空间几何体的表面积与体积训练题

1、空间几何体的表面积与体积训练题一、题点全面练1(2019·沈阳质检)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是()A44 2B4 22C84 2D.83æ1              öè2                &#

2、248;2×ç  ×2×2  ×2×2   2÷44   2.解析：选 A由三视图可知该几何体是一个四棱锥，记为四棱锥 P ABCD，如图所示，其中 PA底面 ABCD，四边形 ABCD 是正方形，且 PA2，AB2，PB2 2，所以该四棱锥的侧面积 S 是四个直角三角形的面积和，即 S22(2019

3、3;开封模拟)某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为()A4B.2C.43D分，设底面扇形的圆心角为  ，由 tan      3   3，得  ，故底面面积为  ××22  ，则该几何体的体积为  ×32 .解析：选 B由题意知该几何体的直观图如图所示，该几何体为圆柱的一部1312223333一个几何体的三视图如图所示(其

4、中正视图的弧线为四分之一圆周)，则该几何体的表面积为()A726C486B724D484解析：选 A由三视图知，该几何体由一个正方体的 部分与一个圆柱的 部3144分组合而成(如图所示)，其表面积为 16×2(164 )×24×(22 )726 .4一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为()33316A64C641632B.6464D64解析：选 A由三视图可知，该几何体是一个正方体中间挖去两个顶点相接的圆锥，其中，两个圆锥的体积和是 V 锥 &

5、#160;Sh  × ×22×4，VV 正方体V 锥433A.112                               B.6111616333316.5.(2018·广州调研)如图，网格纸

6、上正方形小格的边长为 1，图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为()64C11D12解析：选 C根据三视图知，可将该三棱锥放在长方体中，如图中三棱锥 S ABC 所示，取线段 AC 的中点 O1，过 O1 作直线垂直于平面 ABC交长方体的上底面于点 ，因为 ABC 是直角三角形，所以外接球的球心 O 必在直线 PO1 上，ïîR x2连接 SO，SP，

7、OC，设 OO1x，球的半径为 R，易得 SP102x1ìïR2     22，所以í225 ，解得 R2，所以该三棱锥外接球的表面积 S4 R211 ，故选 C.2           2答案：    61146.如图，已知正方体 ABCD A1B1C1D1

8、 的棱长为 1，P 为 BC 的中点，过点 A，P，C1 的平面截正方体所得的截面为 M，则截面 M 的面积为_解析：如图，取 A1D1，AD 的中点分别为 F，G.连接 AF，AP，PC1，C1F，PG，D1G，AC1，PF.F 为 A1D1 的中点，P 为 BC 的中点，G 为 AD 的中点，2AFFC1APPC15 ，PG 綊 CD

9、，AF 綊 D1G.由题意易知 CD 綊C1D1，PG 綊 C1D1，四边形 C1D1GP 为平行四边形，PC1 綊 D1G，PC1綊 AF，A，P，C1，F 四点共面，四边形 APC1F 为菱形AC1 3，1P CPF 2，过点 A，1的平面截正方体所得的截面 M 为菱形 APC1F，截面 M 的面积 S2AC1·PF16 ×

10、 3× 2.27(2019·合肥质量检测)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为_  ×2× ×1×32×  × ×123×28 6.解析：由三视图可知，该几何体由一个半圆柱与两个半球构成，故其表面积为 4 ×121122答案：8 68已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O&#

11、160;的球面上，SC 是球 O 的直径若平面 SCA平面 SCB，SAAC，SBBC，三棱锥 S ABC 的体积为 9，则球 O 的表面积为_æ h ö则ç   ÷2r2R2，即 h2   R2r2.解析：如图，取 SC 的中点 O，连接 OA，OB.SAAC，SBBC，OASC，OBSC，平面 SAC平面

12、 SBC，OA平面 SBC.设 OAr，则 VS ABC1111×  ×2r×r×rVA SBC3SBC×OA323r39.r3.球 O 的表面积为4 r236 .答案：369已知球的半径为 R，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱的底面半径与高为何值时，它的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？解：如图为其轴截面，令圆柱的高为 h，底面半径为 r，侧面积为 S，è2 

13、8;因为 S2 rh4 r· R2r24r2   R2r2 4r2R2r2422 R2，当且仅当 r2R2r2，即 r22R 时，取等号，所以当内接圆柱底面半径为22R，高为 2R 时，其侧面积的值最大，最大值为 2 R2.10.如图，四边形 ABCD 为菱形，G 为 AC 与 BD 的交点，BE平面 ABCD.(1)求证：平面 AEC平

14、面 BED；可得 AGGC    3      xx，GBGD  .(2)若ABC120°，AEEC，三棱锥 E ACD 的体积为三棱锥的侧面积解：(1)证明：因为四边形 ABCD 为菱形，所以 ACBD.因为 BE平面 ABCD，AC 平面 ABCD，所以 BEAC.因为 BDBEB，BD 平面 BED，B

15、E 平面 BED，所以 AC平面 BED.又 AC 平面 AEC，所以平面 AEC平面 BED.(2)设 ABx，在菱形 ABCD 中，由ABC120°，2263，求该因为 AEEC，所以在 AEC 中，可得 EG由 BE平面 ABCD，知EBG 为直角三角形，32x.可得 BE    2 x.2由已知得，三棱锥 E 

