形尢+ 4y = (x + 4y) g + 牛)是解题的关键，掌握本题中t”的运用。25. a【解析】分析：该问题是已知不等关系求范i詞的问题，可以用待定系数法来解决.详解：设

40、 a+3p=x (a+p) +v (a+20)=(x+v) a+ (x+2v) p.比较a、卩的系数，得；：；亘3，从而解出九=-1, v=2.分别由、得-a-pl, 2w2a+4|3w6,两式相加,得1 wa+3|3w7.故(x+3卩的取值范围是1, 7.故选：a点睛：本题考查待定系数法，考查不等式的基本性质，属于基础题.26. a【解析】分析：首先由不等式组确定可行域，然后结合不等式的特征和恒成立的结论整理计 算即可求得最终结果.详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，可行域内的点恒满足16x2+y2 >0,则不等式16a* xy + ay2 > 0即a >花釜贾恒成立

41、，y即令r = z可知：a > 成立，即an召恒成立.16+(2)x16+tt+t其中t = = 表示坐标原点与可行域内点连线的斜率，如图所示，在点a和点c处h标 x x-0函数取得最值，据此可知：t 6 13.结合对勾函数的性质可知，当t = 3时，t +学取得最小值，此时理，即宀収得最大值，tt+y16+t2最大值为:冷=詁结合恒成立的条件可知：实数a的取值范围为箱,+8).本题选择力选项.点睛：本题主要考查线性规划及其应用，恒成立问题的解法等知识，意在考查学生的转化能 力和计算求解能力.27. d【解析】分析：先根据基本不等式求x + 2y最小值，即得实数m的収值范围.详解：因为尢

42、+ 2y = （x + 2y）e +=4 +乎+ 了4 + 2乎< =8, 所以m < 8,选d.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式 中“正”（即条件要求屮字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等"等号取得的条 件）的条件才能应用，否则会出现错误.28. c【解析】分析：先画出可行域，然后改写目标函数，找出取得最大值的点，进行计算详解：如图：如图，联立：则 = 2y 1,代入z = x + y = 3y 1 = 5, y = 2-10th-8=2,故选c 点睛：本题主要考查的知识点是简单的线性规划问题，解题方法

43、：先画出直线方程，确定可 行域，然后改写冃标函数，转化为直线截距问题，最后算出点坐标，代入求出最值或者参量 的值。29. b【解析】分析：直接利用基本不等式成立的条件判断即可.详解：对于4尸y = % + -,当无>0时，y = % + - > 2,当xvo吋，y = % + - < -2,力错 尢xx误;对于b, v y = 2 3% - = 2 (3% + -y 在兀 > 0时，3% + - > 2 3x - = 4v3, 当且仅当3x=p即咒=畚时“三'成立，y的最小值是2-4v3, b正确；对于c, y = sin2% +4sin2x4 sin2x

44、=4,当月仅当sin2% =4sin2x?即sin2% = 2,sinx = ±v2时取“=sinx = ±v2不成立，c错误;对于 d, vy = 2-3x-i = 2 + (-3x-i),在 yo 时，-3x>0/->0/-3x - >j(-3x) (一?) = 4v3,当且仅当一3x = -p即尤=青时“=”成立，y的最小值是2 + 4v3, d错误,故选b.点睛：本题主耍考查利用基本不等式求最值，屈于难题.利用基本不等式求最值时，一定要 正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定 是，英次要看和或积是否为定值(

45、和定积最大，积定和最小)；三相等是，最后一定要验证 等号能否成立(主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或s时等号能 否同时成立).30. b【解析】分析：带特殊值进行验证，利用均值不等式的三个条件“一正、二定、三相等”进 行判断。详解:令% = |,% = 0排除a，do sin% e (-1,0) u (0,1)不满足均值不等式的条件排除c。故 选b。点睛：判断不等式成立，带特殊值进行验证，利用均值不等式、三角不等式，利用函数的性 质进行研究。31. d【解析】分析：根据基本不等式、作差法、分析法论证a,b,c正确，举反例得d错误.详解：a3 + b3 lab2 = (a b

