复变函数§3_泰勒级数

1、3 泰勒级数 设函数 f (z)在区域D内解析, 而|z-z0|=r为D内以z0为中心的任何一个圆周, 它与它的内部全含于D, 把它记作K, 又设z为K内任一点.z0Kzrz按柯西积分公式, 有1( )( )d ,2Kff zizzzz-且000000010001111()()1,()11,()nnnzzzzzzzzKzKzzzzzzzzzzzzzzz-由于积分变量取在圆周 上 点 在 的内部所以101000101( )d( )()2()1( )()d .2()NnnnKnnn NKff zzzizfzzizzzzzzz-z0Kzrz由解析函数高阶导数公式,上式可写成( )1000010()(

2、 )()( )!1( )( )()2()nNnNnnNnn NKfzf zzzRznfRzzzdizzzz-其中( )000lim( )0,()( )()!NNnnnRzKfzf zzzn-如果能证明在 内成立 则在K内成立, 即 f (z)可在K内用幂级数表达.000zzzzqzrz-令，q与积分变量z无关, 且0q1.z0Kzrz K含于D, f (z) 在D内解析, 在K上连续, 在K上有界, 因此在K上存在正实数 M 使| f (z) | M.01221d| )(|21d)()()(21| )(|000010 - NNNnnKNnnKNnnnNqMqrqrMszzzzfszzzfzRz

3、zzzz因此, 下面的公式在K内成立:( )000()( )()!nnnfzf zzzn-称为f (z)在z0的泰勒展开式, 它右端的级数称为 f (z)在z0处的泰勒级数. 圆周K的半径可以任意增大, 只要K在D内. 所以, 如果z0到D的边界上各点的最短距离为d, 则 f (z)在z0的泰勒展开式在圆域 |z-z0|d 内成立.定理定理(泰勒展开定理) 设 f (z)在区域D内解析, z0为D内的一点, d为z0到D的边界上各点的最短距离, 则当|z-z0|d 时, 00( )0( )(),1(),0,1,2,.!nnnnnf zczzcfznn-成立 其中 注注： 如果 f (z)在z0

4、解析, 则使 f (z)在z0的泰勒展开式成立的圆域的半径 R等于从z0到 f (z)的距z0最近一个奇点a 的距离, 即R=|a-z0|. yz0ax 任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数, 因而是唯一唯一的. 利用泰勒展开式, 我们可以直接通过计算系数:), 2 , 1 , 0()(!10)(nzfncnn把 f (z)在z0展开成幂级数, 这被称作直接展开法例如, 求 ez 在 z = 0处的泰勒展开式, 由于(ez)(n) = ez, (ez)(n)|z=0 = 1 (n=0,1,2,.) ， 故有2e1.2!nzzzzzn 因为ez在复平面内处处解析, 上式在复平面内处处成立,

5、 收敛半径为+.同样, 可求得sin z与cos z在z=0的泰勒展开式:3521242sin( 1)3!5!(21)!cos1( 1)2!4!(2 )!nnnnzzzzzznzzzzzn- - - - 除直接法外, 也可以借助一些已知函数的展开式, 利用幂级数的运算性质和分析性质, 以唯一性为依据来得出一个函数的泰勒展开式, 此方法称为间接展开法. 例如sin z在z=0的泰勒展开式也可以用间接展开法得出:003521011( )()sin(ee)22!( 1)3!5!(21)!nniziznnnnnizizziinnzzzzzn- 解 由于函数有一奇点z-1, 而在|z|1内处处解析, 所

6、以 可在|z|1内展开成z的幂级数. 因为 211( 1),| 1.1nnzzzzz - -例1 把函数 展开成z的幂级数. 21 1z将上式两边求导得 21121123( 1),| 1.(1)nnzznzzz- - - 例2 求对数函数的主值ln(1+z)在z=0处的幂级数展开式.解 ln(1+z)在从-1向左沿负实轴剪开的平面内是解析的, -1是它的奇点, 所以可在|z|1展开为z的幂级数.-1OR=1xy01ln(1)( 1),1nnnzzz-因为逐项积分得0001dd( 1)d,1zzznnz-231ln(1)( 1)| 1.231nnzzzzzzn- -即解析在函数0)(zzf的幂级

