勾股定理竞赛试卷(含解答)

1、八年级数学?勾股定理?竞赛试卷时间：120分钟，总分：120分一、选择题每题 5分，共25分、 ABC周长是24, M是AB的中点 MC=MA=5那么厶ABC的面积是A. 12; B . 16; C . 24; D . 302、如图，在正方形 ABCD中, N是CD的中点，M是AD上异于 D的点，且/ NMBM MBC贝U AM AB=A. 1; B .- ; C . - ; D .332D第2题图3、如图， 0是矩形ABCD内一点，且 0A=1 OB=3 OC=4,那么A.2; B.2, 2 ; C.2. 3 ; D.34、如图，P为正方形 ABCD内一点，PA=PB=10并且P点到CD边的

2、距离也等于10,那么，正方形 ABCD勺 面积是A. 200; B . 225; C . 256; D . 150+10 25、如图，矩形 ABCD中, AB=20, BC=1Q假设在 AB AC上各取一点 值为A. 12; B . 10 2 C . 16; D . 20二、填空题每题 5分，共25分6、如图， ABC中，AB=AC=2 BC边上有10个不同的点 R,F2,2M1 M 2M 10 =N M,使得BM+MN勺值最小，这个最小Mi APi2 RB RC i = 1 ,2 , ,10 ,7、如图，设/ MPN=20 , A为0M上一点，OA=V3 , D为ON上一点，0D=&

3、/3 , C为AM上任一点，B是0D上任意一点，那么折线 ABCD勺长最小为。第7题图8、 如图，四边形ABCD是直角梯形，且AB=BC=2AB PA=1, PB=2 PC=3,那么梯形 ABCD勺面积=9、 假设x + y = 12 ，那么乜4 Jy2 9的最小值=。10、一个直角三角形的边长都是整数，且周长的数值等于面积的数值，那么这个三角形的三边长分别为。三、解答题共70分11、此题10分如图 ABC三边长分别是 BC=17, CA=18, AB=19,过厶ABC内的点P向厶ABC三边分别作垂线 PD, PE, PF,且 BD+CE+AF=27 求 BD+BF勺长度。12、此题15分如图

4、，在 ABC中，AB=2, AC=/3 , / A=Z BCD=45，求BC的长及 BDC的面积。13、此题15分设a,b,c,d 都是正数。求证：a2 c2 d2 2cd. b2 c2.a2 b2 d2 2ad14、此题15分如图，四边形 ABCD中,/ ABC=135，/ BCD=120 , AB'6 , BC=53 , CD=6 求AD。15、此题15分如图，正方形ABCD内一点E, E到A、B C三点的距离之和的最小值为 、2 . 6，求此正方形的边长。答案一、选择题1. C2. A3. B4. C5. C解答：1 . MA=MB=MC=5 / ACB=90知周长是 24,那么

5、 AC+BC=14 AC2+BC2=102 , 2AC- BC=(AC+BCf-(AC 2+BC2 ) = 14 2-10 2 =4X 24- Sabc -AC BC 24 22. 如图，延长 MN交BC的延长线于 T,设MB的中点为 0,连丁0,那么厶BAMh TOB AM MB=OB BT M攻=2AM BT (1)令 DN=1 CT=MD=k 贝U AM=2 - k所以 BM= AB2 AM24 (2 k)224BT= 2 + k 代入(1) , 得 4 + (2- k ) 2 = 2 (2- k ) (2 + k ) 所以 k =321所以 AM AB= : 2 =-333. 如图，过

6、 O作EF丄AD于E,交BC于F;过 O作GHL DC于G,交AB于H设 CF=x, FB = y, AH = s, HB = x,所以 OG=x, DG = s所以 OF2 =OB2 - BF 2 =OC? -CF2即 4 2 - x 2 = 3 2 - y 2所以 x2- y 2 = 16 - 9 =7(1)同理有 O*=12 - s 2 = 3 2 - t 2所以 t 2 - s 2 = 3 2 - 1 2 = 8(2)又因为 OHf+HBOB2即 y2 + t 2 = 9(1) - (2)得(x 2 +s2) - (y 2 + t 2)=所以 OD2=x2 + s 2 = (y 2 +

7、 t 2)所以 0D=2._ 24. 如图，过 P作EF丄AB于E,交CD于F,贝U PF丄CD所以PF=PA=PB=10 E为AB中点设 PE = x，贝U AB=AD=10 + x1 1所以 AE=_AB=_(10 + x)2 2在 Rt PAE中, PA2 =PE2 +AE2所以 102 = x 2 + 1(10 + x )2 所以 x = 62所以正方形 ABCD面 积=AB2 =(10 + 6)2 = 2565. 如图，作B关于AC的对称点B',连A B',那么N点关于AC的对称点N'在A B'上,这时，B到M到N的最小值等于 Bt MR N'

