椭圆双曲线练习卷(含答案)

1、高二数学练习卷一（椭圆、双曲线）班级姓名一、填空题1已知椭圆的长轴长是短轴长的3 倍，长、短轴都在坐标轴上，过点A(3,0) ，则椭圆的方程是 x2y21或 x2y21 99812 双曲线的渐进线方程为y1 x ，且焦距为10，则双曲线方程为x2y21 或2205y2x215203与圆 ( x 3)2y21及圆 (x 3)2y29都外切的圆的圆心轨迹方程为x2y21 x1 84过点（ 2， -2）且与双曲线x 2y2=1 有相同渐近线的双曲线方程是y2x212245若椭圆长轴长与短轴长之比为2 ，它的一个焦点是2 15,0，则椭圆的标准方程是x2y21。80206若方程 y 2lg a x 2

2、1a 表示两个焦点都在x 轴上的椭圆，则a 的取值范围是31110a.37x2y21的离心率e145已知椭圆89，则 a 的值等于或 -4a28椭圆x2y21的焦点为 F1, F2 ，点 P 在椭圆上，如果线段PF1 的中点在 y 轴上，那么312| PF1 |=73 29已知点 P在双曲线 x2y2=1 上 ,满足 |PF1| =12，则 |PF 2| =2或 22.25910双曲线x 2y 21的离心率 e(1,2) ，则 k 的取值范围是 (4,0)4k高中数学11. 已知椭圆x2y2x2y21 有公共的焦点， 那么双曲线的渐近线方5n21和双曲线3n23m22m2程是 y3 x412曲

3、线 C 的方程为 1k x 23k 2y24（ kR ），当 k1时，曲线 C为 圆 ； 当 k3,11,1时，曲线 C为椭 圆 ； 当 k,31,3 时，曲线 C 为双曲线；当 k1 或 k3 时，曲线 C 为两直线 .13 P 是椭圆x2y21上的一点， F1 和 F2 是焦点，若F1PF230，则F1PF2 的面54积等于 84 314双曲线 x2y21的两个焦点为1、 2,点P在双曲线上 . 若12, 则点P到x轴的916FFPFPF距离为 16 .515过点 (0,3) 作直线 l，如果它与双曲线x2y 21 有且只有一个公共点，则直线l的条43数是 4条16设 P 是直线 yx4

4、上一点，过点 P 的椭圆的焦点为F1 (2,0) ， F2 ( 2,0)，则当椭圆长轴最短时，椭圆的方程为x 2y2101617以下同个关于圆锥曲线的命题中设 A 、B 为两个定点， k 为非零常数， | PA | | PB |k ，则动点 P 的轨迹为双曲线；设定圆 C 上一定点 A 作圆的动点弦AB ， O 为坐标原点，若 OP1 (OAOB), 则动点 P 的轨迹为椭圆；2方程 2x 25x20 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；双曲线 x2y 21与椭圆 x 2y21有相同的焦点 .25935其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）18 若 椭 圆 x 2y 21( m n 0)

5、 和 双 曲 线 x2y21(a b0) 有相同的焦点mnabF1 , F2 ，P 是两条曲线的一个公共点，则PF1PF2 的值是 ma 。高中数学二、解答题19求经过椭圆 x2+2y2=4 的左焦点且倾斜角为的直线教椭圆于A、B 两点，求弦 AB 的3长度。长度为： 16720一椭圆其中心在原点，焦点在同一坐标轴上，焦距为213 ，一双曲线和这椭圆有公共焦点 ,且双曲线的半实轴比椭圆的长半轴长小4，且双曲线的离心率与椭圆的离心率之比为7:3，求椭圆和双曲线的方程椭圆和双曲线的方程为：x 2y 21， x 2y 21或 y 2x 21 ， y 2x2149369449369421已知定圆 C

6、的方程是 ( x 4) 2y2100 ，定点 A 的坐标是（ 4，0），P 为圆 C 上的一个动点，线段 AP 的垂直平分线与半径CP 交于点 Q，求点 Q 的轨迹方程。解答： 如图，设Q 点的坐标是（x， y）。连接 QA。 QM 垂直平分线段 AP, |QP|=|QA|， |QC|+|QA|=|CP |=10， Q 点的轨迹是以 C、 A 为焦点的椭圆，轨迹方程是x2y 21 。25922如图， B 地在 A 地的正东方向4 km 处， C 地在 B地的北偏东30°方向 2 km 处，河流的没岸PQ（曲线）上任意一点到A 的距离比到B 的距离远2 km. 现要在曲线 PQ上选一处

7、M建一座码头，向B、 C 两地转运货物.经测算， 从 M到 B、M到 C 修建公路的费用分别是a 万元/km、2a 万元 /km，求修建这两条公路的总费用最低是多少？此题因需用到圆锥曲线第二定义可暂时不做23已知 F1, F2 是椭圆 4x25y2200 的两个焦点，过原点作弦AB ，求F2 AB 面积的最大值 。解：方程化为 x2y 21 S1 cy1 y2 542高中数学因为 y1y2 的最大值就是当A, B 分别在短轴端点时取到，所以y1 y2 的最大值就是所以 Smax2 x2y 2F 是椭圆的右焦点，点 P 在椭24点 A 、B 分别是椭圆1长轴的左、右端点，点3620圆上，且位于

8、x 轴上方， PAPF 。（ 1）求点 P 的坐标；（ 2）设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点， M 到直线 AP 的距离等于 | MB | ，求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小值。 解 （ 1）由已知可得点A( 6,0),F(4,0)设点 P( x , y ),则 AP = x +6,y , FP = x 4,y , 由已知可得x2y213620y2( x6)( x4)0则 2 x2 +9x 18=0,x =3 或 x = 6.2由于 y >0, 只能 x =3,于是 y =5 3.22点 P 的坐标是 (353,2)2(2)直线 AP 的方程是 x 3y +6=0.设点 M(