7、数的某邻域内可展开为在00)(zzzzf-解析在区域函数Dzf)(0( )f zDzz-在 内任一点处可展开为的幂级数推论推论1： 注：解析的等价条件：在区域函数Dzf)(内可导；在区域函数Dzf)() 1 (条件，内可微，且满足在区域RCDvu-,)2(关；内连续且积分与路径无在区域函数Dzf)() 3(内可展开为幂级数在区域函数Dzf)()4(推论推论2： 解析，在区域设函数Dzf)(),(,00DzdistRDz00( )f zzzRz-则在内可展开为 的幂级数推论推论3:幂级数的和函数在其收敛圆周上至少有一个奇点. (即使幂级数在其收敛圆周上处处收敛)例如：)(02zfnznn1,z

8、在上绝对收敛),1(21)(1-znzzzfn但)(1zfz时：近于沿实轴从单位圆内部趋当是一个奇点。即1z推论推论4：展开式：解析，且有在设函数Taylor)(0zzf00( )() ,nnnf zCzz-最近的一个奇点，的距是0)(zzfa为其收敛半径。则0zR-a例如：,61)(02-nnnzCzzzf; 2R则其收敛半径,)(61)(02-nnnizCzzzf5.R 则其收敛半径而如果把函数中的x换成z, 在复平面内来看函数211z1-z2+z4-它有两个奇点i, 而这两个奇点都在此函数的展开式的收敛圆周上, 所以这个级数的收敛半径只能等于1. 因此, 即使我们只关心z的实数值, 但复

9、平面上的奇点形成了限制. 在实变函数中有些不易理解的问题, 一到复变函数中就成为显然的事情, 例如在实数范围内, 展开式242211( 1)1nnxxxx - -的成立必须受|x|R1时, 即| z |R, 011()nnnnnncczzz-收敛。因此, 只有在R1|z-z0|R2的圆环域, 原级数才收敛.z0R1R2例如级数10110(),1,| |,| |.| | | | |.nnnnnnnnnnnnnnazabzbaaazzzzzabzbabazbab与 为复常数中的负幂项级数当即时收敛 而正幂项级数则当时收敛 所以当时,原级数在圆环域收敛;当时,原级数处处发散在收敛圆环域内也具有. 例

10、如, 可以证明, 上述级数在收敛域内其和函数是解析的, 而且可以逐项求积和逐项求导.幂级数在收敛圆内的许多性质, 级数100100100()()()()(),nnnnnnnczzczzczzcc zzczz-现在反问, 在圆环域内解析的函数是否一定能够展开成幂级数?先看下例.21( )01,(1)0 | 10 |1| 1.0 | 11111( )1.(1)1,( )0 | 1.nf zzzzzzzzf zzzzzzzzzf zz- -函数在及都不解析 但在圆环域及内都是解析的先研究的情形:由此可见在内是可以展开为z的幂级数其次,在圆环域:0|z-1|1内也可以展开为z-1的幂级数:212111

11、1( )(1)11 (1)11 (1)(1)(1)1(1)1 (1)(1)(1)nnf zzzzzzzzzzzzz- -1Oxy定理定理 设 f (z)在圆环域 R1 |z-z0| R2内解析, 则010( )()1( )d . (0, 1, 2,)2()nnnnnCf zczzfcnizzzz- -其中C为在圆环域内绕z0的任何一条正向简单闭曲线.证 设z为圆环域内的任一点, 在圆环域内作以z0为中心的正向圆周K1与K2, K2的半径R大于K1的半径r, 且使z在K1与K2之间.R1R2zrK1zRK2zz0由柯西积分公式得211( )1( )( )22KKfff zddizizzzzzzz