46、)(a2 + ab b2),当耳< a < b有a? + b3 < 2ab2f故d项错误，其余恒成立：a +丄二2匸二= 2=>a + z2,a yj aaa2 4- b2 2(a + b 1) = (a l)2 + (b l)2 > 0 => a2 + b2 > 2(a + b 1), 当 a > b 时 |a - b a b + 2yfab >a-b-a b-= 0 n ja b| > yja vf,当a v b时 b| > 0 > vn vf,选d.点睛：本题考查根据基本不等式、作差法、分析法论证等知识点，考查推理论

47、证能力.32. b【解析】分析：根据不等式的性质逐一判断即可详解：对于力，若ac + b2>ab + bc,则ac - be > ab b2c(a - b) > b(a b),不成立对于 c,若 ac + bc> c2 + ab,则 ac - c2 > ab - bec(a - c) > b(a - c),不成立对于d,若a? + be > b? + ab,则a? - ab > b2 bea(a b) > b(b c),若a = 4/ b = 3, c = 1,不成立故选b点睛：本题考查了不等式关系，运用不等式的性质进行判断即可得出结果，当

48、然还可以用特 殊值代入会更容易判定，只要找出一组不符合即可排除。33. d【解析】分析：先根据co得到c2>0,即4>0,再结合avb,利用不等式的基本性质c2即可得到结果.详解：.c工0, ac2 > 0,即4> 0,c2又tavb,号v?故选d.c2 c2点睛：本小题主要考查不等关系与不等式应用、不等式的基本性质、实数的性质等基础知识, 考查运算求解能力，属于基础题.【解析】分析：先作可行域，再根据目标函数所表示得直线平行移动得最值取法.详解：作出可行域如图所示：作直线“：2x + 3y = 0,再作一组平行于b的直线2x + 3y = z,当直线2经过点4时， z

49、 = 2x + 3y得最大值，由兀；?；2得：所以点?!的坐标为(4,-1),所以 zmax = 2x4 + 3x( -1) = 5,故选 c.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想需耍注意的是：一，准确 无误地作出可行域；二，画li标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进 行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上 取得.【解析】分析：根据不等式性质判断，注意乘以一个正数、负数、零对不等号的影响是不同 的.详解：a. a > b, c不一定为正，错；b. 同a, a不一定为正，错；c. a > b =>

50、a - c > b - c正确；d. 反例：a = l, b = 1, c = 2,1 = - > 7 = 一 1 错误，a b选c.点睛：本题考查不等式性质，考查简单推理能力.36. a【解析】分析：根据抛物线y = (m- x)(n + %)开口向下，两零点分别为m, -n,结合 m + n > 0可得m > n,故而可得不等式的解.详解：*.*m + n > 0, am > n,又t抛物线y = (m-x)(n + x)开口向下，两零点分别为m, -n,不等式(7?i - x)(n + %) > 0的解集是仪| - n < x < m

51、),故选a.点睛：本题考查一元二次不等式的解法，数形结合的思想在解不等式中的应用，解题的关键 是得到两零点及其大小，是基础题.37. d【解析】分析：先利用基本不等式求得空+竺的最小值，然后根据 + ->m2 + 2)n恒成x yx y立，求得m2 + 2m <8/进而求得m的范|韦|详解： + ->2 / - = 2v16 = 8,当且仅当y = 2%时等号成立，% y 7 尢 y若4- > m2 4- 2m恒成立，则使8>m2 + 2m恒成立，x y.m2 4- 2m <8 / ,求得4 on <2故选：d.点睛：本题主要考查了基本不等式在最值问题

