西北师范大学数学与应用数学专业

1、西北师范大学数学与应用数学专业专业选修课程教学大纲数学史一、说明（一） 课程性质数学史是数学与应用数学专业数学教育方向的一门限选课，是学生全面了解数学发展全貌的一门重要课程。通过生动、丰富的事例，可以让学生了解数学发展过程中若干重要事件、重要人物及重要成果，了解数学概念、数学方法、数学思想的起源与发展，及其与社会政治、经济和一般文化发展的联系，体会数学对人类文明发展的作用，促进学生学习数学的兴趣，加深对数学本质的理解，感受数学家的严谨态度和锲而不舍的探索精神。数学史与专业核心课、专业必修课以及与数学教育方向的限选课有着十分紧密的关系，是从宏观上对上述课程内容中的若干重要数学事实从历史的角度进行

2、概述，即可以深化学过的课程，又可以为后继课程的学习做恰当的铺垫，对深化学生学业水平，提高数学素养有着十分重要的作用。（二）教学目的通过本课程的学习，可以使学生深刻认识作为科学的数学本身，还可以使学生全面了解人类文明的发展，特别是了解数学发展在人类文明史上的特殊地位。通过本课程的学习，可以丰富学生数学史方面的知识，增长数学智慧。积累数学研究经验，掌握数学发展脉络，其最终目的就是为学生更好从事中学数学教育工作奠基坚实的基础。（三）教学内容本课程共14章，其中关于数学起源与早期发展的有1章（第1章）；介绍初等数学时期的有3章（第2、3、4章）；叙说近代数学兴起的有3章（第5、6、7章）；论述现代数学

3、发展的有5章（第8、9、10、11、12章）；最后两章带有专题性质。在实际授课时，可以根据学生的不同情况和不同要求进行适当增删、调整，以促使学生在课程学习中得到最大的发展。（四）教学时数本课程的教学总时数是50学时。（五）教学方式建议在教学过程中主要采用教师讲授与学生自学讨论相结合的方式；同时进行一定的探究性学习，以及学生阅读、动手实践、讲故事、讨论交流、查阅资料、撰写报告等方式进行。教师应鼓励学生对数学发展的历史轨迹、自己感兴趣的历史事件与人物，写出自己的研究报告。二、本文第一章 数学的起源与早期发展教学要点： 数与形概念的产生；河谷文明与早期数学（纸草书中记录的数学（古代埃及），泥板书中记

4、录的数学（两河流域）。教学时数： 2学时。教学内容： 第一节 数与形概念的产生（1学时）了解早期数与形概念产生的过程，知道数与形形成过程中所经历的一些重要事实。第二节 河谷文明与早期数学（1学时）了解古代埃及纸草书中和美索不达尼亚泥板书中记录的数学，理解他们之间的共同点，区分他们所记录数学之间的差异性。考核要求：（一）数与形概念的产生1识记：石子记数、结绳记数的含义。2领会：早期几何学产生的原由。（二） 河谷文明与早期数学1识记：纸草书中记录数学的特点。2领会：泥板书中记录的60进位制的含义。第二章 古希腊数学教学要点：论证数学的发端（泰勒斯与毕达哥拉斯，雅典时期的希腊数学）；黄金时代亚历山大

5、学派；亚历山大后期和希腊数学的衰落。教学时数：4学时教学内容：第一节 论证数学的发端（1学时）了解泰勒斯定理的证明过程，理解毕达哥拉斯证明勾股定理的原理以及不可公度问题；了解雅典时期的各种学派的学术观点和三大作图问题；体会希腊人早期对无限性探索的历程。第二节 黄金时代亚历山大学派（2学时）了解欧几里德与几何原本，演绎逻辑系统，第五公设问题，以及公理化思想对近代科学的深远影响；了解阿基米德的数学成就。第三节 亚历山大后期和希腊数学的衰落（1学时） 了解希腊数学衰落的过程；理解托勒密定理证明的基本思想。考核要求：（一） 论证数学的发端1识记：泰勒斯与毕达哥拉斯定理证明。2领会：不可公度问题的实质。

