函数极值与最值实用教案

1、1定义(dngy)极大值(或极小值), 函数(hnsh)的极大值与极小值统称为极值(j zh).极值点.极小值(minimal value)极大值(maximal value)一、函数的极值及其求法1. 函数极值的定义使函数取得极值的点x0(自变量)称为第1页/共26页第一页，共27页。21x2x3x4x5x6x 函数(hnsh)的极大值、极小值 是局部性的. 在一个(y )区间内,函数(hnsh)可能存在许多个极值,最大值与最小值,有的极小值可能大于某个极大值.只是一点附近的 xyOab 第2页/共26页第二页，共27页。3定理(dngl)1(必要条件)注如,(1)的的叫做函数叫做函数为零的

2、点为零的点使导数使导数)()(xfxf 驻点.可导函数(hnsh)的极值点驻点却不一定(ydng)是极值点.但函数的2. 极值的必要条件必是驻点,费马引理如果函数可导,处取得极值,那么极值,xyO 第3页/共26页第三页，共27页。4xyO32xy 极值点也可能是导数(do sh)不存在的点.如,但 怎样从驻点中与导数不存在(cnzi)的点判断一点单减的分界点,(2)不可(bk)导.是极小值点.是不是极值点若 x0 是连续函数 f(x) 单增、则 x0必为极值点.几何上, 第4页/共26页第四页，共27页。5定理2(第一(dy)充分条件)则为极大值)(0 xf则不是(b shi)极值.(极小值

3、);极值的一阶充分条件3. 极值(j zh)的充分条件xyO0 x xyO0 x 第5页/共26页第五页，共27页。60 x0 x一般求极值(j zh)的步骤求导数(do sh); 求驻点(zh din)与不可导点;求相应区间的导数符号,判别增减性;求极值.(1)(2)(3)(4)不是极值点 xyOxyO第6页/共26页第六页，共27页。7例解(1)(2)驻点(zh din):导数(do sh)不存在的点:(3)列表.求相应区间的导数(do sh)符号,判别增减性,确定极值点和极值.第7页/共26页第七页，共27页。8非极值(j zh)极小值不存在(cnzi)极大值驻点(zh din):导数不

4、存在的点: )(xf312)1(3)711()1( xxx单调增加区间:单调减少区间:第8页/共26页第八页，共27页。9定理3(第二(d r)充分条件)极大值(极小值).),0( 极值的二阶充分条件 对于驻点,有时还可以利用函数在该点处的二阶导数的正负号来判断极值点.第9页/共26页第九页，共27页。10例解因为(yn wi),第10页/共26页第十页，共27页。11注仍用第一(dy)充分条件定理3(第二(d r)充分条件)不能应用(yngyng).事实上,可能有极大值,也可能有极小值,也可能没有极值.如,分别属于上述三种情况.第11页/共26页第十一页，共27页。12例解所以(suy),第

5、一(dy)充分条件xyO12第12页/共26页第十二页，共27页。13充分条件来判定(pndng)有无极值;对于只有驻点而没有导数(do sh)不存在的点,可用第二充分条件判断有无(yu w)极值. 运用第一、第二充分条件需要注意:若函数有导数不存在的点时,则可用第一(1)(2)则第13页/共26页第十三页，共27页。14baabab二、最大值最小值问题(wnt)1.最值的求法xyOxyOxyO第14页/共26页第十四页，共27页。15(1)其中(qzhng)最大(小)者 求连续函数 f (x)在闭区间(q jin)a, b上的最大(小)值的方法:将闭区间a, b内所有驻点(zh din)和导

6、数不存在的区间端点的就是 f (x)最值必在端(2)点处达到.点(即为极值嫌疑点)处的函数值和函数值 f (a), f (b)比较,在闭区间a, b上的最大(小)值. 当 f (x)在闭区间a, b上单调时,第15页/共26页第十五页，共27页。16例解因驻点(zh din):导数(do sh)不存在的点:第16页/共26页第十六页，共27页。17仅需计算(j sun):比较(bjio)得:因是偶函数,最大值为最小值为122 21 21驻点(zh din):导数不存在的点:xyO第17页/共26页第十七页，共27页。18解驻点(zh din):导数(do sh)不存在的点:最大值最小值最大值与

7、最小值.第18页/共26页第十八页，共27页。19(3) 对实际问题常常可事先(shxin)断定最大(小)值必在区间内部(nib)取得,如果(rgu)连续函数在区间内又仅有一个极值嫌疑点,那末这点处的函数值就是最大(小)值.实际问题求最值应注意(1) 建立目标函数;(2) 求最值;若目标函数只有唯一驻点,则该点的函数值即为所求的最大(小)值.第19页/共26页第十九页，共27页。20Ozyx例解 目标(mbio)函数得h2hrR2. 应用(yngyng)举例(1)(2)求最大值点半径(bnjng)为R.求内接于球的圆柱体的最大体积,设球的设圆柱体的高为2h,底半径为r,体积为V,第20页/共2

8、6页第二十页，共27页。21 圆柱体的最大体积(tj)一定存在,故唯一(wi y)驻点 就是(jish)最大值点, 最大体积为令得(舍去负值)唯一驻点)3(222hRVh 第21页/共26页第二十一页，共27页。22例敌人乘汽车从河的北岸A处以1公里/分的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸B处向正东追击，速度为2公里/分问我军摩托车何时射击最好（相距(xingj)最近射击最好）？北南西东解建立敌我相距函数(hnsh)关系敌我相距(xingj)函数(1)公里公里5.0公里公里4 AB )(ts第22页/共26页第二十二页，共27页。23得唯一(wi y)驻点北南西东公里公里5.0公里公里4

9、 AB )(ts第23页/共26页第二十三页，共27页。24例某房地产公司(n s)有50套公寓要出租,当租金定为每月720元时,公寓会全部租出去.当租金每月增加40元时,就有一套公寓租不出去,而租出去的房子每月需花费80元的整修维护费.试问房租定为多少可获得最大收入?解设房租为每月 元，x租出去的房子(fng zi)有 每月总收入为套第24页/共26页第二十四页，共27页。25（唯一(wi y)驻点）)(xL)80( x 4072050 x故每月每套租金(zjn)为1400元时收入最高.最大收入(shur)为第25页/共26页第二十五页，共27页。26感谢您的观看(gunkn)！第26页/共26页第二十六页，共27页。NoImage内容(nirng)总结1。极值点也可能是导数不存在的点.。若 x0 是连续函数 f(x) 单增、。列表.求相应区间的导数符号,判别增减性,。确定极值点和极值.。对于驻点