1基本不等式的证明

1、基本不等式教学设计寻乌县第二中学邝海涛一、教材背景分析1. 教材的地位和作用本节内容是在系统的复习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的。教材通过赵爽弦图回顾基本不等式，在代数证明的基础上，通过“探究”引导学生回顾基本不等式的几何意义，并给出在解决函数最值和实际问题中应用，在知识体系中起着承上启下的作用；从知识的应用价值上看，基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法（如数形结合、抽象归纳、演绎推理、分析法证明等）在各种不等式的研究中均有着广泛的应用；从内容的人文价值上看，基本不等式的探究、推导和应用需要学生观察、分析、猜想、归纳

2、和概括等，有助于培养学生思维能力和探索精神，是培养学生数形结合意识和提高数学能力的良好载体.本节是复习课，不仅应让学生进一步理解概念，还要掌握应用基本不等式求最值，体会基本不等式在实际生活中的指导作用。2. 学情分析在认知上，学生已经掌握了不等式的基本性质，并能够根据不等式的性质进行数、式的大小比较，也具备了一定的平面几何的基本知识. 如何让学生再认识“基本 ”二字， 是本节学习的前提 . 事实上，该不等式反映了实数的两种基本运算（即加法和乘法）所引出的大小变化，这一本质不仅反映在其代数结构上，而且也有几何意义，由此而生发出的问题在训练学生的代数推理能力和几何直观能力上都发挥了良好的作用. 因

3、此，必须从基本不等式的代数结构和几何意义两方面入手，才能让学生深刻理解它的本质.另外，在用基本不等式解决最值时，学生往往容易忽视基本不等式使用的前提条件和等号成立的条件，因此，在教学过程中，应借助辨误的方式让学生充分领会基本不等式成立的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用.3、教学重难点：教学重点：用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度回顾和探索基本不等式的证明过程；用基本不等式解决一些简单的最值问题.教学难点：回顾在几何背景下抽象出基本不等式的过程；基本不等式中等号成立的条件；应用基本不等式解决实际问题.二、教学目标1、利用“赵爽弦图”回顾重要不等式、基本不等式，再利用

4、教材中的“探究”回顾基本不等式的几何意义，通过基本不等式的回顾，进一步让学生体会和感悟形数统一的思想方法；2、通过对教材“探究”再探究，引导学生拓展基本不等式，体会基本不等式的应用；3、通过对教材中例题的变式教学，让学生体会和感悟应用基本不等式求最值应该注意的问题， 解决基本不等式在实际中的应用；4、利用电脑屏幕的情景，激发学生学习数学的热情，进一步培养学生的数学应用能力；5、通过学生自主构建知识网络结构图，深化对基本不等式的理解。三、教学对策本节作为基本不等式的复习课，一是借助弦图和几何画板演示，让学生回顾基本不等式 的概念形成过程，体验基本不等式模型的观察、分析、猜想和概括等系列思维活动过

5、程，复 习基本不等式的代数结构特征，体会数学抽象思维的方法；二是通过基本不等式的证明方法 的探索和不同角度的欣赏，学生能用文字语言、符号语言和图形语言表述基本不等式的结构 特点，归纳得出基本不等式中等号成立的条件及其使用条件，进一步体会数形结合的思想方 法；三是要引导学生用基本不等式解决常见的最值和实际问题，进一步体验数学建模的过程；四、教学基本流程设计：五、教学过程（一）温故知新，回顾基本不等式 情景引入：【投影显示】赵爽弦图。问题1、请同学们重温“赵爽弦图”，比较正方形 ABCDJ面积用口里面的四个小三角形面积之 和S'的大小，看可以得到怎样的不等关系？（通过对“赵爽弦图”的观察，

6、使学生由形识数，从几何图形中得到重要不等式的代数形式：a2 b2 二 2ab其中，a,bwR,当且仅当，a=b时，取得等号。） 问题2、在重要不等式中，用 百代替a,、/b代替b,可以得到什么数学结论?2问题3、那么在使用基本不等式时，对实数 a、b有什么要求呢？（其中,a,beR*）在数学中，我们将 每称之为是a、b的“几何平均数”，而a2b则称为是它们的“算术平均数”。2下面请大家打开课本第98页，看探究中的图3.4-3。问题4、请问大家能否从图中找出基本不等式中的：痴、ab的几何2解释？思考：它们之间的大小关系是否能够在图中体现出来？问题5、让D点动起来，请大家指出等号成立的条件.链接1

7、:板几何画板一赵爽弦图 生：a,b R（以数构形，让学生在实际图形中感受基本不等式的几何解释。）（二）探究“探究”，利用基本不等式证明.链接2:板几何画板一单位圆中解读基本不等式及其变形形式的几何意义一问题6、过CCEg直与。力E,过O。唾直于A皎圆OTF,连接FC,请大家计算DEJ口 FC勺长 度.刚刚我们计算出的 型和J史殳，在数学中称之为调和平均数和平方平均数。a b 2问题7、请大家比较它们的大小关系，用不等号将2ab a2 b2 a b ,'2Tb,每连接起来.由 DE MCD <OF "Ca b5问题8、在这个链状不等式中，有三处等号，这三个等号能否同时成立

8、呢？（设计意图：对图形进行进一步分析，引导学生发现调和平均数和平方平均数。让学生体会到我们不仅能以数构形，寻找到数量关系的几何解释，更重要的是，对图形的观察分析可以以形识数，发现和完备我们的代数结论。）问题9、当然，仅仅通过观察得到图形中的感性认识是不够的，下面让我们一起完成上面这个不等式链的代数证明。问题10、首先请一个同学说说你的具体证明要分几个步骤？（设计意图：在刚才的探究过程中，我们对基本不等式的认识得到了拓展，并且对它的理解在从由形到数，由数到形的过程中，从感性认识上升到理性认识。）（三）课本变式，利用均值不等式求最值.将课本打开到第99页的题目做一些修改，大家重新思考。对于例2,我

9、们改为：变式1、某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周围墙建造单价为 400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2 ,水池所有墙的厚度忽略不计。（1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价;（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过 16米，试设计污水池的长和宽，使得总造价最低，并求出最低总造价。（设计意图：通过不等式在例题和变式中的应用，进一步加深了学生对基本不等式的内涵及 外延的理解，培养了学生发散与收敛思维的能力；）（四）归纳总结，形成知识网络图.（五）方法提炼，数

10、学思想升华.六、教学反思形数结合是我们认识数学的重要思想。.本课的设计思路是：“从赵爽弦图引出基本 不等式一一利用代数知识证明基本不等式一一从几何和代数两个角度发掘基本不等式的变形 形式一一数学建模，利用基本不等式求最值一一实际应用，利用基本不等式指导生活实践” 从几何图形中提炼和挖掘数学知识，完成从感性认识逐步上升为以抽象概括为主的理性认识， 然后指导生活实践.在整个设计过程中，始终体现以学生为中心的教学理念，在学生已有的 认知基础上进行设问和引导，关注学生的认知过程，为增强学生学习兴趣，在设计之初精心 安排 赵爽弦图”的背景，同时在后续探究中，不断的让学生从单位圆中发现基本不等式的变 形形式，到后面让学生用代数知识证明不等式链，让学学生探究问题的过程中既复习了数学 知识，又培养了他们形数结合的数学思想；在思维拓展中，利用课本变式，引导学生用基本 不等式求最值，训练了学生的建模思想，体会了不等式的应用；最后围绕电脑屏幕问题，让 学生学以致用，真正感受到数学无穷的魅力所在；以上种种正好体现出新课程的新理念.成功之处：在本节课教学中，一