6、3分析：芝诺四大悖论。（二） 黄金时代亚历山大学派1识记：（1）几何原本中的五大公设与五大公理；（2）阿波罗尼奥斯的圆锥曲线。2领会：阿基米德的求积法。（三） 亚历山大后期和希腊数学的衰落1识记：（1）托勒密的数学成就；（2）丢番图算术中的不定方程。2领会：希腊数学衰落的原因。第三章 中世纪的中国数学教学要点：周髀算经与九章算术；从刘徽到祖冲之（ 刘徽的数学成就，祖冲之的数学成就，算经十书）；宋元数学。教学时数：4学时教学内容：第一节 周髀算经与九章算术（1学时）了解周髀算经与九章算术的主要内容；区别九章算术与几何原本的差异。第二节 从刘徽到祖冲之（2学时）了解刘徽、祖冲之及算经十书中的数学成

7、就；理解刘徽“割圆术”的本质含义；掌握祖冲之圆周率与推导几何图形体积的两条原理。第三节 宋元数学（1学时）了解贾宪三角与正负开方术；理解中国剩余定理的本质特征；掌握天元术与四元术的思想方法。考核要求：（一） 周髀算经与九章算术1识记：周髀算经与九章算术的要点。2领会：赵爽勾股定理的证明方法以及方程术、正负术、开方术、盈不足术的含义。（二） 从刘徽到祖冲之1识记：（1）刘徽的割圆术；（2）祖氏原理。2领会：（1）出入相补原理；（2）“物不知数”问题的实质。（三） 宋元数学1识记：（1）中国剩余定理；（2）内插法与垛积术。2领会：中国剩余定理的本质。3应用：能用中国剩余定理解决一些数学问题。第四章

8、 印度与阿拉伯数学教学要点：印度数学；阿拉伯数学。教学时数：4学时教学内容：第一节 印度数学（2学时）了解古代绳法经、“巴克沙手稿”与零号的内容；理解“悉檀多”时期的印度数学的特征；区分中国数学与印度数学的差异。第二节 阿拉伯数学（2学时）了解阿拉伯的代数、三角学、几何学的特点；理解阿拉伯数学中二次方程的求根方法；掌握阿拉伯数学家对第五公设的证明的思想。考核要求：（一） 印度数学1识记：印度数码与十进位制记数法。2领会：“悉檀多”时期四位杰出数学家的学术思想。（二） 阿拉伯数学1识记：花拉子米代数学中二次方程的求解方法。2领会：阿拉伯三角学的数学成就。第五章 解析几何的产生数与形的结合教学要点

9、：中世纪欧洲数学（代数学，三角学，计算技术与对数）；解析几何的产生。教学时数：4学时教学内容：第一节 中世纪欧洲数学（2学时）了解欧洲中世纪代数学、三角学的主要学术成就；理解对数发明的基本原理。第二节 解析几何的产生（2学时）了解解析几何产生的实际背景；理解解析几何的数形结合思想；掌握数形结合思想的本质。考核要求：（一）中世纪欧洲数学1识记：塔塔利亚的三次方程求解方法。2领会：三角球面公式及对数计算方法。（二） 解析几何的产生1识记：函数与曲线关系。2领会：笛卡尔方法论的意义。第六章 微积分的创立划时代的成就教学要点：半个世纪的酝酿；牛顿的“流数术”；莱布尼兹的微积分；牛顿与莱布尼兹。教学时数