16、ACD 的体积x3  ，11V 三棱锥 E ACD3·2AC·GD·BE6 624    3故 x2.从而可得 AEECED 6.所以EAC 的面积为 ，EAD 的面积与ECD 的面积均为 5.故三棱锥 E ACD 的侧面积为 32 5.二、专项培优练(一)易错专练不丢怨枉分1(2018·衡水二模)如图是某个几何体的三

17、视图，则这个几何体的表面积是()A 4 24C2 4 22B.2 4 24D2 2 24的几何体，其直观图如图所示，其表面积  S2×   ×122×  ×2×1解析：选 B由三视图可知，该几何体是由一个半圆柱与一个三棱柱组成111222 ×2×1( 2 22)×22×12 4 24.2(2019&

18、#183;石家庄质检)如图是某四棱锥的三视图，其中正视图是边长为 2 的正方形，侧视图是底边分别为 2 和 1 的直角梯形，则该几何体的体积为()A.83B.433                              D. 

19、4   2C.8   2ABE 中，易知 AEBE   5，cosABE    5，则 sinABE   ，所以 h   ，故四棱锥的体积 V  ×2×   5×     .3解析：选 A记由三视图还原后的几何体为四棱锥

20、 A BCDE，如图，将其放入棱长为 2 的正方体中，其中点 D，E 分别为所在棱的中点，分析知平面 ABE平面 BCDE，点 A 到直线 BE 的距离即棱锥的高，设为 ，在2 5554 514 5853533三棱柱 ABC A1B1C1 的底面是边长为 3的正三角形，侧棱 AA1底面 ABC，若球 O 与三棱柱 ABC A1B1C1&#

21、160;各侧面、底面均相切，则侧棱 AA1 的长为()B.    3A.122C1D. 3底面正三角形 ABC 的中心，如图所示因为 AC   3，所以 AD  AC    3  MD                &#

22、160;        3   32          6  AD                        6 &

23、#160;2   3解析：选 C因为球 O 与直三棱柱的侧面、底面均相切，所以侧棱 AA1 的长等于球的直径设球的半径为 R，则球心在底面上的射影是12.因为 tan，所以球的半径 RMDADtan×11，所以 AA12R2×221.4(2018·洛阳联考)已知球 O 与棱长为 4 的正四面体的各棱相切，则球 O 的体积为()A.8   23B.8 

24、;33C.8 63D.16 23为正方体的内切球，即球 O 的直径为正方体的棱长 2   2，则球 O 的体积 V   R3    .解析：选 A将正四面体补成正方体，则正四面体的棱为正方体面上的对角线，因为正四面体的棱长为 4，所以正方体的棱长为 2 2.因为球 O 与正四面体的各棱都相切，所以球 O48 233(二)技法专练活用快得分

25、5构造法某几何体的三视图如图所示(粗实线部分)，正方形网格的边长为 1，该几何体的顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为()A15C17B.16D18解析：选 C由题中的三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥 D1 BCD，将其放在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，则该几何体的外接球即长方体的外接球，长方体的长、宽、高分别为 2,2,3，长方体的体对角线长为 449 17，球 O 的直径为 17，所以球 

26、;O 的表面积 S17 .6补形法一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.32B.136C2D.1162                                     

27、0; 3  2×1×1×1  ，故所求几何体的体积为 2  .解析：选 D由三视图可知，该几何体是一个底面为等腰直角三角形，高为 2 的直三棱柱，截去一个小三棱锥的组合体，直观图如图所示111直三棱柱的体积为×2×1×2 2 ，而截去的三棱锥的体积为×11116667等体积法在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，AD1，AB2，AA12，点 M 

28、;在平面 ACB1 内运动，则线段 BM 的最小值为()A.C.6263B. 6D3解析：选 C线段 BM 的最小值即点 B 到平面 ACB1 的距离 h在ACB1 中，ACB1C 5，1AB12 2，所以 AB1 边上的高为 52 3，所以 ACB12×2 2× 3 6.又三棱锥11212B ACB1 的体积

29、0;VB ACB1VA BB1C3×2×2×1×23，所以 VB ACB13× 6h3，所以 h63.8分割法某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_æ111ö33è32ç  ×  ×3×1×33×  ×2×3÷.2解析：如图，由三视图可知，该几何体是由棱长为3 的正方体削去左上角一个底面是直

30、角边长为 3 和 1 的直角三角形，侧棱长为 3 且垂直于底面的三棱锥，削去右上角的一底面为直角边长为 2 和 3 的直角三角形，侧棱 长 为 3 的 直 棱 柱 之 后 得 到 的 ， 剩 余 几 何 体 的 体 积 为 V  27 2&

31、#248;233答案：(三)交汇专练融会巧迁移9与数学文化交汇刍甍(chú mén)，中国古代算术中的一种几何形体，九章算术中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广刍，草也甍，屋盖也”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱，刍甍的字面意思为茅草屋顶”如图为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则搭建它(无底面且不考虑厚度)需要的茅草面积为()A24C64B.32 5D32 6考虑底面 ) ，则搭建此几何体需要的茅草面积为    S 2×   ×4×   2242 2×