三角形的中位线知识点及典型例题

1、三角形的中位线【例1】 已知：AD是厶ABC的中线， AE是 ABD的中线，且 AB二BD，求证：AC=2AE .1【例2】 在厶ABC中，CD、AE分别为AB、BC边上的高，/ B =60，求证：DE AC .2【例3】 如右下图，在 ABC中，若.B=2. C , AD_BC , E为BC边的中点.求证： AB = 2DE .DE【例4】 已知四边形 ABCD的对角线AC =BD , E、 于 M、N，求证：/ AMN 二/ BNM .F分别是AD、BC的中点，连结EF分别交AC、BD【例5】 已知：ABCD是凸四边形，且 AC :：: BD . E、F分别是AD、BC的中点，EF交AC于

2、M ; EF交 BD于N , AC和BD交于G点.求证： ZGMN ZGNM .1【例6】 在厶ABC中，/ACB =90 , AC =-BC，以BC为底作等腰直角 厶BCD , E是CD的中点，求证: 2AE _EB 且 AE =BE .D【例7】 如图，在五边形 ABCDE中，/ABC ZAED =90，/BAC ZEAD , F为CD的中点.求证: BF =EF .【例8】 如图所示，P是 ABC内的一点，.PAC =. PBC，过P作PM_AC于M , PL _ BC于L , D为 AB的中点，求证DM =DL .【例9】 如图所示，在.SBC中，D为AB的中点，分别延长 CA、CB到

3、点E、F，使DE = DF .过E、F分别作直线CA、CB的垂线，相交于点 P，设线段PA、PB的中点分别为 M、N 求证：(1) DEM 也. FDN ；(2) PAE = PBF .CF【例10】如图所示，已知AABD和.ACE都是直角三角形， 且.ABD =/ACE =90 ,连接DE ,设M为DE 的中点.(1) 求证 MB 二 MC .(2) 设.BAD = CAE ，固定Rr ABD，让Rt.lACE移至图示位置，此时 MB = MC是否成立？请 证明你的结论.【例11】已知：在 ABC中，分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形 ABM，和CAN , P是边BC的中 点求证：PM二

4、PNC【例12】已知，如图四边形 ABCD中，AD二BC , E、F分别是AB和CD的中点，AD、EF、BC的延 长线分别交于 M、N两点.求证：.AME BNE M【例13】已知：在 ABC中，BC AC ,动点D绕ABC的顶点A逆时针旋转，且AD =BC ,连结DC .过AB、DC的中点E、F作直线，直线EF与直线AD、BC分别相交于点图1BD图3(1) 如图1 ,当点D旋转到BC的延长线上时，点N恰好与点F重合，取AC的中点H ,连结HE、 HF ,根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论 AMFBNE(不需证明).(2) 当点D旋转到图2或图3中的位置时，ZAMF与乙BNE有何数量

5、关系？请分别写出猜想， 并任选一种情况证明.【例 14】如图，AE_AB , BC _CD，且 AE=AB , BC =CD , F 为 DE 的中点，FM _ AC 证明:1FM AC 2【例15】如左下图，在梯形 ABCD中，AB II CD , E、 EF =1（AB CD ）.F分别是AC、BD中点.求证： EF I AB，且【例16】等腰梯形ABCD中，AB I CD , AC二BD , AC与BD交于点O , . AOB=60 , P、Q、R分别是OA、BC、OD的中点，求证：.沪QR是正三角形.1【例17】AD是.ABC的中线，F是AD的中点，BF的延长线交AC于E .求证：AE二丄AC .3D【例18】在图1至图3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点.四边形 BCGF和CDHN都是 正方形.AE的中点是M .（1） 如图1，点E在AC的延长线上，点 N与点G重合时，点M与点C重合，求证：FM =MH , FM _MH ；（2） 将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图 2,求证：CFMH是等腰直角三角形；（3） 将图2中的CE缩短到图3的情况，厶FMH还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）A BC(M)D E图1【例佃】如图，已知 ABC，线段BE、CF分别平分ZABC、乙ACB、 垂足，求证：GH / BC .AG _ BE , AH _ CF