10、：4学时教学内容：第一节 半个世纪的酝酿（1学时）了解17世纪上半叶开普勒与旋转体体积、卡瓦列里不可分量原理、笛卡儿圆法等数学家的数学成就；理解他们之间的本质联系与区别。第二节 牛顿的“流数术”（1学时）了解牛顿的“流数术”的初建与发展过程；理解牛顿微积分建立的基本思想；掌握其计算方法。第三节 莱布尼兹的微积分（1学时）了解特征三角形的含义；理解莱布尼兹分析微积分建立的思想。第四节 牛顿与莱布尼兹（1学时）了解牛顿与莱布尼兹的各项数学成就。考核要求：（一） 半个世纪的酝酿1识记：半个世纪酝酿的几个重要数学事件。2领会：卡瓦列里不可分量原理。（二） 牛顿的“流数术”1识记：牛顿的“流数术”的方法

11、特点。2领会：牛顿的“流数术”的基本原理。3应用：能用牛顿的“流数术”的基本原理解决一些数学问题。（三） 莱布尼兹的微积分1识记：莱布尼兹微积分的方法特点。2领会：莱布尼兹微积分的原理与处理问题的方法。（四） 牛顿与莱布尼兹1识记：牛顿与莱布尼兹微积分解决问题的特点。2领会：牛顿与莱布尼兹微积分的发展与应用。第七章 近代数学两巨星欧拉与高斯教学要点：欧拉的数学直觉；高斯时代的数学特点。教学时数：4学时教学内容：第一节 欧拉的数学直觉（2学时）了解欧拉主要的科学生涯及其贡献；理解欧拉变分法的基本思想；掌握欧拉在认识和处理数学问题上的一些方法技巧。第二节 高斯时代的数学特点（2学时）了解高斯时代的

12、数学特点；理解高斯同余理论的主要思想；掌握高斯的二次互反律。考核要求：（一） 欧拉的数学直觉1识记：欧拉的主要数学贡献。2领会：欧拉处理问题的思想方法。（二） 高斯时代的数学特点1识记：高斯时代数学的一些主要特点。2领会：高斯同余理论的实质。第八章 千古谜题伽罗瓦的解答教学要点：从阿贝尔到伽罗瓦；几何作图三大难题；近世代数的产生。教学时数： 4学时教学内容： 第一节 从阿贝尔到伽罗瓦（1学时）了解阿贝尔解决代数方程可解性问题的基本思想与伽罗瓦（一个中学生数学家）群的发现过程；理解“伽罗瓦群”的思想。第二节 几何作图三大难题（1学时）了解古代几何作图三大难题的背景；理解几何作图三大难题的实质。第

13、三节 近世代数的产生（2学时）了解四元数、超复数、布尔代数的发现历程；理解四元数产生的重大意义；掌握四元数的计算。考核要求：（一）从阿贝尔到伽罗瓦（一个中学生数学家）1识记：（1）阿贝尔方程；（2）伽罗瓦的群论思想。2领会：伽罗瓦群的实质。（二） 几何作图三大难题1识记：几何作图三大难题。2领会：几何作图三大难题的不可解性。（三） 近世代数的产生1识记：四元数、超复数的概念。2领会：四元数建立的思想3分析：用布尔代数的知识分析一些数学问题。第九章 几何、分析的变革教学要点：非欧几何的诞生与发展；射影几何的繁荣与几何学的统一；分析的严格化。教学时数： 4学时教学内容：第一节 非欧几何的诞生与发展

14、（1学时）了解非欧几何的诞生的背景与发展过程；理解非欧几何产生的意义；区别欧氏几何与非欧几何的差异；掌握非欧几何与欧氏几何的公理化思想。第二节 射影几何的繁荣与几何学的统一（1学时）了解射影几何产生的背景与实质；理解射影几何的核心思想；掌握群论观点下的不同几何学的联系与区别。第三节 分析的严格化（2学时）了解魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔对实数完备性的证明；理解集合论特别是无穷集合的实质；掌握分析扩展的基本趋向。考核要求：（一） 非欧几何的诞生与发展1识记：非欧几何公理体系。2领会：非欧几何发展过程中思想闪光点。（二） 射影几何的繁荣与几何学的统一1识记：射影几何的主要内容。2领会：群论观点下不