12、-0220,1.zzKzKzzz-对第一个积分在上在内220100,1( )1( )()22()nnnKKffddzzizizzzzzzz-和泰勒展开式一样 可以推得111( )d .,2KfKizzzzz-第二个积分由于 在上010,1.zzKzzz-点 在的外部0001111zzzzzzzz -因此10011100()1() ,()()nnnnnnzzzzzzzz- - - -R1R2zrK1zRK2zz011101101( )1( )dd()( ),22()NnNnnKKffzzRzizizzzzzzz- -1100()( )1( )d .2()nNnn NKzfRzizzzzz-其中0

13、00,01|zrqqzzzzz-令则，因此有100001|( )|( )|d2|nNnKzfRzszzzzzz-111112.|( )|.21Nnn NMM qqrMf zKrq-是在上的最大值lim0,lim( )0.NNNNqRz因为所以00001( )()()() ,nnnnnnnnnf zczzczzczz-因此2110101( )d ,(0,1,2,);2()1( )d ,(1,2,) .2()nnKnnKfcnizfcnizzzzzzz- -如果在圆环域内取绕z0的任何一条正向简单闭曲线C, 则根据闭路变形原理, 这两个式子可用一个式子来表示:101( )d ,(0, 1, 2,)

14、2()nnCfcnizzzz -Cz0R1R20101( )( )() ,d ,(0, 1, 2,)2()nnnnnCff zc zzcnizzzz- -于是称为函数f (z)在以z0为中心的圆环域: R1|z-z0|R2内的洛朗(Laurent)展开式, 它右端的级数称为 f (z)在此圆环域内的洛朗级数. 一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正,负幂项的级数是唯一的, 这个级数就是 f (z)的洛朗级数. 根据由正负整次幂项组成的级数的唯一性,一般可以用代数运算, 代换, 求导和积分等方法去展开, 以求得洛朗级数的展开式.解： 函数 f (z) 在圆环域 i) 0 |z| 1; ii) 1

15、| z| 2; iii) 2 |z| + 内是处处解析的, 应把 f (z)在 这些区域内展开成洛朗级数. 1112f zzz-例 把在复平面上展开为z的幂级数。xyO1xyO12xyO2先把 f (z)用部分分式表示:11( ).12f zzz-2222111i)0 | 1( )12121137(1)1.222248zf zzzzzzzzz-在内:ii) 在1 |z| 2内：111111( )1122112f zzzzzz- -222211111(1)12221111.248nnzzzzzzzzzz-iii) 在2|z|+内:111111( )121211f zzzzzzz- -222341

16、11124(1)(1)137.zzzzzzzzz-例2 把函数.|0e)(13内展开成洛朗级数在zzzfz解 因有133234321111e(1)2!3!4!110.2!3!4!zzzzzzzzzzzz 23e12!3!nzzzzzn 注意: 一个函数 f (z)可以在奇点展开为洛朗级数，也可在非奇点展开。 函数可以在以z0为中心的(由奇点隔开的)不同圆环域内解析, 因而在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开式(包括泰勒展开式作为它的特例). 我们不要把这种情形与洛朗展开式的唯一性相混淆. 所谓洛朗展开式的唯一性, 是指函数在某一个给定的圆环域内的洛朗展开式是唯一的. 例如在 zi 和z-i处展

17、开函数 为洛朗级数。12( )()if zz zi-在复平面内有两个奇点: z=0与z-i, 分别在以i为中心的圆周: |z-i|=1与|z-i|=2上.因此, f (z)在以i为中心的圆环域(包括圆域)内的展开式有三个:1)在|z-i|1中的泰勒展开式; 2)在1|z-i|2中的洛朗展开式; 3)在2|z-i|+中的洛朗展开式;在复平面内有一个奇点: z=0在以-i为中心的圆周:|zi|=1上.因此, f (z)在以-i为中心的圆环域内的展开式有二个: 1)在0 |zi|1中的洛朗展开式; 2)在1|zi| +中的洛朗展开式。O-iii-0特别的，当洛朗级数的系数公式101( )d . (0, 1, 2,)2()nnCfcnizzzz -1n - 时，有-CdzzfiC)(21112)(-CidzzfC（即可利用Laurent系数计算积分） 其中C为圆环域R1|z-z0|R2内的任何一条简单闭曲线, f