52、中的应用.考查了学生分析问题和解决问题的 能力，属于基础题.38. d【解析】分析：先等价转化为ax2 - ax + 1 > 0恒成立，再分析a = 0、a v 0、a > 0三种情 况的函数图像，位于x轴上方的满足题意，得出解集。详解：由集合a=x|ax2 - ax + 1 < 0 = 0,等价转化为a* - ax + 1 > 0恒成立。当a = 0吋，1二0恒成立，满足题意。当avo时，开口向下，ax2 - ax + 1 > 0恒成立，不可能成立。当a>0时，开口 向上，ax? 一 口咒 + 1 n o 恒成立，a<0=>a2-4a<0

53、a<4综上所述：a g 0,4 o故选d点睛：一元二次不等式a* + bx + c> 0含参问题，分四重分类讨论：1、对a值讨论,a>0,a = 0,a<02、对值讨论，a> 0, a= 0,aao对两根xx2的大小关系讨论x > x2,x1 = x2/x1 < x24、对两根x,x2与区间的位置关系进行讨论。39. b【解析】分析：先将2。+4®化简成2。+ 22。的形式，再利用基本不等式求最小值.详解：由题得201 + 4b=2a + 22b > 2v2a - 22b = 2>/2a+2b = 2炉=8.当且仅当a=2,b=l

54、时取等.所以2。+ 4"的最小值为8.故答案为：b.点睛：(1)本题主要考查基本不等式，意在考查学生对基本不等式的掌握水平.(2)利用基本不等式求最值吋，要注意“一正二定三相等”，三个条件缺一不可.40. d【解析】分析：先作可行域，根据图像确定目标函数所代表直线取最大值时得最优解. 详解:作可行域，根据图像知直线z = 5x + 2y过点a( 10,20)时z取最大值90,选d,点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想需耍注意的是：一，准确 无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进 行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的

55、最大或最小值会在可行域的端点或边界上 取得.41. d【解析】分析：利用均值不等式求最值，最后要验证等号成立条件.详解：v % > 0 x 4- - > 2 lx - - = 4,当且仅当x = -,x = 2时等号成立，所以% 4-的最小 xyj xxx值为4,选d.点睛：木题考查基木不等式在最值问题屮的应用，属于基础题.42. c【解析】分析：先根据匹是4。与甘的等比屮项得到a,b的关系2a + b = l,再利用常量代换求的最小值a b详解：因为返是4。与"的等比中项，所以2 = 4a2b = 22a2b = 22a+b,.2q + b = l, 所以-4-i=(-

56、 + |)(2a4-fe) = 5 + - + >5 4-2 = 9.a bb八za byj a b当且仅当a = b=寸时取等.故答案为：c.点睛：(1)本题主要考查等比中项的性质和基本不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水 平和基本的计算能力.(2)本题的解题关键是常量代换，即把彳+牛化成(| + i)(2a + b),再利 用基本不等式求函数的最小值.利用基本不等式求最值时，要注意“一正二定三相等”，三 个条件缺一不可.43. c【解析】分析：因为aq年上£0,所以p2q2,则pwq,详解：因为a, bgr,且p二甞,ja2+b2所以p2=a2+b2+2ab4a2+b2

57、_2ab-a2-b2 _24当且仅当a二b时取等成立，所以 p2 - q20,即 p'wq2,所以 pwq, 故选：c.点睛：比较大小的常用方法(1) 作差法：一般步骤：作差；变形；定号；结论其中关键是变形，常采用配方、因式分解、 有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方 再作差.(2) 作商法：一般步骤：作商；变形；判断商与1的大小；结论.(3) 函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性 得出大小关系.(4) 借助第三量比较法【解析】分析：利用均值不等式，尢+ 3y = 97yn9_£,解不等式即可。2详解：利用均值不等式，x + 3y = 9-xy>9 -1 (x+y) y令t = % + 3y,故it2-t + 9<0又因为t>0,解得t2 6,所以x + 3y的最小值为6。故选b6点睛：均值不等式a + b >成立的3个条件“一正、二定、三相等覽一正：a> b的范围要为正值二定：如果a、b为数，那么均值不等式两边a+ b、2価本身就为定值。如果a、b为变量，那么均值不等式两边a+ b、2価