15、同几何学的联系与区别。（三） 分析的严格化1识记：（1）三位数学家研究实数理论所采用的方法；（2）罗素悖论与数学基础（哥德尔不完备定理）。2领会：分析严格化的实质；无限集合与势的含义。第十章 随机思想的发展教学要点：概率论溯源；近代统计学的缘起。教学时数： 2学时教学内容：第一节 概率论溯源（1学时）了解概率论起源及费马与帕斯卡的工作；理解公理化概率论的思想。第二节 近代统计学的缘起（1学时）了解近代统计学的起源及其重要价值；理解统计学对人类发展的重要作用；掌握统计学的基本思想方法。考核要求：（一）概率论溯源1识记：概率论的发展历程。2领会：概率论研究随机现象的思想方法。（二）近代统计学的缘起

16、1识记：近代统计学的基本内容与方法。2领会：近代统计学的基本思想。3应用：能用统计学的基本方法去分析一些社会现象。第十一章 算法思想的历程教学要点：算法的历史背景；计算机科学中的算法。教学时数：4学时教学内容：第一节 算法的历史背景（2学时）了解中国古代数学中的算法案例；理解算法的含义。体会中国古代数学对世界数学发展的贡献，增强民族自豪感。第二节 计算机科学中的算法（2学时）了解对解决具体问题过程与步骤的分析（如，二元一次方程组求解等问题）；理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环；掌握基本算法语句。 考核要求：（一） 算法的历史背景1识记：中国古代数学中的算法案例。2领会：中国古

17、代数学对世界数学发展的贡献，增强民族自豪感。（二） 计算机科学中的算法1识记：设计程序框图表达解决问题的过程（如，三元一次方程组求解等问题）。2领会：设计程序框图的思想。3分析应用：几种基本算法语句输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句解决一些实际问题。第十二章 20世纪数学概观教学要点：纯粹数学的主要趋势；空前发展的应用数学；现代数学成果简介。教学时数： 4学时教学内容：第一节 纯粹数学的主要趋势（1学时）了解20世纪纯粹数学发展的主要趋势；理解数学的抽象性、统一性；掌握对数学基础深入探讨的实质。第二节 空前发展的应用数学（1学时）了解20世纪应用数学的发展走向；理解数学应用的广阔

18、性；区分纯粹数学与应用数学的一致性与差异性。第三节 现代数学成果简介（2学时）了解现代数学成果十例的内容；理解现代数学发展的多样性；知道一些著名的数学事件。考核要求：（一）纯粹数学的主要趋势1识记：纯粹数学的一些特点。2领会：（1）纯粹数学对基础研究的必要性；（2）纯粹数学更高的抽象性与统一性。（二）空前发展的应用数学1识记：数学物理、生物数学、数理统计学、运筹学、控制论的基本含义。2领会：应用数学的时代特点。3综合分析：计算机与现代数学的相互关系。（三）现代数学成果简介1识记：现代数学成果的一些内容（如哥德尔不完全性定理、四色定理、费马大定理等）。2领会：现代数学成果十例的一些基本思想（如分

19、形与混沌、有限单群分类等）。第十三章 数学与社会教学要点：数学与社会进步；数学发展中心的迁移；数学的社会化。教学时数： 2学时教学内容：第一节 数学与社会进步（1学时）了解数学与社会进步的关系；理解数学在社会发展中的重要作用；掌握数学解决现实问题的一些思想方法。第二节 数学发展中心的迁移（1学时）了解数学研究中心迁移的过程；理解数学研究中心在数学发展过程中的地位和价值；掌握数学研究中心的一些特点。考核要求：（一）数学与社会进步1识记：数学与社会进步的关系。2领会：数学在社会进步发展过程中的重要价值。3分析：数学对社会进步的推动作用和社会发展对数学的推动作用。（二）数学发展中心的迁移1识记：数学发展中心的几次迁移。2领会：数学发展中心迁移的实质。3分析：数学发展中心