8、的最小值，等于距离BH'，连B与A B'和DC的交点P,小1那么 S abp= X 20 x 10=100,2由对称知识，/ PAC=/ BAC=/ PCA所以 PA=PC 令 PA=x,贝U PC=x PD=20 - x ,2 2 2在 Rt ADP中，PA =PD +ADB到A B'的所以 x 2 = (20- x ) 2 + 10 2 所以 x = 12.51 '因为 S abp = _PA BH2所以 bh'=16PA 12.5、填空题1. 40;2. 12;424. 13;5. 6, 8, 10或 5, 12, 13解答：1 如图，作 AD丄

9、BC于 D,在 Rt ABD和 Rt ARD 中，AB2 =AD +BD2AR2 AD2 RD22 2 2 2 2所以 AB AR AD BD (AD RD)2 2BD RD(BD RD)(BD RD)PiC RB所以 AR2 RiC RiB AB24 所以 Mj 4所以 M1 M2M10401.如图，作A关于ON的对称点A', D关于OM的对称点D',连结 A'B, CD,那么 A' B=ABc' d=cd 从而 ab+bc+cd=aj+bc+cD> a'd因为/ A'ON=/ MONK MOD=20°，所以/ A

10、9;OD=60又因为 oA=oa=/3 , oD=od=&/3 ,所以OD=2OA即厶oDa'为直角三角形，且/ oAd=90°所以 a'd'= OD'2 OA'2(8 3)2 (4.3)2 12所以，折线 ABCD的长的最小值是12设AB=m, RM = x, RN = y，那么2 x2y4(1)2 x(my)2 1(2)(mx)2y2 9(3)由(2 )、(3 )分别得,2 x2 m2my2y1(3)2y2 m2mx2 x9(43. 如图，作 RML AB于 M, RN1BC于 N,将1代入4得m2 2mym232m将1代入5得m2

11、 2mxm2 52m把x,y的表达式分别代入1m410m217 0因为m2 >0 所以m2 =5+2 2Ir'I，*1I，所以 AB=m 5 2 . 2, BC 52,2 , AD 、52 221 15 3c所以 Sabcd -(AD BC) AB22 4 24. 如图,AB=12,AC=2 BD=3,且AB丄 AC,AB丄 BD,P 在 AB上且 PA=x,PB=y,连 PCPD,在 Rt CAP和 Rt DBP中PC.AC2 PA2x2 4,PDBD2 PB2y2 9如图，P点在Po位置时，PC+PD勺值最小，为线段 CD的长度，而CD= (2 3)2 12213所以x24

12、y29的最小值为13。5.设三边长为a,b,c ,其中c是斜边,那么有b2c2(1)詈(2)因为所以1)得 a2 b2(越2所以 ab - 4a - 4b + 8 = 08bb - 4 = 1b = 5 , 6 ,代入abz 0所以所以a = 12 , 8, 6,(a,b为正整数)4,2 , 4 , 8 ,8 , 12;5；a b)2即 ab(ab 4a 4b 8)04c = 13 , 10, 10, 13,所以，三边长为 6, 8 , 10或5 , 12 , 13 、解答题1.如图，连结 PA,PB, PC,设 BD=x CE=y, AF=z, 贝U DC=17-x, EA=18 y ,FB

13、 = 19- z在 Rt PBD和 Rt PFB 中,PD22 2(19 z) PF同理有:y2 PE2(17 x)2z2 PF2(18 y)2PD2PE2将以上三式相加，得 x2z2(17x)2(18 y)2(19 z)2即 17x + 18y 又因为x + y 所以 所以2.如图，+ 19z = 487 + z = 27,-1, = x + (19E,x = zBD + BF =作CE! AB于那么 CE=AEAC262所以 BE=AB-AE=2 -1 + 19又 BC2 CE2 BE2所以 BC= CE2 BE27 2、6再过D作DF丄BC,交CB延长线于F,并设 DF=CF=x贝U B

14、F= x - BC = x + 1 -.6又 Rt DFB Rt CEB所以DF:BF=CE BE,即(x + 1 -6) =64 62所以x =所以S BCD1 BC DF2(6 1)3 2.622.如图，构造一个边长为(a + b) 、(c + d)的矩形ABCD在 Rt ABE中, BE= .AE2AB2所以 BE= a2 (c d)2a2 c2 d2 2cd在 Rt BCF中,BF= BC2 CF2b)2d2a2 b2 d2 2ab在 R t DEF 中，EF=,DE2 DF2. b2 c2心 BEF 中，BE+EF>BF即.a2 c2 d2 2cd , b2 c2.a2 b2

15、d2 2ab3.如图，过 A作 AE/ BC交 CD于 E,那么/ 1=45 过B作BF丄AE于F,作CGL AE于G,那么Rt ABF为等腰直角三角形，BCFG为矩形，又因为 AB= _ 6，BC=5- 3，/ 2=60°,2所以 BF=AF= AB= 3，所以 CG=BF= 3， 2所以CE=CG=2 EG丄.3. 3CG=1所以 AE=AF+FG+GE=AF+BC+GE=6DE=CD-EC=6-2=4过D作DM丄AE延长线于M/ MED=180 - / AED=180 - / BCD=180 -120 ° =60所以 EM=1 DE=2, DMDE=2 32 2在 R