9、m ,0),则 M 到直线 AP 的距离是m6.2m66,又 6m 6,解得 m =2.于是= m2椭圆上的点 ( x , y )到点 M 的距离 d 有d2( x 2)2y2x 4x24 205 x24 ( x9 )215 ,992由于 6m 6, 当 x = 9 时 ,d 取得最小值152椭圆 x2y21 m 1与双曲线 x2y21n0 有公共焦点 F, F，P是两曲线25n12m22高中数学的一个交点，求F1PF2 的面积。解答： 由椭圆和双曲线的对称性，不妨设点P 在第一象限， F 1 是左焦点， F 2 是右焦点，由椭圆和双曲线的定义可知PF1PF22m,PF1mn,222 m 2n

10、2 。PF1PF22n解得PF2mn.PF1PF2椭圆 x 2y 21 m1与双曲线 x 2y21 n 0 有公共焦点，m 2n 2 m 21 n 21 c 2 | F1F2 |24c 22 m21 n 21 2 m 2n2PF1 |22|PF2 ， F1 PF22,又 m21n 21 ，即 m 2n 22 ， FPF2的面积1PF1PF21m2n 21 。12226直线 yax1与双曲线 3x2y 21 交于 A、B 两点，（ 1）当 a 为何值时， A、 B 分别在双曲线的两支上？（ 2）当 a 为何值时，以 AB 为直径的圆过坐标原点？yax 1得： 3a 2 x22ax 2 0 （），

11、解：由2y 23x13a 20，2a) 2a 2 )(8(30得当6a6 且 a3 时，直线与双曲线交于两点，设 A(x1 , y1 ) 、 B(x2 , y2 )（1）由 x1 x220，得：3a3 .3a 2（2）以 AB 为直径的圆过原点OAOBx1 x2y1 y20 ， x1 x2(ax11)(ax 2 1) 0， (1a2 ) x1 x2a(x1x2 ) 1 0 ，x1 x22a222(1)2a由（）得，3a ，a1 0 ，3a 2aa 2x1x2233a 2解得 a1.高中数学27设椭圆方程为x2y21，过点 M（ 0，1）的直线 l 交椭圆于点 A、B， O是坐标原点，4点 P满

12、足 OP1 (OAOB) ，点 N的坐标为 ( 1, 1 ) ，当 l 绕点 M旋转时，求：222（ 1）动点 P 的轨迹方程；（ 2） | NP |的最小值与最大值 .可暂时不做已知椭圆C的中心在原点O，焦点在 x 轴上，右准线的方程为x ，倾斜角为的直281411) 线 l 交椭圆 C 于 P、 Q 两点，且线段PQ 的中点坐标为 (,24（ 1）求椭圆 C 的方程；（ 2）设 A 为椭圆 C 的右顶点，M、N 为椭圆 C 上两点，且 |OM | 、3|OA|、 |ON|三2者的平方成等差数列， 则直线 OM 和 ON 斜率之积的绝对值是否为定值？如果是，请求出定值；若不是，请说明理由分析

13、 第（ 1）可以利用待定系数法，首先设椭圆方程为x 2y 21( ab0) ，通过条a2b 2件右准线的方程为x 1 和倾斜角为的直线 l 交椭圆 C 于 P、Q 两点，且线段PQ 的中点坐标为 ( 1 , 1 ) ，列出方程组，解出4a， b；第（ 2）问可以先设出M， N 点的坐标，将条件24“|OM| 、3|OA|、 |ON|三者的平方成等差数列”作适当转化，即可。2解答：（ 1）设椭圆方程为x 2y 21(ab0) a 2b 2直线 l 的方程为 y11x3x，即 y442由得： (a2b 2 )x 2 3 a2 x9 a 2a2b 20216设 A( x1 , y1 ), B(x2

14、, y2 ) ，则 x1x23a2b 2 )1 即 a 22b 22(a 2高中数学又由 C 的准线方程为 x1得 a 21 即 ca2又 a2b2c2c由解得 a 21 ,b21。椭圆 C 的方程为2 x24 y 2124（2）法一： 设 M ( x3 , y3 ), N ( x4, y4 ) ，则2x324 y321,2x424 y421两式相加整理得：x32x422( y32y42 )1| OM|、3 | OA| 、 | ON| 三者的平方成等差数列，2| OM|2+| ON|2 3 | OA| 2，又 A 为椭圆 C 的右顶点， | OA |21，22| OM|2+| ON|2 3，

15、( x32x42 )( y32y42 )34114222y42由解得：x3x4， y342 x3 2 x4 21 (1 4 y3 2 ) 1 (1 4y4 2 )1 1 4( y3 2y4 2 ) 16 y3 2 y4 2 4 y3 2 y4 2224 y32 y421 ，即 | K OP· K OQ| | y3 y4|1 为定值x3 2 x4 24x3 x42法二 ：设 M ( x3 , y3 ), N (x4 , y4 ) ，则 k1 y3 ， 2x324 y321 ，x3于是 2x 32 +4k2 x 32 1，x32 21，y 32 k12, 同理，x 42 1，y 42 k2214k1224k1224k2224k22由| OM|2+| ON|2 3 | OA| 2，得 x32y32x42y423，于是241+k12+1+k22 3 ，即 1 k12+ 1 k22 3 ，24k1224k1224k2224k22424k1224k2